八年级(下)的三道几何题,求解,要完整步骤
解:第一道题,四边形DEBF不一定是平行四边形,添加条件EA=FC后,四边形DEBF是平行四边形;添加条件后所证的步骤如下:
连接BD,设BD与AC的交点为G,
∵四边形ABCD为平行四边形
∴<ADB=<CGD,AG=CG,BG=DG
∵EG=EA+AG,FG=FC+CG
∴EG=FG
在△EGB和△FGD中有
EG=FG,DG=GB
<EGB=<FGD
由三角形边角边全等形定理可知
△EGB≌△FGD
∴<BEG=<DFG,DF=BE
DF平行且相等于EB
∴四边形DEBF为平行四边形
解:第二题,如图作AD平行且相等与BH,
设DH与EF相交于G
由题意与已知可得G为HD的中点
又∵F为DC的中点
∴DF为△HDC的中位线
∴GF=HC/2,GF//HC
由GF//HC可得:EF//BC//AD
∵AD平行且相等与BH
又∵AD//EF//BH
∴AD=EG=BH
∴EG=(AD+BH)/2
∴EG+GF=(AD+BH)/2+HC/2=(AD+BH+HC)/2=(AD+BC)/2
即:EF=(AD+BC)/2
解:第三题(1),当E、F分别为BC、DC的中点时,
EF即为△BDC的中位线
由三角形中位线定理可得(这里ABCD应为菱形)
∴EF//DB,DF=BE
∵四边形ABCD为平行四边形
∴<ADF=<ABE,AD=AB
∴△ADF≌△ABE
∴S△ADF=S△ABE
(2)当EF//BD,但E,F不是中点时△ADF和△ABE的面积还相等
由(1)可知,当EF//BD时可得DF=EB
又由四边形ABCD为菱形
可得 ∴<ADF=<ABE,AD=AB
从而得到∴△ADF≌△ABE
即S△ADF=S△ABE得证。
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(1)∵CE是∠BCA的平分线
∴∠BCE=∠ACE
∵MN||BC
∴∠BCE=∠ACE=∠CEN
所以EO=CO
同理可得CO=FO
∴EO=FO
(2)∵EO=FO=CO根据矩形对角线相互平分
有AO=FO=EO=CO,AO=CO
∴O为AC的中点时,EF与AC互相平分时,四边形AECF为矩形
如果AE≠CF,则DEBF不是平行四边形
因为平行四边形的对角线互相平分
2.连BD,取BD中点G,连EG、FG
∵E是AB中点
∴EG是△ABD中位线
∴EG∥AD,EG=AD/2
同理GF∥BC,GF=BC/2
又AD∥BC
∴E、G、F三点共线
∴EF∥AD∥BC
且EF=EG+GF=(AD+BC)/2
3.⑴①∵E是BC中点,F是DC中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF∥BD
②∵E是BC中点
∴S△ABE=S△ABC/2
同理S△ADF=S△ADC/2
又对角线分平行四边形为全等的两部分,即S△ABC=S△ADC
∴S△ADF=S△ABE
⑵只要EF∥BD,就有S△ADF=S△ABC
∵EF∥BD
∴△ECF∽△BCD
∴EC:BC=FC:DC
∴BE:BC=DF:DC
∴S△ABE:S△ABC=S△ADF:S△ADC
∴S△ABE=S△ADF
当且仅当AE=CF时,四边形DEBF是平行四边形,其他情况下都不是。
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