书上说由 推论1可得任意m个n维向量必定线性相关(m>n). 我不知道他怎么得的。求推导
作者&投稿：聂帝 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
m个n维向量 交叉一下（记忆方法）就是 n个方程m个未知数 肯定会使AX=0有非零解··存在不全为零···所以线性相关··· 或者补充0,使矩阵成方阵，，又用到秩概念了。
基本理解就是：
n维向量组的基最多是n个向量组成的，假如n维向量组有n个线性无关的向量，那么这n个向量可作为一组基，其他任何n维向量都可以有这组基线性表达，因而任意多于n个向量的n维向量组一定线性相关。
一般线性代数教材中都有这个结论，但却很少会给出证明，这是因为它只是另外一个重要定理（即向量组线性相关充要条件）的简单推论之一，m个n维向量必线性相关这个结论几乎是显然的。
因为AB矩阵为m×m方阵，所以未知数的个数为m个，又因为：r（AB）≤r（A）≤n，（1）当m＞n时，r（AB）≤r（A）≤n＜m，即系数矩阵的秩小于未知数个数，所以方程组有非零解．（2）当m＜n时，r（A）≤m＜n，而 r（AB）≤r（A）
取n维得n个单位向量(1,0,...0), (0,1,0...,0), ...(0,0,...,1)
显然任意一个n维向量都可以由他们表述
所以m个向量组成得向量都可以由他们表述
所以这m个向量组得极大线性无关组中向量个数不可能超过这n个单位向量得个数
所以这个向量组得向量个数必然大于其极大线性无关组得个数，所以必然线性相关
公胀乌鸡： 就是向量的个数如果大于维度的话 ,则其中必然有线性相关.. 比如 n+1个n维向量一定线性相关证明的话用矩阵的秩 理解的话就背下来就行....这个东西就是证明线性表出线性相关用... 深入的理解就到维度空间 就是n+1个n维向量 ...
六枝特区17689295248： 当m>n时,任意m个n维向量, a1, a2, … , am 一定线性相关. (即个数大于维数的向量组必线性相关)请解释 - ？
公胀乌鸡： 可以用反证法.若他们线性无关.则m个n维向量的基础向量维m个.则有m《=n,与题目矛盾.
六枝特区17689295248： 线性代数证明题,证明n维向量组α1,α2,……αn线性无关的充分必要条件是,任一n维向量α都可以由 - ？
公胀乌鸡： 证明:1)充分性显然,因为n+1个n维向量必定线性相关,所以a可由a1,a2,……,an线性表示 2)必要性:因为a是任意n维向量,所以a可由a1,a2,……,an线性表示意味着a1,a2,……,an能表出整个n维空间.若a1,a2,……,an线性相关,则极大线性无关组个数少于n,所以n维空间可由少于n个向量线性表示,这与维数的定义矛盾.
六枝特区17689295248： n维向量性质 - ？
公胀乌鸡： 向量个数大于向量维数,必定线性相关,因为n维向量空间只有n个基,不妨记为e1,e2,...,en. 所以只能表示n个现行无关的向量,不妨记为a1,a2,...,an. 如果向量个数再多的话,比如还有一个an+1,那么由于an+1在这个空间里,它必定能由空间的基(e1,e2,...,en)来表示.又由于e1,e2,...,en与a1,a2,...,an时等价的,所以an+1必定能由a1,a2,...,an来表示. 因此必定是线性相关的.
六枝特区17689295248： 设A为n阶实矩阵,证明A是正交矩阵当且仅当对任意的n维向量α,β有(Aα,Aβ)=(α,β) - ？
公胀乌鸡： (α,β)=β^Tα, (Aα,Aβ)=β^TA^TAα显然当A是正交阵的时候(Aα,Aβ)=(α,β)反过来, 令M=A^TA, M是一个对称阵取α=β=e_i得到M(i,i)=1, 这里e_i是单位阵的第i列对于i≠j, 取α=e_i, β=e_j, 得到M(i,j)=0所以M=I
六枝特区17689295248： 线性相关性质与矩阵的秩 - ？
公胀乌鸡： 反证 假设b,a1,a2,....,as中至少有两个向量能由其前面的向量线性表示 设 i<j, 且 ai=kb+k1a1+...+ki-1ai-1 (1) aj=mb+m1a1+...+mj-1aj-1 (2) 因为a1,a2,...,as线性无关 所以 k≠0, m≠0. k(2)-m(1) 得 kaj-mai=(km1-mk1)a1+...+(km(i-1)-mk(i-1))ai-1+...+km(j-1)a(j-1) 所以 aj 可由 a1,a2,...,a(j-1) 线性表示. 这与已知a1,a2,...,as线性无关矛盾.
六枝特区17689295248： 设A是m*n的矩阵,证明若对任意m维行向量x和n维列向量,都有xAy=o,则A=0 - ？
公胀乌鸡： 证明: 设 A = (aij). 取xi 是第i个分量为1其余分量为0的m维行向量, i=1,2,…,m;取yj是第j个分量为1其余分量为0的n维列向量, j=1,2,…,n. 则有 xi A yj = aij, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n . 若对任意m维行向量x和n维列向量,都有xAy=o, 则必有xi A yj = aij = 0, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n 故有 A = 0.
六枝特区17689295248： 设V为数域K上的n维向量空间,证明对任意大于n的自然数 m,一定存在V个 的 m个向量组成的 向量组,使其中任 意 n个向量都线性无关 - ？
公胀乌鸡： 取m个向量分别为a1=a1,a2=a2,.....an=an,an+1=1a1+2a2+3a3+.....+nan.,an+2=1平方a1+2平方a2+.....+n平方an.....像范德蒙德德系数那样继续取到m,你懂的.........
六枝特区17689295248： 线性代数问题证明: n维向量组a1.a2…an线性无关的充分必要条件是,任一n维向量a都可由他们线 - ？
公胀乌鸡： 必要性 因为任意n+1个n维向量一定线性相关,设a是任意一个n维向量,则向量组a,a1.a2…an必线性相关,又n维向量组a1.a2…an线性无关,a都可由他们线性表示.充分性 若任一n维向量a都可由a1.a2…an线性表示,那么,特别的,n维单位坐标向量组也由他们线性表示.而a1.a2…an必可由n维单位坐标向量组线性表示,故a1.a2…an与n维单位坐标向量组等价,而n维单位坐标向量组线性无关,所以1.a2…an线性无关.
六枝特区17689295248： 证明所有m*n矩阵的集合是一个m*n维的线性子空间 - ？
公胀乌鸡： m*n个元素中只有一个,明显是1,其余的是0,这样的矩阵有m*n个1,这m*n个矩阵构成一组基2,任意m*n阶矩阵可由这m*n个矩阵线性表示(普通意义上的矩阵加法和数乘) 所以求证所有m*n阶矩阵的集合是一个m*n维的线性(子)空间.
