什么是函数?

什么是函数?~

“囧”，本义为“光明”。从2008年开始在中文地区的网络社群间成为一种流行的表情符号，成为网络聊天、论坛、博客中使用最最频繁的字之一，它被赋予“郁闷、悲伤、无奈”之意。

在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。
（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。

函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

functions

数学中的一种对应关系，是从某集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数 。精确地说，设X是一个不空集合，Y是某个实数集合 ，f是个规则 ， 若对X中的每个x，按规则f，有Y中的一个y与之对应 ， 就称f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，Y为其值域，x叫做自变量，y为因变量。

例1：y＝sinx X＝〔0，2π〕，Y＝〔－1，1〕 ，它给出了一个函数关系。当然 ，把Y改为Y1＝（a，b） ，a＜b为任意实数，仍然是一个函数关系。

其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为〔0，b〕。以上3例展示了函数的三种表示法：公式法 ， 表格法和图像法。

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的。

中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。

最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂。以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。

1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数。贝努利所强调的是函数要用公式来表示。

后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上。只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准。

1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”

当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。

1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以来求出每一个x的对应值。

1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数。”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便。因此，这个定义曾被比较长期的使用着。

自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了。

我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展.

　　解释如下：
　　函数（function），名称出自数学家李善兰的著作《代数学》。之所以如此翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
　　函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
　　

一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y.并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a是的函数．

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