在数列{an}中，a1=2，an=2an-1+2^n+1 求an和Sn

在数列an中,a1=1，Sn=n²an，则an=~

n≥2时 an=Sn-S(n-1)=n²an-(n-1)²a(n-1)
∴an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)

∴a2/a1=1/3

a3/a2=2/4
a4/a3=3/5
……
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)

∴上面n-1个式子相乘得：an/a1=(1*2)/[n(n+1)]

∴an=2/(n²+n)

(1)
a(n+1)=Sn+(n+1)
an=S(n-1)+n
两式相减得：
a(n+1)-an=an+1
a(n+1)=2an+1
(2)
a(n+1)+1=2(an+1)
[a(n+1)+1]/[an+1]=2=q
所以数列{(an)+1}是等比数列；
(3)
因为数列{(an)+1}是等比数列；
首项=2,公比q=2
(an)+1=2*2^(n-1)=2^n
an=2^n-1

解答：
an=2an-1+2^n+1
两边同时除以2^(n)
得到 an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+2
∴ an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=2
∴ {an/2^n}是等差数列，首项为a1/2=1,公差为2
∴ an/2^n=1+2(n-1)=2n-1
∴ an=(2n-1)*2^n
利用错位想减求Sn
Sn =1*2+3*2^2+5*2^3+........+(2n-3)*2^(n-1)+(2n-1)*2^n ----------------------(1)
同乘以2
2Sn = 1*2^2+3*2^3+..............................+(2n-3)*2^n+(2n-1)*2^(n+1) ------ (2)
(1)-(2)
-Sn =2+2[2^2+2^3+.......................................+2^n]-(2n-1)*2^(n+1)
-Sn=2+2*[4-2^(n+1)]/(1-2)-(2n-1)*2^(n+1)
-Sn=2+2*2^(n+1)-8-(2n-1)*2^(n+1)
Sn=6+(2n-3)*2^(n+1)

解：
n≥2时，
an=2a(n-1) +2^(n+1)
an -2a(n-1)=2^(n+1)
等式两边同除以2^(n+1)
an/2^(n+1) -a(n-1)/2ⁿ =1，为定值。
a1/2²=2/4=1/2
数列{an/2^(n+1)}是以1/2为首项，1为公差的等差数列。
an/2^(n+1) =1/2 +1×(n-1)=(2n -1)/2
an=2^(n+1)×[(2n-1)/2]=(2n-1)×2ⁿ
n=1时，a1=(2-1)×2=2，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=(2n-1)×2ⁿ

an=(2n-1)×2ⁿ=n×2^(n+1) -2ⁿ
Sn=a1+a2+...+an
=[1×2²+2×2³+...+n×2^(n+1)]-(2+2²+2³+...+2ⁿ)
令Cn=1×2²+2×2³+...+n×2^(n+1)
则2Cn=1×2³+2×2⁴+...+(n-1)×2^(n+1)+n×2^(n+2)
Cn-2Cn=-Cn=2²+2³+...+2^(n+1) -n×2^(n+2)
=4×(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2^(n+2)
=(1-n)×2^(n+2) -4
Cn=(n-1)×2^(n+2) +4
Sn=Cn -(2+2²+...+2ⁿ)
=(n-1)×2^(n+2) +4 -2×(2ⁿ-1)/(2-1)
=(2n-1)×2^(n+1) +6

an/2^(n+1)=a(n-1)/2^n+1
故：an/2^(n+1)是公差为1，首项=1/2的等差数列
an/2^(n+1)=1/2+(n-1)
an=2^(n+1)[1/2+(n-1)]

an=2a(n-1)+2^(n+1),从2加到n得：
Sn-S1=2Sn-2an+4(1-2^n)/(1-2)
Sn=2an+4(1-2^n)-2

两边除以2^(n+1)
an/2^(n+1)=a(n-1)/2^n+1
所以an/2^(n+1)是等差数列，d=1
所以an/2^(n+1)=a1/2^(1+1)+1*(n-1)=n-1/2
所以an=(n-1/2)*2^(n+1)
即an=(2n-1)*2^n

Sn=1*2^1+3*2^2+5*2^3+……+(2n-1)*2^n
2Sn=1*2^2+3*2^3+5*2^4+……+(2n-3)*2^n+(2n-1)*2^(n+1)
Sn-2Sn
=1*2^1+(3-1)*2^2+(5-3)*2^3+……+[(2n-1)-(2n-3)]*2^n-(2n-1)*2^(n+1)
=2+2*(2^2+2^3+……+2^n)-(2n-1)*2^(n+1)
=2+2*4*[1-2^(n-1)]/(1-2)-(2n-1)*2^(n+1)
=2+8*2^(n-1)-8-(2n-1)*2^(n+1)
=-(2n-3)*2^(n+1)-6
所以Sn=(2n-3)*2^(n+1)+6

---

孙吴县13234949836： 在数列{an}中,a1=2,an=3a(n - 1) +5(n≥2,n属于n*) 则an=______. - ？
阳纪海迈：[答案] an+x=3a(n-1)+5+x an+x=3[a(n-1)+5/3+x/3] 令x=5/3+x/3 x=5/2 an+5/2=3[a(n-1)+5/2] 所以an+5/2等比,q=3 所以an+5/2=(a1+5/2)*3^(n-1)=9/2**3^(n-1)=1/2*3^(n+1) an=-5/2+1/2**3^(n+1)

孙吴县13234949836： 在数列{an}中,a1=2,an=2an - 1+2^(n+1)(n≥2),求数列{an}的通项公式 - ？
阳纪海迈：[答案] 两边除以2^(n+1) an/2^(n+1)=a(n-1)/2^n+1 所以an/2^(n+1)是等差数列,d=1 所以an/2^(n+1)=a1/2^(1+1)+1*(n-1)=n-1/2 所以an=(n-1/2)*2^(n+1) 即an=(2n-1)*2^n

孙吴县13234949836： 在数列{ an }中,a1=2,an+1= an+ ln(1+1/n),求an=? - ？
阳纪海迈： 解:∵a[n+1]=a[n]+ln(1+1/n) ∴a[n+1]=a[n]+ln[(n+1)/n] 即:a(n+1)-ln(n+1)=a[n]-ln(n) ∵a1=2 ∴{a[n]-ln(n)}是常数为a[1]-ln(1)=2的常数数列 即:a[n]-ln(n)=2 ∴a[n]=ln(n)+2

孙吴县13234949836： 在数列{an}中,a1=2,an=2a n - 1+2^(n+1) - ？
阳纪海迈： ★★★★★★★正解如下★★★★★★★★ (1) 已知a[n]=2a[n-1]+2^(n+1),等式两边同除以2^n可得:a[n]/2^n=a[n-1]/2^(n-1)+2,即b[n]=b[n-1]+2,故{b[n]}是等差数列(2) b[1]=a[1]/2=1,所以b[n]=1+2(n-1)=2n-1 因为b[n]=b[n-1]+2,所以1/(b[n]b[n-1])=(1/b[n-1]-1/b[n])/2,那么 T[n]=(1/b[1]-1/b[2])/2+…+(1/b[n-1]-1/b[n])/2=(1/b[1]-1/b[n])/2 =(n-1)/(2n-1) 解毕~

孙吴县13234949836： 在数列an中,a1=2,an=2an - 1 +2^(n+1),令bn=an/2^n,求证bn是等差数列 - ？
阳纪海迈： bn=an/2^n 所以b(n-1)=a(n-1)/2^(n-1) bn-b(n-1)=an/2^n-a(n-1)/2^(n-1) 因为an=2a(n-1)+2^(n+1) 两边同除以2^n an/2^n=2a(n-1)/2^n+2^(n+1)/2^n an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+2 an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=2 所以bn-b(n-1)=2 所以bn是等差数列

孙吴县13234949836： 在数列{an}中,a1=2,an=2an - 1+2^(n+1)(n>=2,)令bn=an/2^n,求证bn是等差数列,并写出其通项公式; - ？
阳纪海迈：[答案] 将an=2an-1+2^(n+1)(n>=2,)令bn=an/2^n两边除以2^n,得an/2^n=2a(n-1)/2^n+2,即 bn=a(n-1)/2^(n-1)+2,所以bn=b(n-1)+2,所以bn是等差数列.b1=a1/2=1,所以bn=2n-1

孙吴县13234949836： 在数列{an}中,a1=2.an=1/t(an - 1),(n大于等于2,t为常数),求an - ？
阳纪海迈：[答案] an=1/t(an-1)=an-2=1/t(an-1) n为奇数时an=a1=2 n为偶数时an=a2=1/t(a1)=1/2t

孙吴县13234949836： 在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ 1 n),则an=() - ？
阳纪海迈：[选项] A. 2+lnn B. 2+( n-1 ) lnn C. 2+nlnn D. 1+n+lnn

孙吴县13234949836： 在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+1n),则an= - _ - . - ？
阳纪海迈：[答案] a1=2+ln1, a2=2+ln2, a3=2+ln2+ln 3 2=2+ln3, a4=2+ln3+ln 4 3=2+ln4, 由此猜想an=2+lnn. 用数学归纳法证明: ①当n=1时,a1=2+ln1,成立. ②假设当n=k时等式成立,即ak=2+lnk, 则当n=k+1时,ak+1=ak+ln(1+ 1 k)=2+lnk+ln k+1 k=2+ln(k+1).成...

孙吴县13234949836： 在数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn - ？
阳纪海迈： 1 a1=2,a2= a1+c=2+c,a3=a2+2c=2+c+2c=2+3c. 因a1,a2,a3成公比不为1的等比数列,所以a2^2=a1*a3, 即(2+c)^2=2*(2+3c). 整理得:c^2-2c=0,c(c-2)=0. 所以c=0或c=2. 因公比不为1,舍去c=0,于是有c=2.2 an+1=an+2n an+1-an=2n a2-a1=2*1 a3-a2=2*2 … an-an-1=2*(n-1) 左右两边分别相加:左边=an-a1 右边=2*(1+2+..+n-1)=n*(n-1) 所以an-a1=n*(n-1) an= n*(n-1)+2 a1=2也满足an 所以an= n*(n-1)+2