2012年太原市初中数学竞赛复赛时间

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2003年太原市初中数学竞赛题
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）
1．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则 的值等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）.如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( )
(A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元
3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°






4．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个
5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )
(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知 ，那么 .
7．若实数x，y，z满足 ， ， ，则xyz的值为 .




8．观察下列图形：




① ② ③ ④
根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .
9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照
在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，∠A=60º，
CD=4m，BC= m，则电线杆AB的长为_______m.
10．已知二次函数 （其中a是正整数）的图象经 过点A（－1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 .
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.
解：











12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？
解：








13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）当点D在斜边AB内部时，求证： .
（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.







14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求 的最小值.








注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题.
13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程 （k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求 的值.
解：







14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式 >0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有 ≤0？请说明理由.
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有 ≤0？请说明理由.
解：（1）







（2）





















2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准
一、选择题（每小题6分，满分30分）
1．D
由 解得 代入即得.
2．D
因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.
3．C
如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，
而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.









4．D
显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x.
（1）若AB=9，当CD=x时， ， ；
当CD=5时， ， ；
当CD=1时， ， .
（2）若AB=x，当CD=9时， ， ；
当CD=5时， ， ；
当CD=1时， ， .
故x可取值的个数为6个.
5．B
设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由题意可知 ，即 .
因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n=5或n=8. 当n=5时，k=18；当n=8时，k=9. 共有两种不同方案.
6． .
＝ .
7．1.
因为 ，
所以 ，解得 .
从而 ， .
于是 .
8．161.
根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为
1+4+3×4+ + =1+4+12+36+108=161（个）.
9． .
如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.
因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，
所以CF=DF= m， EF=DFtan60°= （m）.
因为 ，所以 （m）.
10.－4.
由于二次函数的图象过点A（－1，4），点B（2，1），所以
解得
因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以 ，
，即 ，由于a是正整数，故 ，
所以 ≥2. 又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足题意，故b+c的最大值为－4.
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.
解：DP=PE. 证明如下：
因为AB是⊙O的直径，BC是切线，
所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC，得 ① ……（6分）
又AD‖OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.
故 ② ……（12分）
由①，②得 ED=2EP.
所以 DP=PE. ……（15分）
12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及
通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶
的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用
为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过
程），并求出所需费用最少为多少元？
解：从A城出发到达B城的路线分成如下两类：
（1）从A城出发到达B城，经过O城. 因为从A城到O
城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间
为22小时. 所以，此类路线所需 最短时间为26+22=48（小时）. ……（5分）
（2）从A城出发到达B城，不经过O城. 这时从A城到达B城，必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49小时. ……（10分）
综上，从A城到达B城所需的最短时间为48 小时，所走的路线为：
A→F→O→E→B. ……（12分）
所需的费用最少为：
80×48×1.2=4608（元）…（14分）
答：此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B，所需的费用最少为4608元…（15分）
13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）当点D在斜边AB内部时，求证： .
（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
解：（1）作DE⊥BC，垂足为E. 由勾股定理得

所以 .
因为DE‖AC，所以 .
故 . ……（10分）
（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有AD=0，CD=AC，BD=AB.
所以 ， .
从而第（1）小题中的等式成立.……（13分）
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立.
作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则

而 ,
所以 .……（15分）
〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分）.
14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求 的最小值.
解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，
且b+c=2-a， .
于是b，c是一元二次方程 的两实根， ≥0，
≥0， ≥0. 所以a≥4. ……（8分）
又当a=4，b=c=-1时，满足题意.
故a，b，c中最大者的最小值为4. ……（10分）
（2）因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.
1） 若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.
2）若a，b，c为或一正二负，设a>0，b<0，c<0，则
，
由（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故 的最小值为6. ……（15分）
13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程 （k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点. 若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求 的值.
解：设方程 的两个根为 ， ， ≤ .由根与系数的关系得
---- ①， ---- ②
由题设及①知， ， 都是整数. 从①，②消去k，得 ，
.
由上式知， ，且当k=0时， ，故最大的整数根为4.
于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.
因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4. ……（6分）
连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，
故 ③ ……（10分）
（1）当BC=1时，由③得， ，于是 ，矛盾！
（2）当BC=2时，由③得， ，于是 ，矛盾！
（3）当BC=3时，由③得， ，于是 ，
由于PB不是合数，结合 ，故只可能
， ，
解得 .
此时 .
（4）当BC=4，由③得， ，于是 ，矛盾.
综上所述 .……（15分）
14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式 >0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有 ≤0？请说明理由.
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有 ≤0？请说明理由.
解：（1）答案是肯定的. 具体操作如下：












……（5分）
（2）答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ……（7分）
开始时， =1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，经过k（k≥0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为 ，此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式 >0，即ab+cd>ac+bd，交换b，c的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为 ，有 .
所以 ，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有 ≤0.……（15分）.

http://www.1230.org/Soft/Class26/Class30/200806/26345.html

4月15日8：30~9：30第一试十个小题9：50~11：20第二试三个大题。那不叫复赛，是全国初中数学联合竞赛。你多少分了~我应该比你强吧

咨询自己的老师，或者打电话问

做任务

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闵行区13867989588： 某校初中一年级学生产假数学竟赛的甲,乙两班学生共A人,其中甲班平均每人得70分,乙平均得60分,总分740问甲,乙两班各有多少人某校初中一年级学... - ？
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闵行区13867989588： 2012年迎春杯复赛多少分得奖? - ？
闻媚安宫： 三年级:一等奖44分、二等奖28分、三等奖 四年级:一等奖66分、二等奖46分、三等奖28分 五年级:一等奖60分、二等奖40分、三等奖20分 六年级:一等奖70分、二等奖50分、三等奖28分 (加上送分题)

闵行区13867989588： 六年级同学举行数学大赛,若干名同学获奖,其中的一等奖的同学比其他得奖人数的五分之一少3名,的二等奖的恰好占得奖人数的三分之一,的三等奖的同... - ？
闻媚安宫：[答案] 设 共有x名同学(总共人数)获奖 二等奖学生:x/3 三等奖学生:x/3+21 一等奖学生:(x/3+x/3+21)/5 - 3 方程:(x/3+x/3+21)/5 - 3 + x/3 + x/3+21=x x=111

闵行区13867989588： 某校初中一年级举行数学竞赛,参加的人数是未参加人数的3倍,如果该年级学生减少6人,未参加的学生增加6人,那么参加与未参加竞赛的人数之比是2:1.... - ？
闻媚安宫：[答案] 设未参加的学生有x人,则参赛人数便是3x人.于是全年级共有(x+3x)人. (x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6, ∴x+6+2x+12=4x-6, 3x+18=4x-6, x=24(人). ∴未参加竞赛的学生有24人,参加竞赛的学生有3*24=72(人). 全年级有学生4*24=96(人).

闵行区13867989588： 小学六年级毕业自我鉴定5篇 ？
闻媚安宫： 重要的自我鉴定将成为个人历史生活中一个阶段的小结,具有史料价值,被收入个人... 202学年少先队火炬银奖,小小数学家竞赛区二等奖,第十一届华罗庚金杯赛决赛二...

闵行区13867989588： 育红小学四年级举办数学竞赛,共20道题,做对一道得五分,不做得零分,做错一道扣二分小红得了64分他? - ？
闻媚安宫： ①全做对可得多少分?5*20=100(分)②不做一道题少得多少分?5分③做错一道题少得多少分?5+2=7(分)④小红少得了多少分?100-64=36(分)⑤小红做错了几道题?有几道题没有做?36=21+1521÷7=3(道),15÷5=3(道)小红3道题做错了,3道题没有做.⑥小红做对了几道题?20-3-3=14(道)答:小红做对了14道题.

闵行区13867989588： 2012年全国中学生物理竞赛初赛、复赛、决赛时间 - ？
闻媚安宫： 2012年(第二十九届)全国中学生物理竞赛预赛于 2012年9月8日下午2:30—5:30,在各省(市)考点同时举行;复赛理论笔试于2012年9月22日上午8:30至11:30,在在各省(市)考点同时举行;复赛实验考试于2012年9月23日下午1:00至7:00,在各省(市)物理学会指定的考点(一般在省会的某个大学实验室)举行;全国中学生物理竞赛决赛于2012年11月3日至8日在吉林省吉林市举行.

闵行区13867989588： 小明姐一是个中学生了,参加了全区的数学竟赛.她说:我的名次、分数和我的年龄乘起来是4074.你能算出她得多少分,获得第几名吗? - ？
闻媚安宫：[答案] 4074=97*2*3*7,因为她是中学生,所以年龄应该是2*7=14岁,分数就是97分,名次是第三名

闵行区13867989588： 某小学六年级120人参加数学竞赛,获奖人数占6年级参加数学竞赛总人数的十分之三,而获奖人数的三分之 - ？
闻媚安宫： 120*3/10*1/3

闵行区13867989588： 天原杯、新知杯、白猫杯、大同杯几年级可以考?什么时间报名 - ？
闻媚安宫： 天原杯原则上是初三学生的化学竞赛.初赛4月上旬、复赛4月中旬,学校推荐,个人不报名.新知杯全名为新知杯上海市初中数学竞赛,原则上只有初三学生可以报名.12月份市统考,区统考要提前.白猫杯有初三组合高中组,高中是高一升高...