二元方程极值点的判断

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

","gnid":"927890e86171bc27a","img_data":[{"flag":2,"img":[{"desc":"","height":"549","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01a453a8c9c6122d99.jpg","width":"941"}]}],"original":0,"pat":"art_src_0,otherc,fts0,sts0","powerby":"pika","pub_time":1695293494000,"pure":"","rawurl":"http://zm.news.so.com/64bd8e98e83082513305002748ec4158","redirect":0,"rptid":"ec94807e0f0a764b","rss_ext":[],"s":"t","src":"学长爱升本","tag":[{"clk":"keducation_1:高等数学","k":"高等数学","u":""},{"clk":"keducation_1:天津","k":"天津","u":""}],"title":"2024年天津专升本文化课考试高等数学新大纲（2023年9月修订）

---

多元函数极值点的判别
1.F（x、y）分别对x,y求偏导，目的是联立偏导方程，找出驻点。2.Fxx*Fyy和Fxy*Fyx的相对数值大小作为判断依据，目的就是，判断第一步中驻点是否为极值点。二元（或都多元）极值的求法思想与一元完全类似，试回忆一元函数求极值：1.f'(x)=0,找出驻点。 2.f''(x)判断，驻点是否为极值。设函...

如何判断一元二次方程是否有极值点?
一元二次方程极值点公式：顶点坐标：（－b\/（2a），（－b2+4ac）／（4a2））y=ax2+bx+c =a（x2+bx\/a+c\/a）=a =a（x+b\/2a）2-（b2-4ac）／4a2 当x=-b\/2a时y=-（b2-4ac）／4a2 定义 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为...

怎样判断一元二次方程的极值点?
判断二元函数极值方法如下：设：二元函数 f(x,y)的稳定点为：(x0,y0),即：∂f(x0,y0)\/∂x = ∂f(x0,y0)\/∂y = 0；记：：A=∂²f(x0,y0)\/∂x²B=∂²f(x0,y0)\/∂x∂yC=∂²f(x0,y0...

如何判断二次方程的极值点?
一元二次方程的极值点公式如下：当a > 0时，方程的图像开口向上，有最小值。极值点的横坐标为：x = -b \/ (2a)，纵坐标为：y = f(x) = c - (b^2 \/ (4a))当a < 0时，方程的图像开口向下，有最大值。极值点的横坐标为：x = -b \/ (2a)，纵坐标为：y = f(x) = c - (...

怎么判断点是不是该方程的极值点呢
极值点：若f(a)是函数f(x)的极值，则称a为函数f(x)取得极值时x轴对应的极值点。极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。极值点是函数图像的某段子区间内上极大值...

极值点与拐点的判断问题
f ''(xo)0,则xo为极小点；若f ''(xo)=0,则xo不是极值点,而是拐点.拐点必为方程f ''(x)=0的根,但方程f ''(x)=0的根不一定都是拐点.设xo是方程f ''(x)=0的根.当x从xo的 左边跑到xo的右边f ''(x)改变符号,则(xo,yo)是拐点；若f ''(x)的符号不变,则(xo,yo)不是拐点...

极值点的判断是怎么样的?
（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。极值函数：若f（a）是函数f（x）的极大值或极小值，则a为函数f（x）的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点。极值点是函数图像的某段子区间内上极...

多元函数如何求极值?
如果AC-B^2>0，则该点为极值点；如果AC-B^2<0，则该点不是极值点；如果AC-B^2=0，则该点需要进一步判断。再根据前面得到的方程组，解出所有可能的极值点，并代入原函数，计算出对应的函数值。比较各个函数值的大小，确定最大值和最小值。2、拉格朗日乘数法 这种方法适用于有约束条件的情况，...

极值点是怎样找到的?怎样判断极值点?
具体判断极值的方法如下：- 若导数的值在临界点的左侧是正数，右侧是负数，那么该临界点是极大值点。- 若导数的值在临界点的左侧是负数，右侧是正数，那么该临界点是极小值点。- 若导数的值在临界点的周围没有变号，这意味着导数在该临界点附近没有变化，该临界点可能是一个拐点或者是函数的无...

什么是极值点?什么是拐点?
2、判读方法不同。如果该函数在该点及其领域有一阶二阶三阶导数存在，那么函数的一阶导数为0，且二阶导数不为0的点为极值点；函数的二阶导数为0，且三阶导数不为0的点为拐点。如，y=x^4, x=0是极值点但不是拐点。如果该点不存在导数，需要实际判断，如y=|x|, x=0时导数不存在，但x=0...

鄣荆17193956478问： 二元函数极值点怎么确定 ？
丰泽区森克回答： 判断二元函数极值方法如下:设:二元函数 f(x,y)的稳定点为:(x0,y0)即:∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0记::A=∂²f(x0,y0)/∂x²B=∂²f(x0,y0)/∂x∂yC=∂²f(x0,y0)/...

鄣荆17193956478问： b^2 - ac判断极值的方法 ？
丰泽区森克回答： 二元函数极值的充分条件:f(x,y)=f(x0,y0)+△x f_x'(x0,y0)+△y f_y'(x0,y0)+1/2[(△x)²f_xx'' (ξ,η)+2△x △y f_xy''(ξ,η)+(△y)² f_yy''(ξ,η)]=f(x0,y0)+1/2[(△x)²f_xx'' (ξ,η)+2△x △y f_xy''(ξ,η)+(△y)² f_yy''(ξ,η)]→f(x0,y0)+1/2[A(△x)²+2B△x △y +C(△y)² ]B²-AC

鄣荆17193956478问： 极值点与拐点的判断问题 - ？
丰泽区森克回答：[答案] 设函数y=f(x);那么方程f '(x)=0的根谓之函数f(x)的驻点;凡极值点必为驻点,但驻点不一定是极值 点.驻点是否为极值点?有两种判法:(1).设xo为驻点.当x从xo的左边跑到xo的右边y'改变符号,那么xo就是极值点;符号由正变负,则xo是极大点;...

鄣荆17193956478问： 高数问题求解二元方程求极值问题,要过程全. - ？
丰泽区森克回答： 二元极值确定分两步:1.F(x、y)分别对x,y求偏导,目的是联立偏导方程,找出驻点.2.Fxx*Fyy和Fxy*Fyx的相对数值大小作为判断依据,目的就是,判断第一步中驻点是否为极值点.二元(或都多元)极值的求法思想与一元完全类似,试回忆一...

鄣荆17193956478问： 判定某点为函数极值点的充分条件有哪两个?其中一个充分条件是该点左右两端的导函数异号,如果函数在该点不可导但在该点左右两端的导函数异号,这个... - ？
丰泽区森克回答：[答案] 是极值点.极值的判断首先要求:1、该处函数值有意义,2、该处函数连续.求极值的时候F'(X)=0是首先考虑的,但是对于F'(X)无意义的点也要讨论,只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号,就可以确定该点是极值点.

鄣荆17193956478问： 多元函数极值如何判断极大和极小值 - ？
丰泽区森克回答： 1.如果没有限制条件的话,以二元函数为例,第一步求出该函数的一阶偏导数都为零时的点,记为P0点,此时P0点是稳定点,然后验证Heesen矩阵的的正定性,若正定,在P0点取得极小值,若负定,在P0点取得极大值,若不定,不取得极值...

鄣荆17193956478问： 高数 二元函数驻点和极值点 - ？
丰泽区森克回答： 1、什么是函数的极值点?对于函数y=f(x)来说,在其定义域内一点x0处的邻域内,除x0外所有函数的值都大(小)于f(x0),则称x=x0为函数的一个极小(大)值点,f(x0)称为函数地极小(大)值; 2、什么是函数的驻点?函数y=f(x)在区间A上...

鄣荆17193956478问： 怎样判断二元函数极值 - ？
丰泽区森克回答： 极值判断的充分条件: 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某领域连续,有一阶和二阶连续的偏导数,且一阶导数f'x(x0,y0)=0,f'y(x0,y0)=0,令二阶导数f'xx(x0,y0)=A,f'xy(x0,y0)=B,f'yy(x0,y0)=C,则函数f(x,y)在点(x0,y0)处: B^2-AC<0时,函数有极值,且当A<0时,为极大值,当A>0时,为极小值.B^2-AC>0时,函数无极值.B^2-AC=0时,无法判断是否有极值. PS:该方法的证明可由泰勒展开证明,这里就不加赘述了,希望对您有帮助.

鄣荆17193956478问： 确定常熟a,使点(1, - 1),为二元函数f(x,y)=2x^2+ax+xy^2+2y,的极致点,判断在(1, - 1)取得极大值还是极小志,求出此极值 - ？
丰泽区森克回答：[答案] f'x=4x+a+y^2 f'y=2xy+2 (1,-1)为极值点,则有: f'x(1,-1)=4+a+1=0,得:a=-5 f'y(1,-1)=-2+2=0 所以a=-5

鄣荆17193956478问： 二元函数在哪些点上可能取得极值 - ？
丰泽区森克回答： 偏导数=0的点,或者不可导点,类比一元函数,导数为0的点和不可导点都可以取到极值

---