如何用矩阵的秩的定义证明一个矩阵与其转置矩阵的秩相等。
矩阵的秩定义为它的非零子式的最大阶。注意行列式转置值不变。矩阵的子式在
转置之后成为转置矩阵的子式(原子式的转置。）。它的值不变。所以非零子式
的最大阶也不会变。即矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩。
可以用 ε(ijk) 来证明。就是det(A)=1/6 ε(ijk) ε(pqr )A (ip)A (jq)A (kr).
矩阵A的任一个k阶子式MA转置后在A^T的位置是行列互换
所以恰对应 M^T
所以A有非零的r阶子式的充要条件是A^T有非零的r阶子式
A的所有r+1阶子式都等于0的充要条件是A^T所有r+1阶子式都等于0
故 r(A) = r(A^T).
利用极大无关组相同
如何理解行秩、列秩、秩的含义?
变化规律：（1）转置后秩不变 （2）r(A)<=min(m，n)，A是m*n型矩阵 （3）r(kA)=r(A)，k不等于0 （4）r(A)=0 <=> A=0 （5）r(A+B)<=r(A)+r(B)相关定义：（1）在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个...
矩阵的秩是什么
阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数...
矩阵秩的定义
实对称矩阵一定满秩吗 实对称矩阵在数学中扮演着重要的角色。它们具有很多有用的特性，例如对角化、正交对角化等。但是，一个常见的问题是，实对称矩阵一定满秩吗?实对称矩阵的定义 在开始讨论这个问题之前，我们先来回顾一下实对称矩阵的定义。一个实矩阵是对称的，如果它等于它的转置，即满足$A=A^T...
矩阵的秩是什么意思?
系数矩阵a的行，即代表方程组中方程的个数，行线性无关就是有m个方程～列的个数为所求变量的个数～～只有零解的充要条件请查一下克拉默法则～给的是齐次线性方程组，只有零解，应该要求｜a｜≠0 仔细查看了一下高等代数的书，矩阵秩的定义核实一下：行秩=列秩=（定义为）矩阵的秩～如果a的行...
矩阵的秩的定义是什么啊?
设 (a1, a2, a3)x = b, 即 Ax = b，若有非零解，即 b 可由 a1, a2, a3 线性表出。增广矩阵 (A, b) = [2 -1 2 0][2 2 1 1][3 1 -1 2][1 2 -2 3]初等行变换为 [1 2 -2 3][0 -5 6 -6][0 -2 5 -5][0 -5 3 -4]初等行变换为 [1 0 3 -2][0...
矩阵的行秩与列秩的定义?
这个定义涉及到向量的极大线性无关组。设a1,a2……as为一个n维向量组，如果向量组中有r个向量线性无关，而任何r+1个向量都线性相关，那么这r个线性无关的向量称为向量组的一个极大线性无关组。向量组的极大线性无关组中所含向量的个数，称为向量的秩。矩阵的行向量的秩称为行秩。列向量的秩...
秩(A)的定义是什么?
类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
矩阵行秩列秩怎么定义的,相等吗
这个定义涉及到向量的极大线性无关组。设a1,a2……as为一个n维向量组，如果向量组中有r个向量线性无关，而任何r+1个向量都线性相关，那么这r个线性无关的向量称为向量组的一个极大线性无关组。向量组的极大线性无关组中所含向量的个数，称为向量的秩。矩阵的行向量的秩称为行秩。列向量的秩...
为什么矩阵的秩等于行秩也等于列秩
矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分. 其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从...
矩阵的秩(rank)为何被翻译成“秩”?
矩阵的秩的概念是由Frobenius在1879年引进的，在论文Jour.für Math.,86,1879,146-208=Ges.Abh.1,482-544.中，他原话翻译过来是，“如果一个行列式的所有r+1阶子式为0，但至少有一个r阶子式不为0，那么就称r为行列式的秩(rang）”.这是现在数学中秩的等价定义了。特别强调，rang不是我打错...
尧灵胰岛：[答案] 矩阵A的任一个k阶子式M A转置后在A^T的位置是行列互换 所以恰对应 M^T 所以A有非零的r阶子式的充要条件是A^T有非零的r阶子式 A的所有r+1阶子式都等于0的充要条件是A^T所有r+1阶子式都等于0 故 r(A) = r(A^T).
滨江区13375556936： 如何用矩阵的秩的定义证明一个矩阵与其转置矩阵的秩相等. - ？
尧灵胰岛： 矩阵A的任一个k阶子式M A转置后在A^T的位置是行列互换 所以恰对应 M^T所以A有非零的r阶子式的充要条件是A^T有非零的r阶子式 A的所有r+1阶子式都等于0的充要条件是A^T所有r+1阶子式都等于0 故 r(A) = r(A^T).
滨江区13375556936： 矩阵的秩的证明题设A为m*n矩阵,B为n*m矩阵,且AB可逆.证明:秩A=秩B=m.数学高手请进,给出证明,谢谢· - ？
尧灵胰岛：[答案] 证明:AB为m*m矩阵,且其可逆,=> r(AB)=m. 由r(A)、r(B)=r(AB)=m. 所以,秩A=秩B=m
滨江区13375556936： 证明一个矩阵的行秩等于它的列秩 - ？
尧灵胰岛： 令A是一个m*n的矩阵,其列秩为r. 令A的列的一组基为c1,c2,...cr,并记矩阵C=(c1,c2,...cr). 显然A的每个列向量是c1,c2....cr这r个列向量的线性组合. 设A的第i列ai=bi1c1+bi2c2+....+bircr ,令B=(bij) 这是一个r*n矩阵 有A=CB 再观察A的行向量,有A=CB知A 的每个行向量都是B的行向量的线性组合,因此A的行秩 ≤R 的行秩. 但R仅有r行, 所以A的行秩 ≤r =A 的列秩. 这就证明了A的行秩 ≤A 的列秩类似可知A的列秩=A的转置的行秩 ≤A的转置 的列秩=A的行秩 所以A的行秩=A 的列秩
滨江区13375556936： 证明:秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和 - ？
尧灵胰岛：[答案] 这个题目比较简单 我们设矩阵的阶数是n 那么它的秩为r,设X1,X2,X3,..Xr是它的极大无关组 那么我们知道X(r+1),...Xn都是可以由上面线性表式出来的 把它们写出来就后 那么利用矩阵的拆分可以知道它可以由r个秩为1的矩阵之和表示
滨江区13375556936： 如何用矩阵的秩来判定平面之间的关系? - ？
尧灵胰岛： 二维矩阵,显然秩为2时,共面,秩为1时共线; 三维矩阵,秩等于3时为几何体,小于3时线性相关,共面或共线.
滨江区13375556936： 一个矩阵的秩的证明题目,请帮帮忙! - ？
尧灵胰岛： 这是一个经典的线性代数的结论,很多线性代数的教科书里都会有的.不过要注意这件事情只对实数域上的矩阵才成立(复数域上要把题中的转置替换为厄米共轭). 我们利用矩阵的秩与相应方程组解空间的维数的关系来证明,并且我们证明更...
滨江区13375556936： 如何证明矩阵和的秩不超过矩阵秩的和 - ？
尧灵胰岛： 设矩阵是m*n的,A=[α1,α2,……αn],B=[β1,β2,……,βn] 那么A+B=[α1+β1,α2+β2,……αn+βn] r(A+B)=r(α1+β1,α2+β2,……αn+βn) α1+β1,α2+β2,……αn+βn可由 α1,α2,……αn,β1,β2,……,βn线性表出; 所以 r(A+B)≤r(α1,α2,……αn,β1,β2,……,βn)≤r(α1,α2,……αn)+r(β1,β2,……,βn)=r(A)+r(B) 所以:r(A+B)≤r(A)+r(B)
滨江区13375556936： 线性代数,证明矩阵的秩一种定义:矩阵A的不为零的子式的最高阶数,叫做矩阵A的秩 - ？
尧灵胰岛：[答案] 课本上有定理证明. 其实只要理解了规律,这个定理会很容易记住的. 对秩的理解也会加深,对线代整个体系的掌握也会提升.
滨江区13375556936： 线性代数中,如何求一个已知矩阵的秩? - ？
尧灵胰岛： 通过初等行变换法,将矩阵化成阶梯矩阵,阶梯矩阵非零行(零行就是全是零的行,非零行就是不全为零的行)的个数就是秩. 初等变换的形式: 1、以P中一个非零的数乘矩阵的某一行; 2、把矩阵的某一行的c倍加到另一行,这里c是P中的...
