3道高中排列组合问题 （求详解）
一、相邻问题捆绑法
例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种
A. 720 B. 360 C. 240 D. 120
解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有种排法。由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选C。
评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
二、相离问题插空法
例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）
解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种；这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。
评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。
三、定序问题缩倍法
例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）。
解：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10（种）。
评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。
四、标号排位问题分步法
例4 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（ ）
A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种
解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有种填法；第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法，而选B。
评注：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
五、有序分配问题逐分法
例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）种
A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040
解：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下8人中选1人承担乙项任务，最后从剩下7人中选1人承担丙项任务。根据分步计数原理可知，不同的选法共有=2520种，故选C。
评注：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。
六、多元问题分类法
例6 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A. 210个 B. 300个 C. 464个 D. 600个
解：按题意个位数只可能是0，1，2，3，4共5种情况，符合题意的分别有，个。合并总计，共有＋=300（个），故选B。
评注：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。
另解：先排首位，不用0，有种方法；再同时排个位和十位，由于个位数字小于十位数字，即顺序固定，故有种方法；最后排剩余三个位置，有种排法。故共有符合要求的六位数=300（个）。
七、交叉问题集合法
例7 从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？
解：设全集U={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有
=252（种）。
评注：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数的公式：来求解。
八、定位问题优限法
例8 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）
A. B. C. D.
解：先把3种品种的画看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，则油画与国画有种放法。再考虑油画之间与国画之间又可以各自全排列。故总的排列的方法为种，故选D。
评注：所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑。
九、多排问题单排法
例9 两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的坐法种数为（ ）
A. B. C. D.
解：此题分两排坐，实质上就是8个人坐在8个座位上，故有种坐法，所以选D。
评注：把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑。
十、至少问题间接法
例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）种
A. 140 B. 80 C. 70 D. 35
解析：在被取出的3台中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意，故符合题意的取法有=70种，选C。
评注：含“至多”或“至少”的排列组合问题，通常用分类法。本题所用的解法是间接法，即排除法（总体去杂），适用于反面情况明确且易于计算的情况。
十一、选排问题先取后排法
例11 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_________种（用数字作答）。
解：先从四个小球中取两个放在一起，种不同的取法；再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有种不同的放法。依据分步计数原理，共有种不同的方法。
评注：这是一道排列组合的混合应用题目，这类问题的一般解法是先取（组合）后排（排列）。本题正确求解的关键是把四个小球中的两个视为一个整体，如果考虑不周，就会出现重复和遗漏的错误。
十二、部分符合条件淘汰法
例12 四面体的顶点及各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
解：10个点中取4个点共有种取法，其中同一侧面内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有4个；又同一条棱上的3个点与对棱的中点也四点共面，共有6个面；再各棱中点共6个点中，取四点共面的平面有3个。故符合条件4个点不共面的取法共有=141（种），故选D。
评注：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件的个数，即为所求。
1、排列的时候举个例子A（下角标为n,上角标为r）。意思是n个元素中取出r个进行全排列。可以这样理解有r个空穴需要放着r个元素有多少种方法。第一个空穴有n个选择，第二个空穴有n-1个选择，所以有n!/(n-r)!。2、组合的时候举个例子C（下角标为n,上角标为r）。意思可以是有n个元素从中取出r个，注意这里不用进行排列，取出即达到目的。可以这样理解：//////按照前面的空穴解法：排列有n!/(n-r)!但是进行了排序比如6个元素里面选了3个排列有120种但是组合就不是了取出一种组合123排列的方法有3！=6种所以组合有120/6=20//////////所以组合有n!/[(n-r)!*r!]
1，12本书均分4个人，也就是说没人3本，这个是需要考虑顺序的“均匀分组问题”。
计算过程：C（12,3）*C（9,3）*C（6,3）*C（3,3）=369600。
计算解析：C（12,3）是在12本书中给第一个人选3本，C（9,3）是在剩下的9本书中给第二个人选3本……因为分步完成用乘法原理。
2a，
10份礼物分成5组，同样是“均匀分组问题”但是不需要考虑顺序。
计算过程：C（10,2）*C（8,2）*C（6,2）*C（4,2）*C（2,2）/A（5,5）=945。
计算解析：C（10,2）*C（8,2）*C（6,2）*C（4,2）*C（2,2）同第一题，除以A（5,5）把顺序除掉了。
2b，
10个礼物分成两份，每份至少3个礼物，需要分类讨论，可能的组合为（3,7）（4,6）（5,5）（6,4）（7,3）。
计算过程：C（10,3）+C（10,4）+C（10,5）+C（10,6）+C（10,7）=912。
计算解析：C（10,3）给甲选三个，剩下的给乙，后面同理，因为分类完成用加法原理。
1和2a 的区别：
在1中，四名小朋友是不一样的，需要考虑顺序；而在2a中，5组礼物不需要考虑顺序。
分组问题一般分为“均匀分组问题”和“不均匀分组问题”，而且还要根据题意判断是否考虑顺序。排列组合应用问题的答题技巧是“先选后排”。在“均匀分组”中，在选（即组合）的时候就已经有顺序了，所以若不考虑顺序需除以均匀组数的阶乘（即全排列）；而在“不均匀分组”中，在选（即组合）的时候是没有顺序的，所以若考虑顺序需做排列。
排列组合问题要注意“先选后排”“不重不漏”，总之还是孰能生巧。
第1题中4名小朋友是不同的人，用分步计数原理后不用除人数的全排列。所以是C12,3xC9,3xC6,3=369600
第2题a中平均分的五级是相同的组别没有区别，用分步计数原理后要除以组数的全排列。所以是C10,2xC8,2xC6,2xC4,2/5!=945
第2题b中应用分类计数原理，2xC10,3+2xC10,4+C10,5=912
第3题我没弄懂你的意思，你那4个邮箱是相同的还是不同的，意思不清楚啊！
根据你补充的说明是4的8次方，那就是简单的乘法原理，每封信都有4种放法，所以是4的8次方，但这似乎不合题意，因为这种做法允许某些邮箱是空的，而题目说要放在4个邮箱里，也就是每个邮箱都应该有信才对，如果是那样还要分类考虑邮箱相不相同等等问题，这道题出得不严谨。
1, 第一个小朋友:C(12,3)=220种方法.
第二个:C(12-3,3)=C(9,3)=84种方法.
第三个:C(9-3,3)=20种方法
第四个:c(3,3)一种方法:
共:220*84*20*1=369600
2: 因为只是简单的分开，无顺序。而1中分给不同的人，有顺序,按一中的方法，重复了A(5,5)次，所以要除以A(5,5)
C（10，2）C（8，2）C（6，2）C（4，2）C（2，2）/A（5，5）
=10*9*8*7*6*5*4*3*2/2^5/(1*2*3*4*5)=945
2xC10,3+2xC10,4+C10,5=912
3题，这题最简单，
A B C D E F G H分给四个箱子，
A分给四个箱子有4种。
B 4种。
类推
共有4^8=65536种
1和2a的区别在于,每名小朋友是不同的,将书分好后给的人不一样结果也不一样,而2a每份位置是等同的,所以要除以A55.
这个不好打出来啊...
高中数学排列组合问题
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一道高中数学排列组合问题!~!请高人指点!~
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请教一个高中数学排列组合的问题～
每所学校最多被安排2个老师，只有两种情况 1 三个老师被分在不同的学校，也就是没有两个老师被分在一起 2 有某个学校分了两个老师，还有一个老师在另一个学校 对于第一种 方案有A43=24 对于第二种 先把老师分成两组，然后随机送去两个学校 所以方案有 C31*A42=36 所以总方案数为24+36=60...
高中数学排列组合问题,急求!!
（1）由二项展开式可以得出 （1+1）^n=C（0，n)+C(1,n)+C(2,n)+……+C(n-1,n)+C(n,n)所以C（0，n)+C(1,n)+C(2,n)+……+C(n-1,n)+C(n,n)=2^n;（2）一个含N个元素的集合，其子集包含的元素个数可能是0、1、2，……，N 仅含0个元素的子集个数C（0，n)...
关于一道高中数学的问题 排列组合的
因为甲乙在一组，还少一个人，需要从剩下的七个人中任选一个，有C7(1)=7种，将剩下的6个人，在平均分为两组：有C6（3）*C3（3）÷A2（2）=10种 【为什么要除以A2（2）呢？这是因为分组中出现了重复的分法了！你比如：你选1,2,3,为一组时，另一组为4,5,6；同样你选4,5,6为一...
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分两种情况：一、甲乙选一个，那么它肯定要排在最后一个 先选语言类是 C(2,1)，放在最后，再在剩下的4个节目中选3个全排： A(4,3)，总共就是 C(2,1)*A(4,3)二、甲乙都入选，那么从甲 乙中选一个放在最后 C(2,1)，从剩下的4个节目中选2个，C(4,2)，这两个项目与另一个语言...
高中排列组合的一个问题,求解求解
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高中数学排列组合
3（4*3*2）=72种 先把两张空位看成一个元素。再安排3个人坐在余下的4张椅子上，有A(3,4)=24种方法 3个人坐4个椅子，扣除空位的左右两边，共有3个空。把两张空位任选一空放入，就是恰有两个空位相邻的排法。
本枝鹿胎：[答案] 第一题:每个人先分两个,则还剩9个,9个当中用插板法,则有八个空:为C8(2)+C8(1)+3(加三的原因是可以全部给一个人),第二题给一题差不多,三题:一盒先放一个,二盒放二个,三盒放三个,四盒放四个,剩下10个,然后方法与一题一样!
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本枝鹿胎：[答案] C 6 3*C3 2 C21 =20*3*2=120 同学你好,如果问题已解决,记得右上角采纳哦~~~您的采纳是对我的肯定~谢谢哦
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本枝鹿胎： 先涂A、D、E,从4种颜色中选出3种来涂,有A(3,4)=4*3*2=24种涂法,再涂B,(1)当B与E同色时,再涂C,C有2种涂法,再涂F,F有2种涂法;(2)当B与D同色时,再涂C,①若C与A同色,则F有1种涂法;②若C与E同色,则F有2种涂法;③若C与A、D、E都不同色,则F有1种涂法;(3)当B与A、D、E都不同色时,再涂C,①若C与E同色,则F有2种涂法;②若C与A同色,则F有1种涂法;因此,不同的涂色方法共有24*[(1*2*2)+1*(1*1+1*2+1*1)+1*(1*2+1*1)]=264种.
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本枝鹿胎： 144显然,其中一个盒子一定有两个球, 先在4个球中取两个球,有c(4 2)=6种可能 把这两个球看成整体,那么问题可以转化成3个球放入4个盒的排列,即A(4 3)=24 所以共有6*24=144种可能
泸州市13794186152： 求一个高中排列组合题的答案详解？
本枝鹿胎：你好 10个人没有中间吧,你说的应该是5,6位置 甲可以站的位置是2、3、4、7、8、9 乙,丙,丁可以根据甲的位置插空 以2为例 乙可以站1,3位,丙只能站5号位,丁排1号位 9与2的原理相同 这里有4种 其他位置主要考虑丙的位置,因为丙可以站甲前面也可以再后面 答案希望自己算,锻炼自己的思路,如有疑问可以追问交流
