球形体体积计算公式
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程:
我们知道,对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:
b(上限)∫a(下限)f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数:
Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(x)dx
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了:
Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt
接下来我们就来研究这个函数Φ(x)的性质:
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt,则Φ’(x)=f(x)。
证明:让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
显然,x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
也可自己画个图,几何意义是非常清楚的。)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a),F(x)是f(x)的原函数。
证明:我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x)+C=F(x)
但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a],故面积为0),所以F(a)=C
于是有Φ(x)+F(a)=F(x),当x=b时,Φ(b)=F(b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt,所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a)
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
抛物线弓形面积公式
抛物线弦长公式及应用
本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.
抛物线弓形面积公式等于:以割线为底,以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4,即:
抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S
定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y2=2Px截得的弦AB的长度为
∣AB∣= ①
证明 由y=kx+b得x=代入y2=2Px得y2-+=0
∴ y1+y2=,y1y2=.
∣y1-y2∣==2,
∴∣AB∣=∣y1-y2|=
当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=-,代入①得∣AB∣=P(1+k2),
于是得出下面推论:
推论1 过焦点的直线y=kx-(k ≠0)被抛物线y2=2Px截得的弦
AB的长度为
∣AB∣=P(1+k2) ②
在①中,由容易得出下面推论:
推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y2=2Px
Ⅰ)当P>2bk时,l与C交于两点(相交);
Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);
Ⅲ)当P<2bk时,l与C无交点(相离).
下面介绍定理及推论的一些应用:
例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x2截得的线段的长?
分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.
解 曲线方程可变形为x2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y-,
即k=1,b=-.由①得∣AB∣=4.
例2 求直线2x+y+1=0到曲线y2-2x-2y+3=0的最短距离.
分析:可求与已知直线平行并和曲
线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.
解 曲线可变形为(y-1)2=2(x-1)则P=1,由2x+y+1=0知k=-2.由推论2,令2bk=P,解得b=-.∴所求直线方
程为y-1=-2(x-1)-,即2x+y-=0. ∴.
故所求最短距离为.
例3 当直线y=kx+1与曲线y=-1有交点时,求k的范围.
解 曲线可变形为(y+1)2=x+1
(x≥-1,y≥-1) ,则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)-k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2-k)≤,解得k≤1-或k≥1+.故k≤1-或k≥1+时直线与曲线有交点.
注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.
例4 抛物线y2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.
解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=-.由①, |OA|=,
|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y2=x.
例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ
解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y2=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由②|PQ|=,
已知|PQ|=b,k2=.∵k2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,
∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π-θ)=ab sinθ=.
4/3πR立方
地球的赤道半径ra=星体(5张)6378137m≈6378km,极半径rb=6356752m≈6357km,
扁率e=1/298.257,忽略地球非球形对称,平均半径r=6371km。
V=4/3×π×R^3=1.083 207 3×10^12 km^3
4/3* πR^3
4/3×π×R^3=V
常用的数学计算公式都有哪些?
小学数学几何形体周长 面积 体积计算公式 1、长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2 2、正方形的周长=边长×4 C=4a 3、长方形的面积=长×宽 S=ab 4、正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a 5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 6、平行四边形的面积=底×高 S=ah 7、梯形的面积=(上...
圆锥体的体积公式
底面积×高×1\/3。圆锥也称为圆锥体,是一种三维几何体,是平面上一个圆以及它的所有切线和平面外的一个定点确定的平面围成的形体。圆锥体积计算公式是:v=1\/3(s*h)=1\/3(π*r*r*h),v是体积,s是面积,h是高,π是圆周率,r为底面半径,
球形体积积计算公式
半径是R的球的体积计算公式是:V=4\/3πR3。一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体,球体是一个连续曲面的立体图形,由球面围成的几何体称为球体。世界上没有绝对的球体,绝对的球体只存在于理论中,但在失重环境(如太空)中,液滴自动形成绝对球体。用一个平面去截一个球,截面...
棱形体的体积公式
棱形体的体积公式是[S上+S下+√(S上×S下)]*h\/3。棱台是几何学中研究的一类多面体,指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后,截面与底面之间的几何形体。截面也称为棱台的上底面,原来棱锥的底面称为下底面。随着棱锥形状不同,棱台的称呼也不相同,依底面多边形而定,例如底面是正...
求:三角形,正方体,长方体,梯形,圆柱体的立方计算公式
1、立方计算的结果就是包围空间的大小,正确的叫法是体积。2、三角形应该是三角锥;梯形应该叫棱台,否则平面没有包围空间,何来体积或立方计算。3、圆柱体一般而言是指正圆的柱形体,即正圆柱体,简称正圆柱。三角锥:V = (1\/3)SH 【底面积×高÷3】正方体:V = a^3 【棱长×棱长×棱长】...
楔形体体积计算公式
V=(2a+c)*b*h\/6 也可以表达为 V=(根号S上+根号下S上S下+根号S下)\/3。若平均分成三段,则每一段的截面的边长成等差数列,若上为10,下为40,则中间的为20、30。
小学生长度单位换算表
几何形体周长面积体积计算公式:1、长方形的周长=(长+宽)×2C=(a+b)×2。2、正方形的周长=边长×4C=4a。3、长方形的面积=长×宽S=ab。4、正方形的面积=边长×边长S=a.a=a。5、三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2。6、平行四边形的面积=底×高S=ah。7、梯形的面积=(上底+下底)×高...
圆锥的体积计算方法
需要注意单位制的统一,即底面半径和高均需要使用相同的单位制。另外,圆锥的体积与其他几何形体不同,它具有一个尖端,因此在求解时需要特别注意。通过上面的公式和推导过程,我们可以了解到圆锥的体积是由底面的半径和高来决定的。在计算时,需要正确理解和使用公式,才能得到正确的结果。
梯形的体积公式
梯形体积计算公式。(上底+下底)×高÷2。体积是刻画立体大小的量,梯形是平面图形没有体积,只有面积;梯形的面积公式(上底+下底)X高六2。梯形体积怎么算立方体积:梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形,平行的两边叫作梯形的底边。梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形,...
“橄榄球”形体积怎么算?
测量出橄榄球形体尖尖的两端的距离,取其一半,记做a,再测量出橄榄球形体的高,取其一半,记做b,该形体体积就等于pi*a*b,pi是圆周率
栋桑苏新:[答案] v=4/3πR^3 推导圆球的体积和表面积计算公式的过程是这样的: 假设圆球的半径和圆柱的底面半径相等,都为r,则圆柱的高是2r,或者是d,再用字母和符号表示出圆柱的体积和表面积计算公式,然后分别乘 ,就得出圆球的体积和表面积,最后进行...
安平县17882354935: 球体的体积公式 - ?
栋桑苏新:[答案] 球体的体积计算公式: V=(4/3)πr^3 解析:三分之四乘圆周率乘半径的三次方
安平县17882354935: 球体积公式 - ?
栋桑苏新:[答案] 体积V=4πR³/3 表面积S=4πR²
安平县17882354935: 球的体积公式和圆柱体积公式 - ?
栋桑苏新:[答案] 球体积公式:V=(4/3)πR^3. 圆柱体的体积公式:体积=底面积*高 ,如果用h代表圆柱体的高,则圆柱=S底*h .
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栋桑苏新: 球体体积公式:V=(4/3)πr^3 公式中r为球的半径,V为球的体积.即:球体体积等于三分之四乘圆周率乘半径的三次方
安平县17882354935: 球体的体积如何计算? - ?
栋桑苏新: 表面积 S=4*pi*(R^2) S 表面积 pi 圆周率 R圆直径 ^2 平方 体积 V=4/3*pi*(R^3) V 体积 pi 圆周率 R圆直径 ^3 立方
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栋桑苏新:[答案] 精确的球的表面积计算公式:球的表面积=4πr^2,r为球半径 ,公式唯一. 精确的球的体积计算公式:V球=(4/3)πr^3,r为球半径 ,公式唯一.
安平县17882354935: 球体体积的公式? - ?
栋桑苏新:[答案] 球体体积V=4πR/3
安平县17882354935: 球体的体积计算公式? - ?
栋桑苏新: V=4/3 πr*3. 设球体的体积为V,底面半径为r,则得体积公式为:V=4/3 πr*3. 体积的国际单位制是立方米.一件固体物件的体积是一个数值用以形容该物件在三维空间所占有的空间. 扩展资料: 柱体体积公式 一、常规公式V=sh(S是底面积,h是高) 二、圆柱V= πr*2(r代表底圆半径,h代表圆柱体的高) 三、棱柱V=sh(底面积x高) 参考资料来源:搜狗百科-体积公式
安平县17882354935: 球的体积公式??
栋桑苏新: 精确的球的表面积计算公式: 球的表面积=4πr^2, r为球半径 ,公式唯一. 精确的球的体积计算公式: V球=(4/3)πr^3, r为球半径 ,公式唯一.