我要2007年数学竞赛初中组的题目

一条数学竞赛题~

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）.
（A）36 （B）37 （C）55 （D）90
答：C．
解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.
故选C．
2．已知 ， ，且 ，则 的值等于（ ）
（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9
答：C．
解：由已知可得 ， ．又
，
所以 ，
解得 ．
故选C．
3．Rt△ABC的三个顶点 ， ， 均在抛物线 上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答：B．
解：设点A的坐标为 ，点C的坐标为 （ ），则点B的坐标为 ，由勾股定理，得
，
，
，
所以 ．
由于 ，所以 ，故斜边AB上高 ．
故选B．
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
答：B．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过 次后，可得（ ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（ ＋1）×360°．
因为这（ ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为
34×（62－2）×180°=34×60×180°，
其余多边形有（ ＋1）－34＝ －33（个），而这些多边形的内角和不少于（ －33）×180°．所以
（ ＋1）×360°≥34×60×180°＋（ －33）×180°，
解得 ≥2005．
当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了
58＋33＋33×58＝2005（刀）．
故选B．
5．如图，正方形 内接于⊙ ，点 在劣弧 上，连结 ， 交 于点 ．若 ，则 的值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）







答：D．
解：如图，设⊙ 的半径为 ， ，则 ， ， ．
在⊙ 中，根据相交弦定理，得 ．
即 ，
所以 ．
连结DO，由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ．
所以， ．
故选D．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知 ， ， 为整数，且 ＋ ＝2006， ＝2005．若 ＜ ，则 ＋ ＋ 的最大值为 ．
答：5013．
解：由 ＋ ＝2006， ＝2005，得 ＋ ＋ ＝ ＋4011．
因为 ＋ ＝2006， ＜ ， 为整数，所以， 的最大值为1002．
于是， ＋ ＋ 的最大值为5013．
7．如图，面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则 的值等于 .








答： ．
解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则 ．由△ADG ∽ △ABC，可得 ，
解得 ．于是 ，
由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 .
8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．
答：104．
解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了 米．于是 ，
且 ≤ ，
所以， ≤ ＜ ．
故x=13，此时 ．
9．已知 ，且满足 （ 表示不超过x的最大整数），则 的值等于 ．
答：6．
解：因为 ，所以 ， ，…， 等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以
＝ ＝…＝ ＝0，
＝ ＝…＝ ＝1，
所以 ，
≤ ＜ ．
故 ≤ ＜ ，于是 ≤ ＜ ，所以 6．
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．
答：282500．
解：设原来电话号码的六位数为 ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 ．
根据题意，有81× ＝ ．
记 ，于是
，
解得 ．
因为 ≤ ≤ ，所以 ≤ ＜ ，
故 ＜ ≤ ．
因为 为整数，所以 ＝2．于是
．
所以，小明家原来的电话号码为282500．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．已知 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ， ．
（1）试写出一个满足条件的x；
（2）求所有满足条件的 ．
解：（1） 满足条件． ……………………5分
（2）因为 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ，所以
，
即
．
当a＝1时， ，这样的正整数b不存在．
当a＝2时， ，故b＝1，此时 ．
当a＝3时， ，故b＝2，此时 ．
当a＝4时， ，与 互质的正整数b不存在．
当a＝5时， ，故b＝3，此时 ．
当a＝6时， ，与 互质的正整数b不存在．
当a＝7时， ，故b＝3，4，5，此时 ， ， ．
当a＝8时， ，故b＝5，此时 ．
所以，满足条件的所有分数为 ， ， ， ， ， ， ．
…………………15分
12．设 ， ， 为互不相等的实数，且满足关系式
①
及 ， ②
求 的取值范围．
解法1：由①－2×②得
，
所以 ．
当 时，
．
…………………10分
又当 ＝ 时，由①，②得
， ③
， ④
将④两边平方，结合③得
，
化简得
，
故 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值范围为 且 ， ．
……………15分
解法2：因为 ， ，所以
＝ ＝ ，
所以 ．
又 ，所以 ， 为一元二次方程
⑤
的两个不相等实数根，故
，
所以 ．
当 时，
．
…………………10分
另外，当 ＝ 时，由⑤式有
，
即
，或 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值范围为 且 ， ．
…………………15分
13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K． 求证： ．







证明：因为AC‖PB，所以 ．又PA是⊙O的切线，所以 ．故 ，于是
△KPE∽△KAP，
所以 ，
即 ．
………………5分
由切割线定理得
，
所以， KP＝KB．
…………………10分
因为AC‖PB，所以，△KPE∽△ACE，于是
，
故 ，
即 ．
…………………15分
14．2006个都不等于119的正整数 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求 的最小值．
解：首先证明命题：对于任意119个正整数 ，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．
事实上，考虑如下119个正整数
， ，…， ， ①
若①中有一个是119的倍数，则结论成立．
若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为 和 （ ≤ ＜ ≤ ），于是
，
从而此命题得证．
…………………5分
对于 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为 ，所以
≥ ． ②
…………………10分
取 ，其余的数都为1时，②式等号成立．
所以， 的最小值为3910．
…………………15分
参考资料：http://bbs.pep.com.cn/viewthread.php?tid=268377

http://math.zhongkao.cn/
你去看看吧，我也不知道具体在哪

2007年全国初中数学竞赛试题及答案
考试时间：2007年4月1日上午9：30—11：30
（温州市鹿城区临江中学 陈昆明 解答）
一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）
1．方程组 的实数解的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：选（A）。当x≥0时，则有y－|y|=6,无解；当x<0时，则y＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3.
2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
（A）14 （B）16 （C）18 （D）20
解：选（B）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种
3．已知 、 、 是三个互不相等的实数，且三个关于 的一元二次方程 ，
， 恰有一个公共实数根，则 的值为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解：选（D）。设这三条方程唯一公共实数根为t，则 ， ，
三式相加得： ，因为 ，所以有a+b+c=0,从而有 ，
所以 ＝ ＝
4．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相
交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经
过△ABC的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
解：选（B）。如图△ADE外接圆的圆心为点F，由题意知：⊙O与⊙F是等圆，
且弧DmE＝弧DnE，所以∠EAB＝∠ABE，∠DAC＝∠ACD，
即△ABE与△ACD都是等腰三角形。分别过点E，F作AB，AC边上的垂线，
相交于点H，则点H是△ABC的外心。又因为∠KHD＝∠ACD，
所以∠DHE+∠ACD＝∠DHE+∠KHD＝180°，即点H，D，C，E在同一个圆上，
也即点H在⊙O上，因而⊙O经过△ABC的外心。
5．方程 的整数解 ， 的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多
解：选（A）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．如图，点A，C都在函数 的图像上，点B，D都在 轴上，
且使得△OAB， △BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ．
解：填 。设OB＝2a，BD＝2b，由△OAB，△BCD都是等边三角形，得
，把点A，C坐标代入 ，解得： ，
即
7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．
解：填4。
连结OP，OB，则所求面积之差的绝对值＝ ＝2×2×2÷2＝4。
8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ，则 ．
解：填6。如图：∠A+∠E+∠F＝360°-∠α，∠B+∠C+∠G=360°-∠β，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（360°-∠α）+（360°-∠β）+∠D
＝540°＝
9．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数
的图像与线段AB只有一个交点，则 的取值范围是 ．
解：填
（1）若图像的顶点在AB上，则有 解得：
（2）若图像的顶点在x轴下方，则有 或
分别解之，得 综上，得：
10．已知对于任意正整数 ，都有 ，则 ．
解：填 。由 及 得
所以 ，于是
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
11．已知抛物线 ： 和抛物线 ： 相交于A，B两点．点P在抛物线 上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线 上，也位于点A和点B之间．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ‖ 轴时，求PQ长度的最大值．
解：（1）由 解得
不妨设点A在点B的左侧，则A（-2，6），B（2，-6）
所以
（2）设P（a,b），则-2≤a≤2， ，
因为PQ‖y轴，所以点Q的横坐标为a，则
所以PQ＝ ＝
即当a＝0（属于-2≤a≤2）时，PQ的最大值为8。
12．已知 ， 都是正整数，试问关于 的方程 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
解：假设方程 有两个整数解为 ，
由 知 ，
下证（1）
事实上，若 ，则 ， ，
即 ，因a，b为正整数,所以ab＝1，2，3或4，
易知不存在a，b的值满足
（2）不妨设
则 ，即 ，
所以有 ，因 是正整数，故
把 代入原方程得， 即 ，也即
所以 ，因a,b都是正整数，
则 解得：
由 得
综上，存在正整数a＝1，b=3或a=3，b=1，使得
方程 有两个整数解为 。
13．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足 ．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．
求证：
（1） ；
（2）△PAB∽△PDC．
证明：（1）连结PG，PE，PF，
四边形PGED和四边形PGFC都内接于圆

（2）

14．（1）是否存在正整数 ， ，使得 ？
（2）设 是给定的正整数，是否存在正整数 ， ，使得 ？
解：（1）由 得：
又因为当n为正整数时， ，所以 不是完全平方数，即m+1不是正整数，故不存在正整数 ， ，使得
(2)当k=3时，由 得： ，
若关于m的方程有正整数解，则 （ 为正整数），
即
所以 ，
解得： 所以不存在正整数 ， ，使得 。
当 时，①若 ，代入 。整理得
设 （ 为正整数）
即
令 ，解得 ，此时
②若 ，代入 。整理得
设 （ 为正整数）
即
令 ，解得 ，
此时 并且m，n的值都是正整数。
综上，当 时，不存在正整数 ， ，使得 ；
当 时，存在正整数 ，使得 ； 在三角形ABC中,AD垂直BC于D,AB+BD=CD.求证角B=2角C

证明:在DC上截取DE=DB,连接AE
在三角形ABD和三角形AED中
AD为公共边
BD=ED
角ADB=角ADE=90度
所以三角形ABD全等于三角形AED
所以AB=AE,角B=角AED,BD=ED
又DC=AB+BD=AB+ED=ED+EC
所以AB=EC=AE,角C=角EAC

当 时，存在正整数 ，使得 。
够了吗

1. 考生要按要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范。

2. 考试结束，将试卷和机读答题卡一并交回。

一. 选择题（共16个小题，每小题3分，共48分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

1. 的倒数是（ ）

A. B. C. 5 D.

2. 计算 的结果是（ ）

A. B. C. D.

3. 计算 的结果是（ ）

A. 1 B. 0 C. D.

4. 9的平方根是（ ）

A. 3 B. C. 81 D.

5. 我区2004年参加中考的考生预计达到9400人，用科学记数法表示这个数为（ ）

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

6. 在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

7. 如果梯形的中位线的长是6cm，上底长是4cm，那么下底长为（ ）

A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm

8. 六边形的内角和为（ ）

A. B. C. D.

9. 如图，ABCD为圆内接四边形，若 ，则 等于（ ）

A. B. C. D.

10. 如果两圆的半径分别为3和4，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（ ）

A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离

11. 在 中， ，若 ，则 的值为（ ）

A. B. C. D.

12. 在直角坐标系中，点 一定在（ ）

A. 抛物线 上 B. 双曲线 上

C. 直线 上 D. 直线 上

13. 如图，在 中， ，若 ， ，则BC的长为（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

14. 如图，PA切⊙O于点A，若 ，则⊙O的半径是（ ）

A. B. C. D.

15. 若数据 的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是（ ）

A. 3和2 B. 2和3 C. 2和2 D. 2和4

16. 如果 ，那么二次函数 的图象大致是（ ）

A. B. C. D.

第II卷（非选择题 52分）

注意事项：

1. 第II卷包括七道大题。考生要在本试卷上按要求作答。

2. 卷面不够用时，可将答案写在第8页内的空白处，但须注明题号。

二. 填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）

17. 计算：

18. 若 ，则

19. 如果圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，那么这个圆柱的侧面积是

20. 要使一个菱形成为正方形，则需增加的条件是 （填上一个正确的条件即可）。

三. （共2个小题，共9分）

21. （本小题满分4分）

分解因式：

解：

22. （本小题满分5分）

计算：

四. （本题满分5分）

23. 已知：如图，在平形四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。

求证：DE=BF

证明：

五. （本题满分6分）

24. 用换元法解方程

解：

六. （本题满分6分）

25. 如图，在 中， ， ，点D在BC边上，且 ， ，求 的正切值。

解：

七. （本题满分7分）

26. 甲、乙两名工人接受相同数量的生产任务。开始时，乙比甲每天少做4件，乙比甲多用2天时间，这样甲、乙两人各剩120件；随后，乙改进了生产技术，每天比原来多做6件，而甲每天的工作量不变，结果两人完成全部生产任务所用时间相同。求原来甲、乙两人每天各做多少件？

解：

八. （本题满分7分）

27. 已知：把矩形AOBC放入直角坐标系xOy中，使OB、OA分别落在x轴、y轴上，点A的坐标为 ，连结AB， ，将 沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，AD交x轴于点E。

（1）求D点坐标；

（2）求经过点A、D的直线的解析式。

解：

【试题答案】

阅卷须知：

1. 保持卷面整洁，认真掌握评分标准。

2. 一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，将大题实际得分填入本题和卷首的得分栏内，要求数字正确清楚，各题的阅卷人员和复查人员须按要求签名。

3. 一个题目往往不止一种解法，如果考生的解法与此不同，可参照评分标准给分。

为了便于掌握评分标准，给出的解题过程比较详细，考生只要写明主要过程即可。

第I卷（选择题 48分）

一. （共16个小题，每小题3分，共48分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

1. C 2. B 3. A 4. D 5. A 6. B 7. D 8. C

9. C 10. A 11. B 12. D 13. C 14. B 15. A 16. D

第II卷（非选择题 52分）

二. 填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）

17. 18. 19.

20. 有一个角是直角或对角线相等。

三. （共2个小题，共9分）

21. （本小题满分4分）

分解因式：

解： （2分）

（3分）

（4分）

22. （本小题满分5分）

计算：

解： （2分）

（3分）

（4分）

（5分）

四. （本题满分5分）

23. 已知：如图，在平形四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。

求证：DE=BF。

证明： 四边形ABCD是平行四边形

（2分）

（3分）

在 和 中，

（4分）

（5分）

五. （本题满分6分）

24. 用换元法解方程

解：设 ，则 （1分）

原方程可化为 （2分）

（3分）

当 时，

， 此方程无实数根（4分）

当 时，

解得 （5分）

经检验， 都是原方程的根。

原方程的根是 （6分）

六. （本题满分6分）

25. 如图，在 中， ， ，点D在BC边上，且 ， ，求 的正切值。

解法一：

过D点作 ，交AB于E点

在 中， ，

（1分）

在 中， ，

设 ，则

根据勾股定理，得BC=8（2分）

（3分）

在 中， ，

（4分）

根据勾股定理，得

（5分）

（6分）

解法二：过B点作 交AD的延长线于F点，

同解法一得，BD=2（3分）

在 中， ，

根据勾股定理，得 （4分）

在 中，根据勾股定理，得

（5分）

（6分）

七. （本题满分7分）

26. 甲、乙两名工人接受相同数量的生产任务。开始时，乙比甲每天少做4件，乙比甲多用2天时间，这样甲、乙两人各剩120件；随后，乙改进了生产技术，每天比原来多做6件，而甲每天的工作量不变，结果两人完成全部生产任务所用时间相同。求原来甲、乙两人每天各做多少件？

解：设原来甲每天做x件，则乙每天做 件，

改进生产技术后，乙每天做 件（1分）

根据题意，得 （4分）

解这个方程，得 （5分）

经检验， 都是原方程的解，但 不合题意，舍去。

（6分）

答：原来甲每天做10件，乙每天做6件。（7分）

八. （本题满分7分）

27. 已知：把矩形AOBC放入直角坐标系xOy中，使OB、OA分别落在x轴、y轴上，点A的坐标为 ，连结AB， ，将 沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，AD交x轴于点E。

（1）求D点坐标；

（2）求经过点A、D的直线的解析式。

解：根据题意，可分以下两种情况：

第一种情况矩形在第一象限，如图，

（1） ，

又 ，

过点D作y轴的垂线，垂足为F，

，

点D的坐标为 （2分）

（2）设经过点 的直线的解析式为 ，

解得

经过点A、D的直线的解析式为 （4分）

第二种情况矩形在第二象限，（图略）

（1）由第一种情况，根据对称性得，点D的坐标为 （5分）

（2）设经过点 、 的直线的解析式为 ，

解得

经过点A、D的直线的解析式为 （7分）

2007年全国初中数学竞赛试题及答案
考试时间：2007年4月1日上午9：30—11：30
（温州市鹿城区临江中学 陈昆明 解答）
一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）
1．方程组 的实数解的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：选（A）。当x≥0时，则有y－|y|=6,无解；当x<0时，则y＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3.
2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
（A）14 （B）16 （C）18 （D）20
解：选（B）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种
3．已知 、 、 是三个互不相等的实数，且三个关于 的一元二次方程 ，
， 恰有一个公共实数根，则 的值为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解：选（D）。设这三条方程唯一公共实数根为t，则 ， ，
三式相加得： ，因为 ，所以有a+b+c=0,从而有 ，
所以 ＝ ＝
4．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相
交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经
过△ABC的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
解：选（B）。如图△ADE外接圆的圆心为点F，由题意知：⊙O与⊙F是等圆，
且弧DmE＝弧DnE，所以∠EAB＝∠ABE，∠DAC＝∠ACD，
即△ABE与△ACD都是等腰三角形。分别过点E，F作AB，AC边上的垂线，
相交于点H，则点H是△ABC的外心。又因为∠KHD＝∠ACD，
所以∠DHE+∠ACD＝∠DHE+∠KHD＝180°，即点H，D，C，E在同一个圆上，
也即点H在⊙O上，因而⊙O经过△ABC的外心。
5．方程 的整数解 ， 的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多
解：选（A）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．如图，点A，C都在函数 的图像上，点B，D都在 轴上，
且使得△OAB， △BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ．
解：填 。设OB＝2a，BD＝2b，由△OAB，△BCD都是等边三角形，得
，把点A，C坐标代入 ，解得： ，
即
7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．
解：填4。
连结OP，OB，则所求面积之差的绝对值＝ ＝2×2×2÷2＝4。
8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ，则 ．
解：填6。如图：∠A+∠E+∠F＝360°-∠α，∠B+∠C+∠G=360°-∠β，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（360°-∠α）+（360°-∠β）+∠D
＝540°＝
9．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数
的图像与线段AB只有一个交点，则 的取值范围是 ．
解：填
（1）若图像的顶点在AB上，则有 解得：
（2）若图像的顶点在x轴下方，则有 或
分别解之，得 综上，得：
10．已知对于任意正整数 ，都有 ，则 ．
解：填 。由 及 得
所以 ，于是
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
11．已知抛物线 ： 和抛物线 ： 相交于A，B两点．点P在抛物线 上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线 上，也位于点A和点B之间．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ‖ 轴时，求PQ长度的最大值．
解：（1）由 解得
不妨设点A在点B的左侧，则A（-2，6），B（2，-6）
所以
（2）设P（a,b），则-2≤a≤2， ，
因为PQ‖y轴，所以点Q的横坐标为a，则
所以PQ＝ ＝
即当a＝0（属于-2≤a≤2）时，PQ的最大值为8。
12．已知 ， 都是正整数，试问关于 的方程 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
解：假设方程 有两个整数解为 ，
由 知 ，
下证（1）
事实上，若 ，则 ， ，
即 ，因a，b为正整数,所以ab＝1，2，3或4，
易知不存在a，b的值满足
（2）不妨设
则 ，即 ，
所以有 ，因 是正整数，故
把 代入原方程得， 即 ，也即
所以 ，因a,b都是正整数，
则 解得：
由 得
综上，存在正整数a＝1，b=3或a=3，b=1，使得
方程 有两个整数解为 。
13．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足 ．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．
求证：
（1） ；
（2）△PAB∽△PDC．
证明：（1）连结PG，PE，PF，
四边形PGED和四边形PGFC都内接于圆

（2）

14．（1）是否存在正整数 ， ，使得 ？
（2）设 是给定的正整数，是否存在正整数 ， ，使得 ？
解：（1）由 得：
又因为当n为正整数时， ，所以 不是完全平方数，即m+1不是正整数，故不存在正整数 ， ，使得
(2)当k=3时，由 得： ，
若关于m的方程有正整数解，则 （ 为正整数），
即
所以 ，
解得： 所以不存在正整数 ， ，使得 。
当 时，①若 ，代入 。整理得
设 （ 为正整数）
即
令 ，解得 ，此时
②若 ，代入 。整理得
设 （ 为正整数）
即
令 ，解得 ，
此时 并且m，n的值都是正整数。
综上，当 时，不存在正整数 ， ，使得 ；
当 时，存在正整数 ，使得 ；
当 时，存在正整数 ，使得 。

在三角形ABC中,AD垂直BC于D,AB+BD=CD.求证角B=2角C

证明:在DC上截取DE=DB,连接AE
在三角形ABD和三角形AED中
AD为公共边
BD=ED
角ADB=角ADE=90度
所以三角形ABD全等于三角形AED
所以AB=AE,角B=角AED,BD=ED
又DC=AB+BD=AB+ED=ED+EC
所以AB=EC=AE,角C=角EAC
所以角B=角AED=角EAC+角C=2角C

没固定题目的，要不怎么叫数学，靠着没什么意思。

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郏县17856673703： 2007年全国初中数学联合竞赛试题？
习夏感冒： 先由1000≤100a+6≤9999,1000≤201a+64≤9999,a为整数知5≤a≤48设X,Y为整数,令X^2=100a+6,Y^2=201a+64.则1000≤X^2由上两等式可得a=Y^2-2X^2-52由a约束条件知57≤Y^2-2X^2≤100,可知2X^2+57≤Y^2≤2X^2+100.由Y^2约束条件知2X^2+571000,知可知X∈[32,70].又Y^2≥2X^2+57,依题意要取Y>0,X>0,则Y>√2X.则Y>45Y^2≤2X^2+100 所以a=Y^2-2X^2+52 (X∈[32,70],Y∈(√2X,√2(X+1)),且X,Y为整数) 开头a范围写错了,应该是10≤a≤48

郏县17856673703： 求初中全国数学奥赛试卷(题)!？
习夏感冒：http://www.zxxk.com/Channel_13/SoftShow.asp?SoftID=7848 http://www.352227.com/lxsj/list.asp?classid=92

郏县17856673703： 求2007年全国初中数学奥林匹克竞赛题答案!!急!!？
习夏感冒：http://www.zjsxzx.com/tresearch/resource/servlet/portalbar/ShowResAttribute?communityId=00013&resId=20070510200034573#

郏县17856673703： 2007初三数学竞赛试题(山东赛区) - ？
习夏感冒： 2008年全国初中数学竞赛山东赛区 预赛暨2007年山东省初中数学竞赛试题 一、选择题(本题共8小题,每小题6分,满分48分):下面各题给出的选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的代号填在题后的括号内. 1.已知函数y = x2 + 1– x ,...

郏县17856673703： 哪有现成的初三数理化奥赛试题 ？
习夏感冒： 2007年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题2006年12月3日一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.已知一次函数y = ax b的图象经过一、二、三象限...

郏县17856673703： 2007年四川省初中数学联赛(初二组)决赛试题: 使m^2+m+7为完全平方数的正整数m的个数为?？
习夏感冒： 1.设m^2+m+7=k^2,此关于m的二次方程之判别式应为整数,于是可设 1-4(7-k^2)=t^2 或书 4k^2-27=t^2 从而 (2k-t)(2k+t)=27 由于27仅可分解为1*27或3*9,解下面的一次方程组 2k-t=1, 或 2k-t=3, 2k+t=27; 2k+t=9; 得 k=7,t=13或k=3,t=3 于是 m=1或m=6.

郏县17856673703： 2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题的最后一题 - ？
习夏感冒： 解:(1)设,…,是1,2,3,…,2008中任意取出的1007个数. 首先,将1,2,3,…,2008分成1004对,每对数的和为2009,每对数记作(m,2009-m) ,其中m=1,2,3,…,1004. 因为2008个数取出1007个数后还余1001个数,所以至少有一个数是1001个...

郏县17856673703： 2007年全国初中数学竞赛试题(2007年4月1日上午)初赛？
习夏感冒： http://www.google.com.hk/search?client=aff-cs-360se&ie=UTF-8&q=2007%E5%B9%B4%E5%85%A8%E5%9B%BD%E5%88%9D%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%AB%9E%E8%B5%9B%E8%AF%95%E9%A2%98%EF%BC%882007%E5%B9%B44%E6%9C%881%E6%97%A5%E4%B8%8A%E5%8D%88%EF%BC%89%E5%88%9D%E8%B5%9B

郏县17856673703： 2007第18届希望杯全国数学竞赛初二决赛试题？
习夏感冒： 天干与地支的个数的最小公倍数为60,甲处位置为1,11,21,31,41,51,亥所处的位置为12,24,36,48,60,即甲与亥根本对应不上,农历纪年没有甲亥年.选(D)

郏县17856673703： 2007年北京市初二数学竞赛试题填空题第三题？
习夏感冒： 过Q作QD平行且等于BC,连接CD、PD,可以证明BCDQ为菱形,三角形APQ与三角形CDP全等,则角CPD=角CPD=角A=角AQP,三角形QPD为等边三角形,所以角QPD=60,这样就可以求出角∠PCQ=30