(2014?黄岛区模拟)已知,如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC于D,直线PM从点C出发沿CB方向
韩信点兵问题,又称“秦王暗点兵”、“鬼谷算”、“隔墙算”。这种问题在《孙子算经》中也有记载:“今有物不知其数:三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物几何?”这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”, 西方数学家把它称为“中国剩余定理”。
解法口诀如下:
三人同行七十稀,五树梅花廿一枝;
七子团圆正半月,除百零五便得知。
意思就是三三一数将余数乘以七十,五五一数余数乘以二十一,七七一数余数乘以30,将这三个数加起来除一百零五所得的余数,便是最小整数解。
程序如下:
var
a:integer;
begin
a:=(2*70+3+21+7*30)mod 105;
while a<500 do
begin
writeln(a);
a:=a+105;
end;
end.
设圆心O,连接OA,OC
作OH 垂直AC
所以OA垂直TA,TA垂直TC
OA//TC,
∠OAC = 20
设AC = x, 半径r
则r = (1/2*AC)/cos20 = x/(2cos20)
所以x = 2rcos20 ...(1)
TA = xsin20
TC = xcos20
TB = xcos20 - 6
切线TA,
TA^2 = TB*TC
(xsin20)^2 = (xcos20 - 6 )*(xcos20)
将(1)代入上式
(2rcos20*sin20)^2 = (2rcos20*cos20-6)*(2rcos20*cos20)
解得
r = [4-(cos20)^2]/(cos20)^2
自己化简吧。我不保证我口算没错。
1)当MC=BQ时,QM∥BC;BQ=(12-t)sina,MC=t/sina; (12-t)*(3/5)^2=t; t=12*(3/5)^2/[1+(3/5)^2]=12*9/(25+9)=54/17=3右3/17(秒)时,QM∥BC。
2)y=Sadc-Spmc-Spnd=(1/2)[6*10cosa-t^2cota-(6-t)^2tana]
=(1/2)[6*10*4/5-4t^2/3-(36-12t+t^2)*3/4]=(1/2)(21-25t^2/12+9t)=-(25/24)t^2+(9/2)t+21/2。
3)当t=-2*(-25/24)*(9/2)=9*25/24=9又3/8>6; M已经超出了其区域。从△PMC和△PND看:(6-t)^2tana+t^2cota=(3/4) (36-12t+t^2)+(4/3)t^2=27-9t+(25/12)t^2
=(25/12)[t^2-2(6*9/25)t+27*12/25}=(25/12)[(t-54/25)^2-81*4(9/25^2-1/25) ]
=25/12[(t-54/25)^2+81*64/625]; 在t=54/25=2又4/25秒时,有极小值27*16/25=432/25;
因此:当t=2又4/25秒时,ymax=(1/2)(6*10*4/5-432/25)=(1200-432)/50=15.36(cm^2)。
4)当QN=PN时,即PQ=2PN时,(12-t)cosa=2(6-t)/cosa; (12-t)*(4/5)^2/2-6+t=0;
8*12-8t-25*6+25t=17t-54=0; t=54/17(s)=3又3/7秒时,点M在线段PQ的垂直平分线上。
(1)因为QM∥BC,
∴△BQP∽△QPM,
∴QP2=BP?QM,∠B=∠QPM,
∵AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC于D,
∴CD=BD=6cm,=8cm,sinB=
QP |
BP |
QM |
QP |
8 |
10 |
4 |
5 |
又∵CP=t,
∴BP=12-t,
∴QP=
48?4t |
5 |
192?16t |
25 |
∴(
48?4t |
5 |
192?16t |
25 |
解得:t=
54 |
17 |
(2)∵△PND∽△BQP∽△ABD,
∴
BD |
AD |
DN |
PD |
即:
6 |
8 |
DN |
6?t |
∴DN=
18?3t |
4 |
同理,PM=
4t |
3 |
所以y=
1 |
2 |
1 |
2 |
18?3t |
4 |
1 |
2 |
4 |
3 |
25 |
24 |
9 |
2 |
21 |
2 |
(3)由y=?
25 |
24 |
9 |
2 |
21 |
2 |
25 |
24 |
54 |
25 |
384 |
25 |
所以当t=
54 |
25 |
(4)若点M在线段PQ的垂直平分线上,
则有MQ=MP,
由(1)(2)知道,QM=
192?16t |
25 |
4t |
3 |
所以
192?16t |
25 |
4t |
3 |
解得:t=4.
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