阅读下列材料:(1)问题:如图1,P为ABCD内一点,且PA:PB:PC=1:2:3

作者&投稿:双倪 (若有异议请与网页底部的电邮联系)
阅读下列材料:问题:如图1,P为正方形ABCD内一点,且PA:PB:PC=1:2:3,求∠APB的度数.小娜同学的想~

解答:解:如图2.∵根据旋转的性质知∠PBE=90°,△BCP≌△BAE.∴BP=BE,PC=AE,∴∠BPE=∠BEP=45°.又PA:PB:PC=1:2:3,∴AE2=AP2+PE2,∴∠APE=90°,∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°,即图2中∠APB的度数为135°.故答案是:135°;(1)如图3,将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACM,然后连接PM,△APM即为所求,即以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM.以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM.(2)如图3.∵根据旋转的性质知∠PCM=60°,△BCP≌△ACM.∴PC=CM,∠AMC=∠BPC=125°,∴△PCM是等边三角形,∴∠MPC=∠PMC=60°,∠AMP=∠AMC-∠PMC=65°.∵∠APB=115°,∠BPC=125°,∠APB+∠BPC+∠MPC+∠APM=360°,∴∠APM=60°,∴∠PAM=180°-∠APM-∠AMP=55°.∴以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 60°、65°、55°.故答案是:60°、65°、55°.

小题1:150°,小题2:如图,将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得△BP′A,则△BPC≌△BP′A. ……3分 ∴AP′=PC=1,BP=BP′=.连结PP′,在Rt△BP′P中,∵ BP=BP′=,∠PBP′=90°,∴ PP′=2,∠BP′P=45°. …………4分在△AP′P中, AP′=PC=1,PP′=2,AP=,∵ 1 2 +2 2 =() 2 ,即AP′ 2 +PP′ 2 =AP 2 .∴ △AP′P是直角三角形,即∠AP′P=90°. …………5分∴∠AP′B=∠AP′P+∠BP′P=135°.∴ ∠BPC=∠AP ′B=135°. …………6分过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E.则∠EP′B=45°,∴ EP′=BE=BP′=1,∴AE=2.∴在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=. …………8分∴∠BPC=135°,正方形边长为. 略

本题用旋转法可以巧解。

解:不妨设PA=k,PB=2k,PC=3k。
将△PBC绕B点逆时针旋转90°至BC与AB重合,得到一个新的△AQB,可知:BQ=PB=2k,QA=PC=3k,∠ABQ=∠PBC,
由于∠PBC+∠ABP=90°,所以∠PBQ=∠ABQ+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°,则△PBQ是一个等腰直角三角形,
故:∠BPQ=45°,

由勾股定理,得:PQ^2=PB^2+BQ^2=(2k)^2+(2k)^2=8k^2,

另外,在△APQ中,PA^2+PQ^2=k^2+8k^2=9k^2=QA^2,由勾股定理知:△APQ是一个以∠APQ为直角的直角三角形,即∠APQ=90°。

综上得:∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°+45°=135°。

解:不妨设PA=k,PB=2k,PC=3k。
将△PBC绕B点逆时针旋转90°至BC与AB重合,得到一个新的△AQB,可知:BQ=PB=2k,QA=PC=3k,∠ABQ=∠PBC,
由于∠PBC+∠ABP=90°,所以∠PBQ=∠ABQ+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°,则△PBQ是一个等腰直角三角形,
故:∠BPQ=45°,

由勾股定理,得:PQ^2=PB^2+BQ^2=(2k)^2+(2k)^2=8k^2,

另外,在△APQ中,PA^2+PQ^2=k^2+8k^2=9k^2=QA^2,由勾股定理知:△APQ是一个以∠APQ为直角的直角三角形,即∠APQ=90°。

综上得:∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°+45°=135°。


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