中外几何发展史

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几何学的发展史

几何学研究的主要内容,为讨论不同图型的各类性质,它可说是与人类生活最密不可分的.远自巴比伦,埃及时代,人们已知道利用一些图的性质来丈量土地,划分田园.但是并没有把它当作一门独立的学问来看,只把它当作人类生活中的一些基本常识而已.真正认真去研究它,则是从古希腊时代才开始的.所以由此,我们约略的将几何学的发展,分为下列几个方向:

古希腊的几何学

解析几何

投影几何

非欧几何

微分几何

几何的公理化

古希腊的几何学的发展

1. 发展阶段

2. 古希腊几何发展的原因

3. 欧基里德的贡献———介绍"Elements"

4. 阿基米德的贡献

5. 阿波罗尼阿斯的贡献

6. 古希腊几何学中的著名问题

(1)方圆问题

(2)倍积问题

(3)三等分角问题

(4)平行公设

7. 影响数学发展的人物

8. 古希腊数学衰退的原因

9. 与几何学有关的应用科学

10.古希腊数学的批判

1. 发展阶段:

古希腊所发展的几何学是所有近代数学的原动力.若要了解整个数学的架构,必定要先了解古希腊几何学的发展.我们可将其分为三个阶段:

(1)启蒙期:

主要人物有泰利斯(Thales),毕达哥拉斯(Pythagoras),尤多沙斯(Eadoxus).

泰利斯:

为古希腊天文学与几何学之父,他曾正确的预测日蚀的时间.他开始对一些几何图形做有系统的研究.

毕达哥拉斯(毕式学派):

首创集体创作,称为毕式学派.也是一位音乐家,发明毕式音阶.毕式定理为几何学中的重要定理.这个学派认为"数"是宇宙万物的基础.

C,尤多拉斯:

创立穷尽法(exhaustion method),所谓穷尽法就是"无穷的逼近"的观念,主要构想是为了求取圆周率π的近似值.所予理论上说尤多拉斯是微积分的开山祖师.

尤多拉斯的另一贡献,为对比例问题做有系统的研究

(2)巅峰期:

重要人物有:欧基里德(Euclid)

阿基米德(Archimedes)

阿波罗尼阿斯(Apollonoius)

欧基里德:

他将一些前人对数学的结果,加以整理,写成"Elements"这本书(中译为几何原本).这本书是有史以来第一本数学教科书,也是最畅销的.在往后数学的每一分支都是由这本书出发的.目前初中所学的平面几何学,内容仍以"Elements"这本书为主.这本书的详细内容,将在后面单独介绍.这本书的另一优点为浅显易读(readable).欧基里德本身并没有什么重大的数学突破,它是一个数学的集大成者.这本书直到明朝中叶以后才传人中国.

阿基米德:

生于西西里岛,曾留学埃及亚历山大城.是有史以来三大数学家之一,发明不计其数,以后我们将单独介绍他及他的贡献.

阿波罗尼阿斯:

与阿基米德同一时代.最大一贡献是对于圆锥曲线的研究,这对于以后的解析几何,以至于微积分的发明有直接的影响.圆锥曲线的应用,直到16世纪才由刻卜勒加以发扬光大.

(3)衰退期:

自阿基米德及阿波罗尼阿斯之后,希腊数学已渐渐走入衰退期.在这中间,仍有几位值得一提的人物.

托勒密:

将三角函数发扬光大,并由此将天文学炒热.

帕布斯:

可说是末代时期的代表人物.

2.古希腊几何发展的原因:

我们不禁要问:为什么古希腊会发展出这么伟大的一些数学结果,是什么原动力使他们如此 在希腊以前的各支文明,都把大自然看成是无秩序的,神秘的,多元的,可怕的.自然的现象均为神控制.人的生活和运气都是神的意志决定.但是希腊文明期,知识份子对自然摆出一种新的姿势,也就是理智的,评价的,现实的,他们主张自然界是有秩序的依照某一公式而表现其作用.人类不仅能研究自然的法则,甚至预言什么事情将发生.

毕学派首先提出下列观念:"将神秘性,不确定性从自然活动中抹去,并将表面看似纷乱不堪的自然现象,重新整理成可理解的次序和型式,并决定性的关键就在于数学的应用."继承毕式学派观念的就是柏拉图:

柏拉图主张:"只有循数学一途,才能了解实体世界的真面目,而科学之成为科学,在于它含有数学的份."就是因为希腊时代的一些学者对于自然的这种看法和确立了依循数学研究自然的做法,给食腊时代本身及后来世世代代的数学创见提供了莫大的诱因.而在数学的领域中,几何学是最接近实际的描述.对希腊人而言,几何学的原则是宇宙结构的具体表现,本身正一门实际空间的科学.几何学就是数学,研究的中心.

3.欧基里德的贡献:

"Elements"这本书共有13册,其内容为:

(1)1-6册:平面几何学,它是以下列五大公设为基础:

a,任二点之间可作一直线.

b,直线可以任意延长.

c,可以以任意点为圆心,任意长为半径,画出一圆.

d,直角皆相等.

e,平行公设.

以研究下列性质:

三角形的性质—全等,相似,等等.

平行线的性质—内错角,同位角.

毕式定理.

圆的性质 - 内接圆,外切圆.

比例的问题.

平行四边形的性质.

(2)7,8,9册:整数论

讨论奇数,偶数,质数的问题,另外也讨论了穷尽法的应用.

(3)11,12,13册:立体几何

讨论角锥,圆锥,圆柱等性质,也提到了穷尽法的应用.

(4)第10册:不可测问题

类似无理数的性质.

这本书的最大的特色就是:

它只引用了几个简单的假设,再根据这些假设,推导出一连串的定理,最后变成一套完整的理论,在因果之间确立了严密的逻辑推理,由此确立了数学为一门演绎的科学.这本书也有一些缺点,而事实上这些缺点,就是使日后数学发扬光大的原动力.举例来说,在第五个(平行公设)中,有无数的数学家在这假设上打转,最后终于在19世纪造就了非欧式几何学,而直接产生了爱因斯坦的相对论."Elements"为第一部成型的数学著作.数学之基本概念,证明模式,定理布局的逻辑性,都经由研读它而得以通晓.

欧基里德的其他著作:

锥线(Conics)它的内容是阿罗尼阿斯的"圆锥曲线"骨架.

现象讨论天文学的问题.

4.阿基米德的贡献:

阿基米德在西元前287年生于西西里岛的西那库斯,他在亚力山大城求学. 他治学的态度是从一些简单的公理出发,再用无懈可击的逻辑导出其他的定理,把物理及数学联合起来一起叙述,他算是第一人,因此我们也可以称他为物理学之父,他是第一个有科学精神的工程师,他找一般性的原理,然后用到特殊的工程问题上.他最重要的贡献是将"穷尽法"发扬光大,它已经将等于这个观念跨向"任意趋近于"的观念,而这已经跨进近代微积分的领域,他曾用穷尽法算π的近似值,得到:

3.1408<π<3.142858

阿基米德创立了流体静力学(浮力原理是最重要的结果),同时发现的杠杆原理,所以可以把他视为一个工艺学家(美劳专家).阿基米德的去世,可代表着希腊数学开始衰退的起点,我们到后面会专门讨论衰败的原因.阿基米德著作的一个缺点是内容非常难懂,不具可读性的特性,所以未能像Element这本书流传这样广.顺便一提的是,在1906年时在土耳其,发现了一本当年阿基米德的著作"The Method",在当时引起一阵轰动.

5.阿波罗尼阿斯的贡献:

他居住亚力山大,与阿基米德同一时期.他主要的研究对象是圆锥曲线,在他之前也有一些零星的结果,但是由他开始对圆锥曲线作严密的定义与讨论.由几何学的观点来看,它所著的"圆锥曲线"这本书可说是古希腊几何学的巅峰.这本书计有八册,共有487个项目.其真正的实用性,直到16世纪才被发扬.事实上,在这以后,任何时期的数学家在启蒙入门时大概都是靠欧基里德的"Element"与阿波罗尼阿斯的"圆锥曲线"起家的.

6.希腊数学中的著名问题:

所谓的问题,就是只能用圆规与没有刻度的直尺之下,是否可以解决下列问题:

方圆问题:

是否能将一个已知的圆,变成一个正方形,而使得两者面积相等

这个问题在由尤多拉斯时代,就有许多人在这方面的研究,直到十九世纪才证明其为不可能,但是研究期间,已经另外产生了许多数学的分支.

倍积问题:

对一个已知的正立方体,长,宽,高应该扩大,才可使新的立方体为原来立方体体积的两倍.

等分角问题:

对任意的一个角,如何将其三等分.

问题2,3到十九世纪才被解决,证明为不可能.

平行公设:

有人认为平行公设不为一公设,所以有人将平行公设这个去除,结果造出一套新的几何学出来,而又不会违背原来的欧式几何,这也就是非欧几何学.也就是爱因斯坦相对论的基础.

也许有人认为希腊人不切实际,这三个问题在当时,可说完全无实用性,只可说是一些有闲阶级的人磨练脑力之用.但是就是因为有那么多人投下心力去研究,才会间接带动几何学研究的风潮.而因此产生以后数学蓬勃的发展.

7.对数学发展有影响力的人物

(1)亚力山大大帝

(2)托勒密王朝:

建立了亚力山大城,并建立了亚力山大图书馆,为世界当时最大图书馆.在这个图书馆中,产生了许多有影响力的学者.(阿基米德等人)

Hiero国王:

为西西里岛国王,阿基米德的直接赞助者.

苏格拉底,柏拉图,亚里斯多德.

克利奥派翠亚(埃及艳后)

托勒密王朝的末代人物,亚力山大图书馆的第一次大火,就因它而起.(第一认浩劫).

基督教领袖与 *** 领袖:

对希腊数学作第二次与第三次摧毁的主要角色.

8.希腊数学的衰退

在阿基米德,阿波罗尼阿斯等人之后,希腊数学开始衰退,以后我们将讨论它所遭受的灾难:

第一次浩劫:

罗马人的来临,使得希腊数学遭到破坏.罗马人都很实际,他们设计完成很多工程,但是却拒绝去深思用的原理.罗马的皇帝也不热衷的支持数学家.希腊在公元前十四世纪完全被罗马征服.当时托勒密王朝的末代君主为克利奥派翠亚(埃及艳后)与凯撒很好,凯撒为了帮助她与她的兄弟的纷争,放火烧了亚力山大港的战舰,结果大火无法控制,将亚力山大图书馆也烧掉了.大概有数以百万计的图书及手稿全部付之一炬,造成重大损伤.这一次损伤,耗了希腊数学不少元气.

第二次浩劫:

基督教的兴起,使得希腊数学面临第二次浩劫.因为他们反对教会外的研究,并且嘲弄数学,天文学及物理学.基督徒被迫禁止参与希腊研究,以防止受到污染.所以又有成千上万的希腊书被毁.

第三次浩劫:

*** 徒征服亚力山大城后连最后的一些图书都被烧掉,当时的 *** 征服有一句话说:若是这些书的内容在可兰经中已有,则我们不必去读它.若在可兰经中没有则更不应该去读它,所以全部图书付之一炬.

残余的部份:

此时,一些学者都移居君士坦丁堡,寄托于东罗马帝国之下,虽然仍感到基督徒的不友好气氛,但是总是较安全,使得知识的库存又慢慢增加,直到14世纪文艺复兴时才又再发扬光大.

9.与几何学有关的科学

天文学:

对希腊人而言,几何学的原则是宇宙空间的具体表现,所以几乎每个数学家都曾在天文学上下过功夫.事实上,三角学的发明,就是要研究天文学而发展出来的技术.有许多数学家都曾设计过天体间星球运行的模型.当时流行的有日心识菟地心说,日心说由阿里斯塔克提出(他是亚力山大城第一位伟大的天文学家),但是当时反对的人很多.地心说由托勒密提出来的.这个学说直到16世纪时才被推翻.在托勒密的时代,也就是天文学发展最巅峰的时期.另一位伟大的天文学家是阿波罗尼阿斯,他以数量的观点来描述过星球运动,这已接近18世纪时天文学的研究领域.托勒密的Almagest为经典之作.

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