与直线垂直的直线方程公式
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．
二、考试内容与基本要求
（一）能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．
思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表
现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，
寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，
对几何图形各几何量的计算求解等．
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题．
（二）内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为
进一步学习奠定基础．
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求．
了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．
理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列
知识解决简单问题．
掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有
关问题．
灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题．
具体内容与要求详见表1—表7．
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素（定义域和对应规则）
√
分段函数
√
函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
√
反函数，复合函数
√
基本初等函数的性质和图像，初等函数
√
极
限
极限（含左、右极限）的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数，极限，连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法，分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念，二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算，数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系（平行、垂直）
√
牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．
全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答
题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出
计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共
17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
（一）选择题
1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A．[1，2]
B．(1，2]
C．(2，1)
D．[2，1)
答案：B
2．当x0时，与x等价的无穷小量是
A．tanx
B．2sinx
C．e2x1
D．ln(1x)
答案：A
dx0
costdt
3．
A．sinx2
答案：C
（二）填空题
x29
1．极限lim
x3x22x3
3
答案：
2
B．2xsinx2
_____________.
C．cosx2
D．2xcosx2
2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案：3
3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案：
3d xdy
3xy
（三）解答题
1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案：
fx3x23y0，
解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).
fy3y3x0
又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.
对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.
6
对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小
值点，极小值f(1，1)4.
因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.
x2t1，
x3 y1 z1
2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案：
解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取
直线l2上一点P2(3，-1，1)，
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.
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根据垂直关系设所求直线的方程为,把点代入直线方程求出的值,即可得到所求直线的方程.解:设所求直线的方程为,把点代入直线方程可得,,故所求直线的方程为,故答案为:.本题主要考查两直线垂直的性质,两直线垂直斜率之积等于,用待定系数法求直线的方程.
直线的五种方程是什么?
1：点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)。2：斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b 3：两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1\/x2-x1＝y-y1\/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直...
如图,求与两条直线垂直相交的直线方程。
简单计算一下即可，答案如图所示
如果某直线垂直于X轴,那么它的直线方程怎么写?
假设它与X轴交于（t,0) 那么它的直线方程为x=t
已知一条直线方程,怎么设与他垂直平行的直线方程
与已知直线Ax+By+C=0平行的直线可设成Ax+By+C1=0 垂直的直线可设成 BX-Ay+C2=0
高二数学 关于求 与已知直线垂直的直线方程的求法
方法很多，其中一种是 两条直线垂直，则 k1 k2 = -1 k1,k2分别是两条直线的斜率 k1 = -0.5 所以k2=2 所以所求直线方程为 y = 2x + b，带入（-3，1）得解
已知一条直线垂直另一条直线其直线方程怎么办
若一条直线方程为y=k1x+b,另一条直线方程为y=k2x+b，则k1乘k2=-1
求过点 且和直线 垂直的直线的方程
当 时，直线 的斜率为 ． 所求直线与直线 垂直， 所求直线的斜率为 ．由点斜式得 ，即 为所求直线方程．当 时，直线 的方程为 ，过点 与它垂直的方程为 ，适合上面所求方程 ．同理，当 时，过点 与直线 垂直的直线方程为 ，也适合上面所求方程．总之，过点 ...
高一平面解析几何~~两直线垂直时,其中一直线方程和另一直线上一点的关系...
两个知识点：如果直线过某个点，那么它一定可以写成A（x-x0)+B(y-y0)＝0的形式 （这里的A、B跟题目的不同）如果两直线垂直，它们的斜率互为负倒数。那么把已知直线里，x和y的系数调换一下，再其中一个多个负号，就是了。
过点 且与直线 垂直的直线方程是
过点 且与直线 垂直的直线方程是 试题分析：与直线 垂直的直线的斜率为-1，所以，过点 且与直线 垂直的直线方程是 ，即 。点评：简单题，两直线垂直，斜率乘积为-1，或一直线斜率不存在，另一直线的斜率为0.
新河县葛根回答：[答案] 若直线过点,且与直线垂直,则直线的方程为___________.
大叔穆17760342120问： 过点 且与直线 垂直的直线的方程为 ; - ？
新河县葛根回答：[答案]分 析: 直线的斜率为,则所求直线斜率为.又因为所求直线过点 则其方程为 即. 考点: 1两直线垂直时斜率的关系;2直线方程.
大叔穆17760342120问： 经过点 且与直线 垂直的直线方程为 . - ？
新河县葛根回答：[答案]直线的斜率k=-2,与它垂直的直线的斜率为,直线的方程为即
大叔穆17760342120问： 经过直线 和直线 的交点,且垂直于直线 的直线方程为________ - __________. - ？
新河县葛根回答：[答案] 经过直线和直线的交点,且垂直于直线的直线方程为___________________. 因为联立直线方程和 得:y=-1,把y=-1代入②,解得x=-1, 原方程组的解为:x=-1,y=-1 所以两直线的交点坐标为(-1,-1),又因为直线x+3y+4=0的斜率为-,所以所求直线...
大叔穆17760342120问： 在坐标平面内两条直线垂直怎么写方程 - ？
新河县葛根回答： 你这问得有些【云山雾罩】!你至少给出其中的一条直线方程唦. 若 其中一条方程是 ax+by+c=0 ,则它的垂线方程为 bx-ay+c'=0 【c'不一定等于c!】;若 其中一条的方程 y=kx+b ,则它的垂线为 y=(-1/k)x+b' 【b'不一定等于b!】.
大叔穆17760342120问： 与一直线垂直的直线怎么求 - ？
新河县葛根回答： 两垂直直线的斜率之积=-1,由已知直线斜率可得被求直线斜率,再根据一点,比如交点坐标,根据点斜式,可以得直线方程.注意,有两种特殊情况: 1,已知直线斜率=0,,y=常数,水平直线,此时不满足乘积=-1,因为垂直直线斜率无穷,方程为x=常数,常数由直线上的点确定; 2,与1正好相反,已知直线是x=常数,待求直线斜率=0,直线方程为y=常数
大叔穆17760342120问： 与y=ax+b垂直的直线 方程是什么啊 - ？
新河县葛根回答： 在y=ax+b 斜率为 a 根据两直线垂直,斜率乘积为-1 可知 所求直线斜率为 -1/a 所以所求直线方程为 y=-1/ax+c(c为任意值)
大叔穆17760342120问： 高二数学 关于求 与已知直线垂直的直线方程的求法 - ？
新河县葛根回答： 方法很多,其中一种是 两条直线垂直,则 k1 * k2 = -1 k1,k2分别是两条直线的斜率 k1 = -0.5 所以k2=2 所以所求直线方程为 y = 2x + b, 带入(-3,1)得解
大叔穆17760342120问： 过点(0,1)且与直线2x - y=0垂直的直线方程的一般式是______. - ？
新河县葛根回答：[答案] ∵与直线2x-y=0垂直的直线方程的斜率k=- 1 2, ∴过点(0,1)且与直线2x-y=0垂直的直线方程为: y-1=- 1 2x,整理,得:x+2y-2=0. 故答案为:x+2y-2=0.
大叔穆17760342120问： 求解高数题:过定点与两直线垂直的直线方程 - ？
新河县葛根回答：[答案] 先找到两条直线的方向向量 v1、v2 , 计算它们的矢量积 n=v1*v2 ,这就是所求直线的方向向量, 利用定点及方向向量可以直接写出所求直线的方程. 举例:求过定点(1,2,3),且与直线 (x-1)/2=(y-2)/3=(z-3)/4 及 (x+1)/3=(y+2)/4=(z...
