2012年太原市初中数学竞赛复赛时间
2003年太原市初中数学竞赛题
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填,得零分)
1.若4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),则 的值等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.在本埠投寄平信,每封信质量不超过20g时付邮费0.80元,超过20g而不超过40g时付邮费1.60元,依次类推,每增加20g需增加邮费0.80元(信的质量在100g以内).如果所寄一封信的质量为72.5g,那么应付邮费 ( )
(A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元
3.如下图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( )
(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°
4.四条线段的长分别为9,5,x,1(其中x为正实数),用它们拼成两个直角三角形,且AB与CD是其中的两条线段(如上图),则x可取值的个数为( )
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个
5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有( )
(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.已知 ,那么 .
7.若实数x,y,z满足 , , ,则xyz的值为 .
8.观察下列图形:
① ② ③ ④
根据图①、②、③的规律,图④中三角形的个数为 .
9.如图所示,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照
在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD与地面成45º,∠A=60º,
CD=4m,BC= m,则电线杆AB的长为_______m.
10.已知二次函数 (其中a是正整数)的图象经 过点A(-1,4)与点B(2,1),并且与x轴有两个不同的交点,则b+c的最大值为 .
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P. 问EP与PD是否相等?证明你的结论.
解:
12.某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?
解:
13B.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°.
(1)当点D在斜边AB内部时,求证: .
(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.
(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.
14B.已知实数a,b,c满足:a+b+c=2,abc=4.
(1)求a,b,c中的最大者的最小值;
(2)求 的最小值.
注:13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题.
13A.如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程 (k是整数)的最大整数根. P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点.若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求 的值.
解:
14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式 >0,那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.
(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有 ≤0?请说明理由.
(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有 ≤0?请说明理由.
解:(1)
(2)
2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准
一、选择题(每小题6分,满分30分)
1.D
由 解得 代入即得.
2.D
因为20×3<72.5<20×4,所以根据题意,可知需付邮费0.8×4=3.2(元).
3.C
如图所示,∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°,∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°,
而∠BMN +∠FNM =∠D+180°,所以
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
4.D
显然AB是四条线段中最长的,故AB=9或AB=x.
(1)若AB=9,当CD=x时, , ;
当CD=5时, , ;
当CD=1时, , .
(2)若AB=x,当CD=9时, , ;
当CD=5时, , ;
当CD=1时, , .
故x可取值的个数为6个.
5.B
设最后一排有k个人,共有n排,那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,k+2,…,k+(n-1),由题意可知 ,即 .
因为k,n都是正整数,且n≥3,所以n<2k+(n-1),且n与2k+(n-1)的奇偶性不同. 将200分解质因数,可知n=5或n=8. 当n=5时,k=18;当n=8时,k=9. 共有两种不同方案.
6. .
= .
7.1.
因为 ,
所以 ,解得 .
从而 , .
于是 .
8.161.
根据图中①、②、③的规律,可知图④中三角形的个数为
1+4+3×4+ + =1+4+12+36+108=161(个).
9. .
如图,延长AD交地面于E,过D作DF⊥CE于F.
因为∠DCF=45°,∠A=60°,CD=4m,
所以CF=DF= m, EF=DFtan60°= (m).
因为 ,所以 (m).
10.-4.
由于二次函数的图象过点A(-1,4),点B(2,1),所以
解得
因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点,所以 ,
,即 ,由于a是正整数,故 ,
所以 ≥2. 又因为b+c=-3a+2≤-4,且当a=2,b=-3,c=-1时,满足题意,故b+c的最大值为-4.
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P. 问EP与PD是否相等?证明你的结论.
解:DP=PE. 证明如下:
因为AB是⊙O的直径,BC是切线,
所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC,得 ① ……(6分)
又AD‖OC,所以∠DAE=∠COB,于是Rt△AED∽Rt△OBC.
故 ② ……(12分)
由①,②得 ED=2EP.
所以 DP=PE. ……(15分)
12.某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及
通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示. 若汽车行驶
的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用
为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过
程),并求出所需费用最少为多少元?
解:从A城出发到达B城的路线分成如下两类:
(1)从A城出发到达B城,经过O城. 因为从A城到O
城所需最短时间为26小时,从O城到B城所需最短时间
为22小时. 所以,此类路线所需 最短时间为26+22=48(小时). ……(5分)
(2)从A城出发到达B城,不经过O城. 这时从A城到达B城,必定经过C,D,E城或F,G,H城,所需时间至少为49小时. ……(10分)
综上,从A城到达B城所需的最短时间为48 小时,所走的路线为:
A→F→O→E→B. ……(12分)
所需的费用最少为:
80×48×1.2=4608(元)…(14分)
答:此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B,所需的费用最少为4608元…(15分)
13B.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°.
(1)当点D在斜边AB内部时,求证: .
(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.
(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.
解:(1)作DE⊥BC,垂足为E. 由勾股定理得
所以 .
因为DE‖AC,所以 .
故 . ……(10分)
(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式仍然成立。此时有AD=0,CD=AC,BD=AB.
所以 , .
从而第(1)小题中的等式成立.……(13分)
(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式不成立.
作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,则
而 ,
所以 .……(15分)
〖说明〗第(3)小题只要回答等式不成立即可(不成立的理由表述不甚清者不扣分).
14B.已知实数a,b,c满足:a+b+c=2,abc=4.
(1)求a,b,c中的最大者的最小值;
(2)求 的最小值.
解:(1)不妨设a是a,b,c中的最大者,即a≥b,a≥c,由题设知a>0,
且b+c=2-a, .
于是b,c是一元二次方程 的两实根, ≥0,
≥0, ≥0. 所以a≥4. ……(8分)
又当a=4,b=c=-1时,满足题意.
故a,b,c中最大者的最小值为4. ……(10分)
(2)因为abc>0,所以a,b,c为全大于0或一正二负.
1) 若a,b,c均大于0,则由(1)知,a,b,c中的最大者不小于4,这与a+b+c=2矛盾.
2)若a,b,c为或一正二负,设a>0,b<0,c<0,则
,
由(1)知a≥4,故2a-2≥6,当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使得不等式等号成立。故 的最小值为6. ……(15分)
13A.如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程 (k是整数)的最大整数根. P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点. 若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求 的值.
解:设方程 的两个根为 , , ≤ .由根与系数的关系得
---- ①, ---- ②
由题设及①知, , 都是整数. 从①,②消去k,得 ,
.
由上式知, ,且当k=0时, ,故最大的整数根为4.
于是⊙O的直径为4,所以BC≤4.
因为BC=PC-PB为正整数,所以BC=1,2,3或4. ……(6分)
连结AB,AC,因为∠PAB=∠PCA,所以PAB∽△PCA,
故 ③ ……(10分)
(1)当BC=1时,由③得, ,于是 ,矛盾!
(2)当BC=2时,由③得, ,于是 ,矛盾!
(3)当BC=3时,由③得, ,于是 ,
由于PB不是合数,结合 ,故只可能
, ,
解得 .
此时 .
(4)当BC=4,由③得, ,于是 ,矛盾.
综上所述 .……(15分)
14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式 >0,那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.
(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有 ≤0?请说明理由.
(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有 ≤0?请说明理由.
解:(1)答案是肯定的. 具体操作如下:
……(5分)
(2)答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ……(7分)
开始时, =1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1,经过k(k≥0)次操作后,这2003个数的相邻两数乘积之和为 ,此时若圆周上依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式 >0,即ab+cd>ac+bd,交换b,c的位置后,这2003个数的相邻两数乘积之和为 ,有 .
所以 ,即每一次操作,相邻两数乘积的和至少减少1,由于相邻两数乘积总大于0,故经过有限次操作后,对任意依次相连的4个数a,b,c,d,一定有 ≤0.……(15分).
http://www.1230.org/Soft/Class26/Class30/200806/26345.html
4月15日8:30~9:30第一试十个小题9:50~11:20第二试三个大题。那不叫复赛,是全国初中数学联合竞赛。你多少分了~我应该比你强吧咨询自己的老师,或者打电话问
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