在区间（0，1）上，求e的x乘以圆周率的次方乘以cosx乘以圆周率的定积分

求在区间［-1,1]上随机取一个数x，cos兀x的值介于0到1之间的概率是多少？（兀指圆周率）~

X∈[-1,1]，πx∈[-π，π]，原题即变为在[-π，π]上余弦函数取到0到1之间的概率，根据几何概率，为1/2

解：设x=πt，a=-jw/π，则dt=(1/π)dx，x∈[0,π]，　　∴∫(0,1)sin(πt)e^(-jwt)dt=(1/π)∫(0,π)sinxe^(ax)dx。　　而∫sinxe^(ax)dx=(1/a)∫sinxd[e^(ax)]=(1/a)sinxe^(ax)-(1/a^2)∫cosxd[e^(ax)]=(1/a)sinxe^(ax)-(1/a^2)cosxe^(ax)-(1/a^2)∫sinxe^(ax)dx，　　∴∫sinxe^(ax)dx=[(asinx-cosx)e^(ax)]/(a^2+1)+C。　　∴∫(0,1)sin(πt)e^(-jwt)dt=(1/π)[(asinx-cosx)e^(ax)]/(a^2+1)丨(x=0,π)=(1/π)[e^(aπ)+1]/(a^2+1)。其中，a=-jw/π。供参考。

分部积分计算不定积分k=∫ e^(πx)*cos(πx) dx
kπ=∫ e^(πx)*cos(πx) d(πx)
=∫ e^t*cost dt
=∫ cost d(e^t)
=e^t*cost-∫ e^t d(cost)
=e^t*cost+∫ sint d(e^t)
=e^t*cost+e^t*sint-∫ e^t d(sint)
=(cost+sint)*e^t-∫ e^t*cost dt
=(cost+sint)*e^t-kπ
所以：
2kπ=(cost+sint)*(e^t)=(sinπx+cosπx)*e^(πx)
所以：
k=∫ e^(πx)*cos(πx) dx=(sinπx+cosπx)*[e^(πx)]/(2π)
因为：0<=x<=1
所以：

k=(sinπ+cosπ)*(e^π)/(2π) -( 0+1)*(e^0) /(2π)
=(e^π-1)/(2π)
所以：
定积分(0→`1) ∫ e^(πx)*cos(πx) dx=(e^π-1)/(2π)

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翠屏区13772832955： 在区间(0,1)上,求e的x乘以圆周率的次方乘以cosx乘以圆周率的定积分 - ？
脂翟阿米： 分部积分计算不定积分k=∫ e^(πx)*cos(πx) dx kπ=∫ e^(πx)*cos(πx) d(πx) =∫ e^t*cost dt =∫ cost d(e^t) =e^t*cost-∫ e^t d(cost) =e^t*cost+∫ sint d(e^t) =e^t*cost+e^t*sint-∫ e^t d(sint) =(cost+sint)*e^t-∫ e^t*cost dt =(cost+sint)*e^t-kπ 所以: 2kπ=(cost+sint)*...

翠屏区13772832955： 已知C服从区间[0,1]上的均匀分布,求y=e^x的概率密度函数 - ？
脂翟阿米： 0<=x<=11<=y<=e F(a<y<b)=F(a<e^x<b)=F(lna<x<lnb)=lnb-lna=F(b)-F(a) 对任意a,b属于 [1,e]都成立 所以 概率分布函数F(y)=lny 概率密度函数f(y)=F'(y)=1/y1<=y<=e

翠屏区13772832955： e的x次方乘以x求积分,区间在(0,1)上的值 望高手指教 - ？
脂翟阿米： x·e^x 其微分是分成x,e^x两部分,用积分乘法性质就可以得到了 dxe^x =(e^x +xe^x)dx =(x+1)e^xdx.

翠屏区13772832955： 已知函数f(x)=e^x+2x^2 - 3x.求证函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点 - ？
脂翟阿米： f(x)=e^x+2x^2-3x f'(x)=e^x+4x-3 f'(0)=-20,f''(x)=e^x+4>0,故f'(x)=0在区间[0,1]上必有唯一一根x0∈[0,1],而f''(x)=e^x+4>0,故f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点.

翠屏区13772832955： 求曲线所围成的图形,按指定的轴旋转产生的的旋转体y=e^x,x=0,x=1,y=0 绕x轴 - ？
脂翟阿米：[答案] 曲线y=e^x 绕x轴旋转所得几何体的截面是一个半径为e^x的圆,相应的截面面积为[π(e^x)^2],于是所求旋转体的体积是 V=π*{函数(e^x)^2在区间[0,1]上的定积分}=(1/2)π*[(e^x)^2]|在1、0处的函数值之差=(1/2)π(e^2-1)

翠屏区13772832955： e的x次方乘以x求积分,区间在(0,1)上的值 望高手指教？
脂翟阿米： ∫(0,1)[x(e^x)]dx =∫(0,1)xd(e^x) =(xe^x)(0,1)-∫(0,1)(e^x)dx =e-(e^x)(0,1) =e-[e-1] =1

翠屏区13772832955： 已知C服从区间[0,1]上的均匀分布,求y=e^x的概率密度函数已知x服从区间[0,1]上的均匀分布,求y=e^x的概率密度函数 - ？
脂翟阿米：[答案] 01F(a对任意a,b属于 [1,e]都成立 所以 概率分布函数F(y)=lny 概率密度函数f(y)=F'(y)=1/y 1解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答

翠屏区13772832955： 证明:函数f(x)=e的2x次方 - e在区间[0,1]上满足连续零点定理条件.并求出使得f(ξ)=0的点ξ属于(0,1). - ？
脂翟阿米： f(0) = 1 - e0; 又f(x)在区间[0, 1]上连续,所以函数f(x)在区间[0,1]上满足连续零点定理条件 令f(x) = 0; 则 e^(2x) = e 因为e^x 是严格单调递增函数 所以 2x = 1; x = 0.5 所以 ξ = 0.5

翠屏区13772832955： 证明:函数f(x)=e的2x次方 - e在区间[0,1]上满足连续零点定理条件.并求出使得f(ξ)=0的点ξ属于(0,1). - ？
脂翟阿米：[答案] f(0) = 1 - e 0; 又f(x)在区间[0,1]上连续,所以函数f(x)在区间[0,1]上满足连续零点定理条件 令f(x) = 0; 则 e^(2x) = e 因为e^x 是严格单调递增函数 所以 2x = 1; x = 0.5 所以 ξ = 0.5

翠屏区13772832955： 设函数f(x)=x^2+ax - lnx 令g(x)=f(x)/e^x,若函数g(x)在区间(0,1] - ？
脂翟阿米： g(x)在区间(0,1]上是减函数 ,g'(x)=[f'(x)-f(x)]/e^x0,f'(x)-f(x)=2x+a-1/x-x^2-ax+lnxx=1时①成立,0h(1-)→-(2x-2-1/x^2-1/x)→2,∴a反过来,易知,lnxa=1+x-x^2-1/x=[x(1+x)-(x^3+1)]/x=(x+1)[x-(x^2-x+1)]/x=-[(x+1)(x-1)^2]/x即①成立,∴a的取值范围是(-∞,2].