八年级（下）的三道几何题，求解，要完整步骤

八年级（下）的三道几何题（在线等，要完整步骤）~

解：第一道题，四边形DEBF不一定是平行四边形，添加条件EA=FC后，四边形DEBF是平行四边形；添加条件后所证的步骤如下：
连接BD，设BD与AC的交点为G，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴<ADB=<CGD，AG=CG，BG=DG
∵EG=EA+AG，FG=FC+CG
∴EG=FG
在△EGB和△FGD中有
EG=FG，DG=GB
<EGB=<FGD
由三角形边角边全等形定理可知
△EGB≌△FGD
∴<BEG=<DFG，DF=BE
DF平行且相等于EB
∴四边形DEBF为平行四边形
解：第二题，如图作AD平行且相等与BH，
设DH与EF相交于G
由题意与已知可得G为HD的中点
又∵F为DC的中点
∴DF为△HDC的中位线
∴GF=HC/2，GF//HC
由GF//HC可得：EF//BC//AD
∵AD平行且相等与BH
又∵AD//EF//BH
∴AD=EG=BH
∴EG=(AD+BH)/2
∴EG+GF=(AD+BH)/2+HC/2=(AD+BH+HC)/2=(AD+BC)/2
即：EF=(AD+BC)/2
解：第三题(1)，当E、F分别为BC、DC的中点时，
EF即为△BDC的中位线
由三角形中位线定理可得（这里ABCD应为菱形）
∴EF//DB，DF=BE
∵四边形ABCD为平行四边形
∴<ADF=<ABE，AD=AB
∴△ADF≌△ABE
∴S△ADF=S△ABE
（2）当EF//BD，但E，F不是中点时△ADF和△ABE的面积还相等
由（1）可知，当EF//BD时可得DF=EB
又由四边形ABCD为菱形
可得 ∴<ADF=<ABE，AD=AB
从而得到∴△ADF≌△ABE
即S△ADF=S△ABE得证。
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(1)∵CE是∠BCA的平分线
∴∠BCE=∠ACE
∵MN||BC
∴∠BCE=∠ACE=∠CEN
所以EO=CO
同理可得CO=FO
∴EO=FO
(2)∵EO=FO=CO根据矩形对角线相互平分
有AO=FO=EO=CO，AO=CO
∴O为AC的中点时,EF与AC互相平分时，四边形AECF为矩形

1.如果AE=CF，则四边形DEBF时平行四边形
如果AE≠CF，则DEBF不是平行四边形
因为平行四边形的对角线互相平分
2.连BD，取BD中点G，连EG、FG
∵E是AB中点
∴EG是△ABD中位线
∴EG∥AD，EG=AD/2
同理GF∥BC，GF=BC/2
又AD∥BC
∴E、G、F三点共线
∴EF∥AD∥BC
且EF=EG+GF=(AD+BC)/2
3.⑴①∵E是BC中点，F是DC中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF∥BD
②∵E是BC中点
∴S△ABE=S△ABC/2
同理S△ADF=S△ADC/2
又对角线分平行四边形为全等的两部分，即S△ABC=S△ADC
∴S△ADF=S△ABE
⑵只要EF∥BD，就有S△ADF=S△ABC
∵EF∥BD
∴△ECF∽△BCD
∴EC:BC=FC:DC
∴BE:BC=DF:DC
∴S△ABE:S△ABC=S△ADF:S△ADC
∴S△ABE=S△ADF

当且仅当AE=CF时，四边形DEBF是平行四边形，其他情况下都不是。

过点D做一条平行于AB的直线交BC于点M，取DM中点N，连接EN,DN，因为AD//BM,AB//DM,所以四边形ABMD为平行四边形，所以AB=MD，因为E,N分别是AB,MD的中点，所以AE=DN，又因为AE//DN，所以四边形AEND是平行四边形，所以AD//且=EN。因为N,F分别是MD,CD的中点，所以NF//且=(1/2)CM，因为CM//AD,EN与FN均过点N，所以点E,F,N三点共线，所以EF//AD//BC。且EF=EN+FN=(1/2)(AD+BM)+(1/2)CM=(1/2)(AD+BC)。

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