三垂线是什么？
三垂线定理，平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
定理
折叠线面垂直证明
已知:如图，PO在α上的射影OA垂直于a三垂线定理的证明。求证:OP⊥a
证明:过P做PA垂直于α
∵PA⊥α且a⊆α
∴a⊥PA
又a⊥OA
OA∩PA=A
∴a⊥平面POA
∴a⊥OP
折叠用向量证明
1.已知:PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，向量b包含于α，且向量b垂直于OA，求证:向量b垂直于PA
证明:∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=(向量PO+向量OA)
∴向量PA·向量b=(向量PO+向量OA)·向量b=(向量PO·向量b)+(向量OA·向量b )=0，∴PA⊥向量b。
2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。
解:∵向量OA=(向量OB+向量AB)，O是内心，又∵AB=BC=CA，∴OA与平面OBC所成的角是30°。
折叠三余弦定理
三余弦定理:平面内的一条直线与该平面的一条斜线所成角的余弦值，等于斜线与平面所成角的余弦值乘以斜线在平面上的射影与该直线所成角的余弦值。
例如:OP是平面OAB的一条斜线，且OP在面上的射影是OC。若∠POC=α(斜线与平面所成角)，AB与OC所成角为β(射影与直线所成角)，OP与AB所成角为γ(直线与斜线所成角)，则cosγ=cosαcosβ
显然，三垂线定理就是当β=90°的情况。直线垂直射影有cosβ=0，因此cosγ=0，即直线与斜线也垂直。
折叠编辑本段使用
1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系.
2,a与PO可以相交,也可以异面.
3,三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的. 从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证.即第一,找平面(基准面)及平面垂线第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直.
注:
1°定理中四条线均针对同一平面而言
2°应用定理关键是找"基准面"这个参照系
附:江苏省《教学要求》中规定自2011年高考起 "三垂线定理"不能作为推理论证的依据，要证明。
黑龙江省《教学要求》中规定自2012年高考起 "三垂线定理"不能作为推理论证的依据，要证明。
折叠编辑本段口诀
线射垂，线斜垂;线斜垂，线射垂。
折叠编辑本段逆定理
三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
折叠编辑本段说明
(1)线射垂直(平面问题)⇒线斜垂直(空间问题); (2)证明线线垂直的方法:定义法;线线垂直判定定理;三垂线定理; (3)三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 (4)直线a与PO可以相交，也可以异面。 (5)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。(6)可用来解决异面直线所成的角和二面角的平面角等问题。
三垂线就是所谓的垂直于斜线就垂直于垂线，垂直于垂线就垂直于斜线，而我只用了一个定理来代替了它：垂直于平面内两条相交直线，哪么就垂直于该平面。可以说，三垂线只是属于这个定理的一部分而已，而有些时候根本没发用，因为你用三垂线老是要找什么所谓的斜线了，垂线了，很麻烦，而用：垂直于平面内两条相交直线，哪么就垂直于该平面，垂直于该平面就垂直于该平面内所有直线。就已经足够了。
书上是这样说的：过平面a上一点B作AB垂直于平面a，在过点A作平面a的斜线交平面a于C点，连接BC，然后过C点在a平面上作直线CD，若直线CD垂直于斜线AC，哪么CD就垂直于BC，同理若直线CD垂直于BC哪么，CD就垂直于AC。
【教学目标】:使学生进一步明确三垂线定理及其逆定理的应用,进一步培养学生分析问题,解决问题的能力,从而提高学生的识图能力
【教学重点】:三垂线定理的应用
【教学难点】:三垂线定理图形的识别.
【教学过程】:
三垂线定理的主要作用是用来证明直线与直线的垂直,它是由线面垂直推证线线垂直的进化,在应用三垂线定理证明线线垂直时关健在于如何寻找三垂线定理的基本图形"一面四线"
〖基础练习〗
〖练习1〗如图:已知点O,B以及直线a在平面α内,点A在平面外,给出如下三个结论:①AB⊥α;②OA⊥a;③OB⊥a.把其中两个作为条件,另一个作为结论,共可组成多少个真命题,请把这些真命题写出来.
注:通过这一练习,熟悉三垂线定理及其逆定理所反映的关系,它是三个垂直关系的相互转化.
三垂线定理的基本要素:
一面:基础平面
四线:斜线,垂线,射影,面内直线
注:三垂线定理及其逆定理实际上是"面内直线垂直于射影"和"面内直线垂直于斜线"的一种互推关系.
定理的符号表示:
三垂线定理:
∵AB⊥平面α,aα,a⊥OB
∴a⊥OA
三垂线定理的逆定理:
∵AB⊥平面α,aα,a⊥OA
∴a⊥OB
过一条直线与平面的交点且与这条直线垂直的线,过这条直线上任意一点作垂直与平面的直线,还有前面提到的不在平面上的俩条线与平面的交点的连线!晕了吗?
什么是垂线?垂线有什么性质呢?
垂线的定义是两条直线相交，并且有一个角是直角。垂线也就是两条线互相垂直，那么一条直线就叫做另一条直线的垂线，而它们相交的这个点就被称之为垂足。当然如果这两条直线相交之后所形成的4个角都是直角，那么这两条直线也可以叫做互为垂线。垂线的定理和性质 1、垂直公理：在同一平面内，过一点（...
垂线垂直定义都是什么
1、垂线的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，称之点到直线的距离，若两条直线相交，且相交后的四个角都为90度，则这两条直线互相垂直，即为互为垂线；2、垂直的定义：是指一条线与另一条线成直角，这两条直线互相垂直。
什么叫做垂线,什么叫做平行线?小学数学,请告诉我怎么写?
垂线的基本性质是：（1）过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。（2）从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，平行关系是相互的。垂直于同一条直线的两直线平行。过一点，有且只有一条直线和这条直线平行。
怎样画垂线。什么叫垂线
垂线是指和一条已知直线相互垂直的直线。画垂线时，先画出一条直线，用三角板的一条直角边与这条直线重合，沿着三角板的另一条直角边画线并与前面那条直线相交，这条相线就是前面那条直线的垂线。
什么是垂线,什么是垂直,什么叫垂足,什么叫垂线段?
1. 垂线：在几何学中，垂线是指两条线段或直线相交成直角的情况，其中一条线段或直线被称为另一条的垂线。2. 垂足：垂足是指一条线段或直线与另一条线段或直线相交，并且形成直角的交点。3. 垂线段：垂线段是指从直线外一点到直线上某点的线段，且这条线段与直线垂直相交。垂线段的两个端点分别是...
垂线是什么意思
垂线的意思是指在同一平面内，两条直线如果相交并形成的四个角中有一个是直角，那么这两条直线互为垂线。简单来说，就是两条互相垂直的直线。这种关系在几何学中非常重要，有助于我们理解和描述图形的性质。详细解释如下：垂线的定义 垂线是在同一平面内，两条直线相交形成直角的情形。这种关系中，两条...
什么叫做垂线
垂线是一种特殊的直线，它在一个平面内与另一条直线或曲线垂直相交。在几何学中，垂线的概念非常重要，它是构建几何图形和计算角度的基础。下面将对垂线的概念进行详细解释。1. 垂线的定义：垂线是与另一条直线或曲线垂直相交的直线。在一个平面内，两条线如果垂直相交，则它们之间的关系即为垂直关系。
什么是垂直线??请详细讲解
在一条直线或平面上，另一条直线和已知直线或平面夹角为90度，就是垂直线。在一条直线上画一个点离它最近的线，垂直线是最短的。在空间中，垂直线可以和该线段共面，也可以异面。平面内，一条直线有无数条垂直线，彼此互相平行；空间中，一条直线的不同垂线可能互相垂直，也可能异面。垂线的性质（...
什么叫垂直线垂直线的解释
1、垂直线：当两条直线相交所构成的四个角中，如果有一个角是直角，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线（垂直线），它们的交点叫做垂足。两条直线互相垂直，是两条直线间又一重要的位置关系。2、利用线段垂直平分线性质的逆定理，即如果一点到线段两端点的距离相等，那么这...
什么叫做直线,垂线,射线,线段,平行线
垂线：两条直线的两个特殊位置关系,：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。垂线段最短。从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。一个角的两边分别垂直于...
岳祥涩肠： 三条线:平面M内的一条直线L₁,与平面M相交的直线L₂,L₂在平面M内的投影线L₃. 三垂线定理:如果L₁⊥L₃ ,则L₁⊥L₂ 三垂线定理的逆定理:如果L₁⊥L₂ ,则L₁⊥L₃
石首市13249274698： 三垂线的详细讲解【怎样运用】三垂线指的是那三条线? - ？
岳祥涩肠：[答案] 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.逆定理三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条...
石首市13249274698： 三垂线定理是什么? - ？
岳祥涩肠： 三垂线定理是:平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面 内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
石首市13249274698： 数学上的三垂线定理是什么? - ？
岳祥涩肠： 一条直线垂直于斜线在平面内的射影,它就垂直于这条斜线
石首市13249274698： 三垂线法是什么呢? - ？
岳祥涩肠： 三垂线就是所谓的垂直于斜线就垂直于垂线,垂直于垂线就垂直于斜线,而我只用了一个定理来代替了它:垂直于平面内两条相交直线,哪么就垂直于该平面.可以说,三垂线只是属于这个定理的一部分而已,而有些时候根本没发用,因为你用三垂线老是要找什么所谓的斜线了,垂线了,很麻烦,而用:垂直于平面内两条相交直线,哪么就垂直于该平面,垂直于该平面就垂直于该平面内所有直线.就已经足够了.书上是这样说的:过平面a上一点B作AB垂直于平面a,在过点A作平面a的斜线交平面a于C点,连接BC,然后过C点在a平面上作直线CD,若直线CD垂直于斜线AC,哪么CD就垂直于BC,同理若直线CD垂直于BC哪么,CD就垂直于AC.
石首市13249274698： 三垂线定理是什么? - ？
岳祥涩肠：[答案] 定义在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在...
石首市13249274698： 数学中的三垂线定理及其逆定理是什么? - ？
岳祥涩肠：[答案] 三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 逆定理:三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内...
石首市13249274698： 三垂定理是什么啊? - ？
岳祥涩肠：[答案] 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直;反之,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直. 射影就是斜线的一端到另一端到平面的垂线段的连线. 哈哈...
石首市13249274698： 麻烦说明一下三垂线定义是怎样的？
岳祥涩肠： 在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
石首市13249274698： 三垂线是什么心 - ？
岳祥涩肠： 如果这个垂线指的是中垂线,那么是外心 如果这个垂线指的是高,那么是垂心!
