用二重积分算体积

二重积分怎么求体积？有几种求法？~

二重积分的几何意义就是体积，求二重积分实质上就是求体积。其中积分区域就是曲顶柱体的底面积，被积函数就是曲顶柱体的高。高数下册课本第138就有二重积分的几何意义，可以参考看一下。求法大概有三种，直角坐标系下先对x积分再对y积分，或者先对y积分再对x积分，或者用极坐标计算。

先计算两球的交线，易得：交线为z=r/2，平面z=r/2将这个公共部分分为两部分，这两部分是对称的，因此我们只求上半部分，然后2倍即可。
将z=r/2代入球面方程得：x²+y²=3r²/4
因此本题转化为计算球面x²+y²+z²=r²被圆柱面x²+y²=3r²/4截出的球冠体积，然后2倍。
球面x²+y²+z²=r²方程化为：z=√(r²-x²-y²)
A1=∫∫√(r²-x²-y²)dxdy
积分区域为：x²+y²≤3r²/4
用极坐标
=∫∫ρ√(r²-ρ²)dρdθ
=∫[0---->2π]dθ∫[0---->√3r/2]
ρ√(r²-ρ²)dρ
=2π∫[0---->√3r/2]
ρ√(r²-ρ²)dρ
=π∫[0---->√3r/2]
√(r²-ρ²)d(ρ²)
=-(2/3)π(r²-ρ²)^(3/2)
|[0---->√3r/2]
=(2/3)π[r³-(r²-3r²/4)^(3/2)]
=(2/3)π*(7/8)r³
=(7/12)πr³
A=2A1=(7/6)πr³

先计算两球的交线，易得：交线为z=r/2，平面z=r/2将这个公共部分分为两部分，这两部分是对称的，因此我们只求上半部分，然后2倍即可。
将z=r/2代入球面方程得：x²+y²=3r²/4
因此本题转化为计算球面x²+y²+z²=r²被圆柱面x²+y²=3r²/4截出的球冠体积，然后2倍。
球面x²+y²+z²=r²方程化为：z=√(r²-x²-y²)
A1=∫∫√(r²-x²-y²)dxdy 积分区域为：x²+y²≤3r²/4
用极坐标
=∫∫ρ√(r²-ρ²)dρdθ
=∫[0---->2π]dθ∫[0---->√3r/2] ρ√(r²-ρ²)dρ
=2π∫[0---->√3r/2] ρ√(r²-ρ²)dρ
=π∫[0---->√3r/2] √(r²-ρ²)d(ρ²)
=-(2/3)π(r²-ρ²)^(3/2) |[0---->√3r/2]
=(2/3)π[r³-(r²-3r²/4)^(3/2)]
=(2/3)π*(7/8)r³
=(7/12)πr³
A=2A1=(7/6)πr³

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中卫市18431556885： 用二重积分求立体的体积! - ？
璩蔡滴通：[答案] 将左式代入右式得z=2a-根号(az) 解得z=a.(z=4a已舍去) 故所围立体在z=0上的投影为x^2+y^2=a^2 故体积为∫∫(2a-根号(x^2+y^2)-(x^2+y^2)/a)dxdy. 其中D为x^2+y^2=a^2 再作变换x=rcost,y=rsint解即可.

中卫市18431556885： 用二重积分求一个长方体体积 - ？
璩蔡滴通： 楼上说的不是二重积分! 适当选择坐标系,使长宽分别是xy轴,高为z轴.按照二重积分的定义,被积函数是f(x,y)=3,积分区域是D: {0<x<1,0<y<2} 然后按照二重积分的定义形式计算就可以了

中卫市18431556885： 用二重积分怎么表示求的体积公式啊?知道的速回啊 - ？
璩蔡滴通：[答案] 用S来代替积分号 V=SS f(x,y)dxdy 在积分号下面还有一个D(x,y)表示f(x,y)在xoy面上的投影! 其实就是相当于长方体的体积一样,底是dx * dy ,高是f(x,y),只不过高是不规则的而已!

中卫市18431556885： 利用二重积分计算体积:z=y^2,2x+y - 4=0,x=0,y=0,z=0 - ？
璩蔡滴通：[答案] 由2x+y-4=0解得x,y的取值范围为0≤x≤2,y=-2x+4∴V=∫[∫zdy]dx=∫[∫y^2dy]dx=∫[y^3/3]dx=∫[(-2x+4)^3/3]dx=-1/2∫[(-2x+4)^3/3]d(-2x+4)=-1/2[(-2x+4)^4/12]=-1/2*[0-4^4/12]=32/3

中卫市18431556885： 高数里如何用二重积分求曲面围成的体积有下列曲面 z=x^2+y^2 ,x+y=4,x=0,y=0,z=0围成的体积,谢谢 - ？
璩蔡滴通： 将z=x^2+y^2作为被积函数 V = ∫∫ x^2+y^2 ds 积分区域D由 x+y=4,x=0,y=0,z=0,确定=∫ dy ∫ x^2+y^2 dx (积分上下限:x下限0,上限4-y;y下限0,上限4)=∫ 2(y^3-32y+64)/3dy= (y^4-64y^2+256y)/6 | (y下限0,上限4)= 256/6=128/3

中卫市18431556885： 请问,用二重积分怎样求面积和体积?为什么有时候要用直线的积分减去曲线的积分? - ？
璩蔡滴通：[答案] 二重积分求面积,直接在所给区域上求二重积分就好了,被积函数是1.二重积分求体积是用上面曲面减去下面曲面所得函数在所给区域上求二重积分.

中卫市18431556885： 二重积分计算体积 - ？
璩蔡滴通： 我讲一般的情形: 设平面图形D由曲线y=f(x),直线x=a,x=b,,b>a及x轴围成 则:1.平面图形的面积S=∫[a,b]f(x)dx 2.此平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积: 用微元法,在区间[a,b]任取点x,则S(x)=πf(x)^2 所以:V=∫[a,b]πf(x)^2dx

中卫市18431556885： 用二重积分计算半径为2的上半球体的体积 - ？
璩蔡滴通：[答案] 以该半球的球心为原点,半球大圆为xy平面,作直角坐标系O-xyz,则半球面的方程为z=√(4-x^2-y^2),大圆所谓区域为D:x^2+y^2≤4,所以,半球体积:

中卫市18431556885： 二重积分求 体积~~谢谢各位大侠~~ - ？
璩蔡滴通： 连立两个方程,解得 x²+y²=1 所以 D={(x,y)↑ x²+y²≤1} 体积=∫∫D √[2-x²-y²] -√[x²+y²] dxdy==∫∫D 【√[2-p²] -p 】pdpdθ=∫(0,2π)dθ∫(0,1)【 √[2-p²] -p 】pdpdθ=2π【-1/3 √[2-p²]³-1/3p³】(0,1)=2π【2√2/3-2/3】

中卫市18431556885： 二重积分求体积怎么求? - ？
璩蔡滴通： 首先将两个bai方程并列找出两个曲面相交的曲线.通过du消去z,得到:2-x²=x²+2y²即x²+y²=1所以此曲线位于半径为1的圆柱面上,那么x和y的积分限很容易就找到了:x+y=1...