一个数学题目,求答案过程
自己算吧!
这题无非是思路问题,
做辅助线连接BD与AC相交于E。
由对角线可知AC=2AE
也就是相当于求AE的最小值。
应该是当对角线互相垂直时最小。
填空题,又不需要证明。
解法:先用每分钟50米的速度走了2分钟,先走了100米后.从这里开始考虑.(这不是家,离开家100米.完成后,再加这100米).
再用每分钟50米的速度走,将迟到8分钟,相当于少走50*8=400米.(再走8分钟,走完400米,才到校);用每分钟60米的速度前进,早到了5分钟,相当于多走了60*5=300米.(如果不停下来,走到打铃上课,正好走8分钟,走300米.)两种速度,相差60-50=10米/分钟,路程相差400+300=700米.用时700/10=70分钟.(其实,变成了盈亏问题.有公式的.)即,走到上课,用了70分钟.(不是从家开始走70分钟,是走了2分钟后,还要走70分钟.也够远的.呵呵)
所以,从家到校距离:用每分钟50米的速度走:
(2+70+8)分钟*50米/分钟=4000米,
(用每分钟60米的速度走:
100米+(70-5)分钟*60米/分钟=4000米.一样.)
(1)解:已知抛物线与x轴交点,则解析式为y=a(x-3)(x+1)=ax^2-2ax-3a,与y轴交点为(0,3),则a=-1
故解析式为y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4,所以B(1,4)
(2)证明:向量EB=(1,1),向量EA=(3,-3),他们的点乘积是0,所以EA垂直于EB,故AB是三角形ABE外接圆的直径,(只需证明BC垂直于AB即可说明CB是切线。)
BE=√2,EA=3√2,所以tan∠EAB=EB/EA=1/3=tan∠CBE(题目中应该是1/3,不是13吧),
所以∠CBE=∠EAB,故∠CBA=∠CBE+∠EBA=∠EAB+∠EBA=90度,故CB垂直于BA,即BC是切线
(3)存在,点o即是所求点,此时tan∠DEO=OD/OE=1/3,故∠DEO=∠BAE,又有直角相等,故相似。此时P(0,0)
另外过D点作DP垂直于DE交y轴于P,角度DEP是不变的,则此时三角形DEP相似于三角形EAB,此时P(0,-1/3)
(4)见图1,此时E'点在F点左边
易得S1=S△O'A'E'=S△OAE=OA*OE/2=9/2,
S2=S△O'AK=O'K*O'A/2=(3-t)^2/2
S3=S△AGA'=GH*AA'/2=y*t/2=t^2
已求得F的横坐标为1.5
故重叠部分面积s=S1-S2-S3=9/2-(3-t)^2/2-t^2=3t-(3/2)t^2(0<t<=1.5)
见图2,此时E'在F点右边,
s=S△AKG=KG*O'A/2=(3-t)^2 (1.5<=t<=3)
当t>3时,s=0
综上
s=3t-(3/2)t^2(0<t<=1.5)
s=(3-t)^2 (1.5<=t<=3)
s=0 (s>3)
(1)解:由题意,设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1).
将E(0,3)代入上式,解得:a=﹣1.
∴y=﹣x2+2x+3.
则点B(1,4).
(2)证明:如图1,过点B作BM⊥y于点M,则M(0,4).
在Rt△AOE中,OA=OE=3,
∴∠AEO=∠EAO=45°,AE=3.
在Rt△EMB中,EM=OM﹣OE=1=BM,
∴∠MEB=∠MBE=45°,BE==.
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°.
∴AB是△ABE外接圆的直径.
在Rt△ABE中,tan∠BAE===tan∠CBE,
∴∠BAE=∠CBE.
在Rt△ABE中,∠BAE+∠3=90°,∴∠CBE+∠3=90°.
∴∠CBA=90°,即CB⊥AB.
∴CB是△ABE外接圆的切线.
(3)解:Rt△ABE中,∠AEB=90°,tan∠BAE=,sin∠BAE=,cos∠BAE=;
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则△DEP必为直角三角形;
①DE为斜边时,P1在x轴上,此时P1与O重合;
由D(﹣1,0)、E(0,3),得OD=1、OE=3,即tan∠DEO==tan∠BAE,即∠DEO=∠BAE
满足△DEO∽△BAE的条件,因此 O点是符合条件的P1点,坐标为(0,0).
②DE为短直角边时,P2在x轴上;
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则∠DEP2=∠AEB=90°,sin∠DP2E=sin∠BAE=;
而DE==,则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10,OP2=DP2﹣OD=9
即:P2(9,0);
③DE为长直角边时,点P3在y轴上;
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则∠EDP3=∠AEB=90°,cos∠DEP3=cos∠BAE=;
则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=,OP3=EP3﹣OE=;
综上,得:P1(0,0),P2(9,0),P3(0,﹣).
(4)解:设直线AB的解析式为y=kx+b.
将A(3,0),B(1,4)代入,得解得
∴y=﹣2x+6.
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F,当y=3时,得x=,∴F(,3).
情况一:如图2,当0<t≤时,设△AOE平移到△DNM的位置,MD交AB于点H,MN交AE于点G.
则ON=AD=t,过点H作LK⊥x轴于点K,交EF于点L.
由△AHD∽△FHM,得,即.
解得HK=2t.
∴S阴=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD=×3×3﹣(3﹣t)2﹣t•2t=﹣t2+3t.
情况二:如图3,当<t≤3时,设△AOE平移到△PQR的位置,PQ交AB于点I,交AE于点V.
由△IQA∽△IPF,得.即,
解得IQ=2(3﹣t).
∴S阴=S△IQA﹣S△VQA=×(3﹣t)×2(3﹣t)﹣(3﹣t)2=(3﹣t)2=t2﹣3t+.
综上所述:s=.
1.BA=CA×EA
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