偏导数求导公式

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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24个基本求导公式
24个基本求导公式如下：1、C'=0（C为常数）。2、（xAn）'=nxA（n——1）。3、（sinx）'=cosx。4、（cosx）'=——sinx。5、（Inx）'=1\/x。6、（enx）'=enx。7、 （logaX）'=1\/（xlna）。8、 （anx）'=（anx）*ina。9、（u±V）'=u'±V'。10、 （uv）'=u'v+uv'。11...

常见的导数公式有哪些
常见的导数公式有哪些如下：y=c，y'=0（c为常数）y=x^μ，y'=μx^(μ－1)（μ为常数且μ≠0）y=a^x，y'=a^xlna；y=e^x，y'=e^x。y=logax，y'=1\/(xlna)（a>0且a≠1）；y=lnx，y'=1\/x。y=sinx，y'=cosx。y=cosx，y'=-sinx。y=tanx，y'=(secx)^2=1\/(cosx)^2...

基本函数导数公式表
基本导数公式表如下：导数的基本公式：常数c的导数等于零。X的n次方导数是n乘以x^n-1次方。3sinx的导数等于cosx。cosx的导数等于负的sinx。e的x方的导数等于e的x次方。a^x的导数等于a的x次方乘以lna。lnx的导数等于1\/x。loga为底x的对数的导数等于1\/(xlna)。导数存在的条件：函数在该点的左右...

导数求导基本公式
2、f(x)=a的导数， f'(x)=0, a为常数. 即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。可以根据幂函数的求导公式求得。3、f(x)=x^n的导数， f'(x)=nx^(n-1), n为正整数. 即系数为1的单项式的导数，以指数为系数， 指数减1为...

求f(x)的导数的公式是什么?
求导注意事项 对于函数求导一般要遵循先化简，再求导的原则，求导时不但要重视求导法则的运用，还要特别注意求导法则对求导的制约作用，在化简时，首先注意变换的等价性，避免不必要的运算错误。需要记住几个常见的高阶导数公式，将其他函数都转化成我们这几种常见的函数，代入公式就可以了，也有通过求一阶...

导数的基本公式14个推导过程
导数的基本公式的14个推导过程如下：1、常数函数的导数：f'（x）=0，其中f（x）=c（c为常数）。解释：常数函数的导数为0，因为常数不随x的变化而变化。2、幂函数的导数：f'（x）=ax^（a-1），其中f（x）=x^a。解释：幂函数的导数可以通过指数法则和求导法则进行推导。首先，指数法则告诉我们...

高中导数公式
2、f(x)=a的导数， f'(x)=0, a为常数。即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。可以根据幂函数的求导公式求得。3、f(x)=x^n的导数， f'(x)=nx^(n-1), n为正整数。即系数为1的单项式的导数，以指数为系数， 指数减1为...

数学导数基本公式
导数的基本公式：y=c（c为常数）y'=0、y=x^ny'=nx^（n-1）。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)...

考研24个基本求导公式
考研24个基本求导公式介绍如下：1、C′=0 (C为常数）2、（x∧n)′=nx∧(n-1)3、(sinx)′=cosx 4、(cosx)′=-sinx 5、(lnx)′=1\/x 6、(e∧x)′=e∧x 7、(logaX)'=1\/(xlna)8、(a∧x)'=(a∧x)*lna 9、（u±v)′=u′±v′10、(uv)′=u′v+uv′11、(u\/v)′=(...

简单函数求导公式
简单函数求导公式包括幂函数求导公式、指数和对数函数的求导公式。一、幂函数求导公式。1、f（x）=a的导数，f'（x）=0，a为常数。即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。可以根据幂函数的求导公式求得。2、f（x）=x^n的导数，f'（x...

检虞15737586420问： 偏导数基本公式 ？
代县瑞可回答： 偏导数基本公式:f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y.在数学中,一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量...

检虞15737586420问： 高数 偏导数公式 F(X)*F(Y)怎么关于Y求导 - ？
代县瑞可回答： 如果原式是z=F(X)*F(Y),那对z求Y方向的偏导=F(X)*F'(Y)

检虞15737586420问： 求偏导数u=x^y^z - ？
代县瑞可回答：[答案] 建议你用对数恒等式解决,注意到对X求偏导数时其他变量视为常数,转化为一元函数求导.利用一元求导的公式,我们有 u关于x的偏导数 (y^z)*x的(y的z次方减1)次方 u关于y的偏导数 (x^y^z)*In(x)*z*y的(z减1)次方 u关于z的偏导数 (...

检虞15737586420问： 一阶偏导数公式 - ？
代县瑞可回答： 一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定.对某个变量求偏导数.就把别的变量都看作常数即可.比如f(x,y)=x^2+2xy+y^2 对x求偏导就是f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y 一个函数在某一点的导数描述了这个函数在...

检虞15737586420问： 希望能写下分别求导和偏导数求导这两种方法,(xy^3)+(x^2)(y^2)=6 - ？
代县瑞可回答：[答案] 求导:1、y^3+3xy^2*y'+2xy^2+2x^2yy'=0→y'=-(y^3+2xy^2)/(3xy^2+2x^2y),求偏导数:偏导数是对函数来说的,这是个等式,只有两个变量,如果y是因变量x是自变量就不用偏导数,如果令z=(xy^3)+(x^2)(y^2)-6,那z对x的偏导=y^3+2xy^2,对y的偏导...

检虞15737586420问： 求一个一阶偏导数 - ？
代县瑞可回答： ^设y=(1+ax)^x (m^n表示m的n次方) 两边取对数:lny=x·ln(1+ax) 两边取导数:(1/y)·y'=1·ln(1+ax)+x·a/(1+ax) ∴y'=y·[ln(1+ax)+x·a/(1+ax)]=(1+ax)^x·[ln(1+ax)+ax/(1+ax)]∵z=(1+xy)^x ∴∂z/∂x=(1+xy)^x·[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]∂z/∂y=x(1+xy)^(x-1)·x=x^2·(1+xy)^(x-1)

检虞15737586420问： 偏导数求二阶导 - ？
代县瑞可回答： ^就是 y/(1-e^z),用分式、复合函数求导公式: (1/u)'=-1/u².u' 因为是对x求导,y可以看成常数.但是,z必须看成(x,y)在函数: [y/(1-e^z)]' =y[(1-e^z)^-1]' =y(-1)[(1-e^z)^-2](1-e^z)' =-y[(1-e^z)^-2](-e^z.z') =ye^z.[(1-e^z)^-2][y/(1-e^z)] =y²e^z/(1-e^z)³

检虞15737586420问： 偏导数的计算我是从事化验工作的.在评定不确定度时要用到偏导数的知识.可我没有一点儿这方面的知识.现在有一个公式如下:y=[(m2 - m0)/(m1 - m0)]*100.这个... - ？
代县瑞可回答：[答案] 对y求偏导数就是把除了y以外的数和字母都看成常数对y求导

检虞15737586420问： 偏导数具体求解方法及偏导数公式 - ？
代县瑞可回答： 偏导数的计算完全用的是导数计算的公式,只需将其中一个变量看作变量,其余变量当作常数,然后运用导数公式就行了,因此偏导数没有自己的公式.

检虞15737586420问： 偏导数fxy怎么求有公式没 ？
代县瑞可回答： 就是先对x求导,然后对y求导;你也就要理解为先对y求导,再对x求导,这个是等价的,求导次序可以倒换.答案就是为零,上面和下面都是一样,你这样想在只有x的式子里面对y求导肯定为零,在只有y的式子里面也是为零

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