常微分方程特解唯一吗
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．
二、考试内容与基本要求
（一）能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．
思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表
现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，
寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，
对几何图形各几何量的计算求解等．
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题．
（二）内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为
进一步学习奠定基础．
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求．
了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．
理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列
知识解决简单问题．
掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有
关问题．
灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题．
具体内容与要求详见表1—表7．
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素（定义域和对应规则）
√
分段函数
√
函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
√
反函数，复合函数
√
基本初等函数的性质和图像，初等函数
√
极
限
极限（含左、右极限）的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数，极限，连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法，分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念，二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算，数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系（平行、垂直）
√
牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．
全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答
题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出
计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共
17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
（一）选择题
1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A．[1，2]
B．(1，2]
C．(2，1)
D．[2，1)
答案：B
2．当x0时，与x等价的无穷小量是
A．tanx
B．2sinx
C．e2x1
D．ln(1x)
答案：A
dx0
costdt
3．
A．sinx2
答案：C
（二）填空题
x29
1．极限lim
x3x22x3
3
答案：
2
B．2xsinx2
_____________.
C．cosx2
D．2xcosx2
2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案：3
3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案：
3d xdy
3xy
（三）解答题
1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案：
fx3x23y0，
解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).
fy3y3x0
又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.
对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.
6
对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小
值点，极小值f(1，1)4.
因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.
x2t1，
x3 y1 z1
2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案：
解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取
直线l2上一点P2(3，-1，1)，
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.
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线性微分方程，当给出常数C的唯一值C0时，特解是确定的一个。设线性微分方程的通解是y=F（x）+C，那么给出常数C的唯一值C0时，则此线性微分方程的特解是y=F（x）+C0，是唯一的。线性微分方程的特解与通解中的F（x）是相同不变的y的原函数；而通解中的C是任意常数，包含C0。若给出常数C...
微分方程在一初始条件下的特解是唯一的吗?
是唯一的。所谓的不同形式，都是可通过恒等变形相互推得（不考虑计算要求，比如分母不为0），只不过有时候很看出来罢了。
非齐次微分方程的特解是不是不唯一的
非齐次方程组不一定有解。特解，全名叫特殊解，不是唯一的，是通解的一个代表。请采纳！
什么是通解和特解?
特解的一个显著特点是它是唯一确定的。因此，特解常常被用于解决实际问题中需要特定解的情况，例如初值问题或边界值问题等。例如：- y'' + 3y' - 4y = e^(-2x) 的一个特解为 y_p=1\/10e^(-2x)。3. 区别 （1）含义不同 通解是微分方程所有解的集合，它具有普遍性...
微分方程特解有常数吗
在给定的初值条件下，任何常数项会变成一个被指定为一个特定的常数项，是唯一的。1、通解是所有特解的集合，有时会把线性非其次方程对应的其次方程通解叫做通解部分，但是这并不是真正的通解，它甚至都不是原方程的解。2、在没有给定初值条件时，微分方程的通解是一定会存在任意常数项，而且这个常数项...
常微分方程 解的唯一性是指?
郭敦顒回答：常微分方程 解的唯一性,首先是指常微分方程的通解——函数的恒等式是确定的,具有唯一的形式；第二,常微分方程的特解是唯一的,特解的唯一性由初始条件自变量的值唯一确定.
微分方程的通解包含特解吗?
对于微分方程，它的解有通解与特解之分。1、从两者的性质上来说，通解包含特解，特解仅仅是通解的一部分。2、从两者的形式上来说，通解给出解的形式包含满足微分方程的所有解，它包含一些不确定参数。如果给出微分方程的初始条件，则可以确定参数的具体值，得到唯一的特解。举一个简单例子:因此，...
微分方程的特解存在的条件是什么
x,y)，f在一个点的某个邻域内，连续且关于y满足liptiz条件，则在这个点的一个邻域，就存在维一解。连续显然，只要证明Liptiz条件就行。sqrt(y2^2-9)-sqrt(y1^2-9)=(y1-y2)(y1+y2)\/(sqrt(y2^2-9)+sqrt(y1^2-9))其绝对值<c|y1-y2| c是一个常数，所以满足，所以有唯一解。
通解和特解有什么区别?
一、性质不同 1、通解：对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解的统一形式，称为通解。2、特解：这个方程的所有解当中的某一个。二、形式不同 1、通解：通解中含有任意常数。2、特解：特解中不含有任意常数，是已知数。
高数 微分方程满足初始条件的特解只有一个吗?还是有2个?
只有一个。特解，顾名思义就是满足特定条件的解，特解是针对特定的初始条件得出的一个解。而通解是所有特解的集合。
天元区可乐回答：[答案] 郭敦顒回答: 常微分方程 解的唯一性,首先是指常微分方程的通解——函数的恒等式是确定的,具有唯一的形式;第二,常微分方程的特解是唯一的,特解的唯一性由初始条件自变量的值唯一确定.
度紫15520346698问： 常系数线性常微分方程的特解的形式(不考虑通解)唯一吗? - ？
天元区可乐回答： 一般不含有任意常数的解称为特解这是书上的原话,解得形式不是一个我们所想的一个值现在是一个特定函数了
度紫15520346698问： 常微分方程解的唯一性问题 - ？
天元区可乐回答： 没有初值的话显然不会是唯一的. 如果加一个初值的话把x看作y的函数,直接积分就可以得到一支上的唯一性(注意解有两个支).
度紫15520346698问： 微分方程在一初始条件下的特解是唯一的吗?？
天元区可乐回答： 是唯一的.所谓的不同形式,都是可通过恒等变形相互推得(不考虑计算要求,比如分母不为0),只不过有时候很看出来罢了.
度紫15520346698问： 高数常系数非齐次线性微分方程的特解唯一吗 - ？
天元区可乐回答： 通解,表示的是所有的解. 在这所有解中,任意一个都是特解.
度紫15520346698问： 微分方程的问题!!! - ？
天元区可乐回答： 通解不是唯一的,因为微分方程的通解是一组解(因为常数C),但特解是唯一的,举个例子,比如解出来是y=x+sinx+c,也可写成y=x+sinx+lnc,但是带入初值后求出的特接肯定是一样的,比如y=x+sinx+2(只是解出的c值不同罢了), 下面在看化简的问题,一般来说,尽量形式越简单越好,但要注意,在化简过程中,只能漏掉个别解,如果解可以化成显函数就尽量化成显函数,不能的话就写成隐函数的形式也是可以的
度紫15520346698问： 【常微分方程】标准基本解组唯一吗?? - ？
天元区可乐回答： 不唯一 如xy坐标系中可以去[0,1],[1,0],,,,也可以取[1/sqrt(2),1/sqrt(2)],[-1/sqrt(2),1/sqrt(2)]
度紫15520346698问： 怎样的常微分方程的解是正弦或者是余弦 - ？
天元区可乐回答： y''+y=0的解是sinx与cosx, y''+4y=0的解是sin2x与cos2x 等等 一般齐次线性常系数方程的特征方程有共轭的两个纯虚数根时有正弦、余弦解.
度紫15520346698问： 关于全微分方程的解 - ？
天元区可乐回答： 首先解存在的话,那么一般解上再增添常数一般也是解,但微分方程的一般理论习惯上把这些解认为是同一解; 然后,关于解得唯一性是有要求的,条件种类很多,比如满足李普利兹条件等等.具体可以找本《常微分方程》看; 现在,只能大致说高数中所遇到的一般都是连续,甚至一致连续函数,这类函数组成的常微分方程是有唯一解的. 所以如果不是数学系的,是不用担心解得唯一性的
度紫15520346698问： 常微分方程的通解形式唯一吗?常微分方程的通解形式是否唯一(不是由于任意常数c导致的形式不同,而是由于不同解方程方法) - ？
天元区可乐回答：[答案] 排除任意常数c应该唯一,但是实际上.. y=(tanx)^2+C==(secx)^2+C=. 吧.写法不同可以不一样提交回答
