一道八年级数学几何题
【分析】
→要求∠E,观察图形,从已知条件可求出∠ABD与∠ACD
→那么根据角平分线的性质,∠ABE与∠ECA就不难求。
→∠EMC为△AMB的外角,那么∠EMC=∠A+∠ABM,这是可以求出来的。
→在△EMC中,∠EMC与∠ECA都求出来了,那∠E就求出来了。
【解答过程】
解:∵∠DOC=∠A+∠ABD
∠AOB=∠D+∠ACD
又∵∠DOC=∠AOB
∠A=70°,∠D=40°
∴∠ABD=40°,∠ACD=70°
∵BE,CE分别平分∠ABD、∠ACD
∴∠EBO=1/2∠ABD=20°
∠ECA=1/2∠ACD=35°
∴∠EMC=∠A+∠ABM=90°
∴∠E=180°- ∠EMC -∠ECA = 180°- 90°- 35 °= 55°
【反思】
在草稿纸上照题目所给条件把图重新画一遍,这样数形结合有助于对题目的理解,解题会更快。
连结AC,BD相交于点O。再连结PO.因为PD垂直PB,故PO=OD=OB.又因为OC=OA=OB;则PO=OC=OA;所以PA垂直PC。
因为AB垂直AC
所以角BAC=90度
因为AB=AC
所以三角形ABC是等腰直角三角形
所以角ACB=45度
角BAC=90度
因为DE=EC
DE出笛子EC
所以三角形DEC是等腰直角三角形
所以角DEC=90度
角CDE=45度
所以角BAC=角DEC=90度
所以A,D,C,E四点共圆
所以角CAE=角CDE
所以角CAE=45度
所以角CAE=角ACB=45度
所以AE平行BC
另一种方法:
证明:延长BA,使DF=AC,连接EF,设AC与DE相交于点O
因为角AOE=角DAO+角ADE=角OEC+角ACF
因为AB垂直AC
所以角BAC=角DAC=90度
因为AB=AC
所以三角形BAC是等腰直角三角形
角ABC=45度
因为DE垂直CE
所以角DEC=90度
所以角ADO=角ACF
因为DE=CE
所以三角形FDE和三角形ACF全等(SAS)
所以AE=EF
角DEF=角AEC
因为角AEC=角AED+角DEC=90+角AED
角DEF=角ACD+角AEF
所以角AEF=90度
所以三角形AEF是等腰直角三角形
所以角FAE=45度
所以角FAE=角ABC=45度
所以AE平行BC(同位角相等,两直线平行)
证明:设AC,DE交于F,在△ADF与△DEF中,由∠DAF=∠FEC=90°,及∠AFD=∠EFC可知
∠ADF=∠EFC.........................(1)
类似可证∠AEF=∠DCF.............(2)
连接DC,易知△ABC,△EDC均为等腰Rt△,所以∠DCB=45°-∠DCA=∠ECA......(3)
在△ADE中,∠ADE+∠AED+∠EAF=90° 由123可知∠EAF=45°=∠ACB
∴AE//BC
证明:连结CD;
∵AB⊥AC,ED⊥EC
∴∠BAC=∠DEC=90°
∵AB=AC,ED=EC
∴∠BCA=∠A=﹙180°-∠BAC﹚÷2=45°,
∠DCE=∠CDE=﹙180°-∠DEC﹚÷2=45°=∠BCA
∴∠BCD=∠ACE
∴△BCD≌△ACE(SAS)
∴∠EAC=∠B=∠ACB
∴AE∥BC
证明:设AC,DE交于F,在△ADF与△CEF中,由∠DAF=∠FEC=90°,及∠AFD=∠EFC可知
∠ADF=∠EFC.........................(1)
类似可证∠AEF=∠DCF.............(2)
连接DC,易知△ABC,△EDC均为等腰Rt△,所以∠DCB=45°-∠DCA=∠ECA......(3)
在△ADE中,∠ADE+∠AED+∠EAF=90° 由123可知∠EAF=45°=∠ACB (两直线平行内错角
相等)∴AE//BC
1、△ADC和△AED全等(角平分线,直角,公共边),所以CD=ED,∠CDA=∠EDA
2、CF平行DE。所以△CFD和△EFD全等(公共边DF,∠CDA=∠EDA,CD=ED)
3、所以,CD=DE=EF=FC,即四边形CDEF为菱形
4、命题得证
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初中八年级数学几何题。
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