正整数开根号写成连分数是否都是循环的？譬如sqrt(3)=[1;1,2,1,2,1,2,...,1

考研数学（数学一）考什么？~

数一：高等数学、线性代数、概率论与数理统计。数二：高等数学、线性代数。数三：微积分、线性代数、概率论与数理统计。

1、难易程度不同
人教版高中数学A版要比B版简单一些。B版除了内容比A版多而难以外，B版的练习题，尤其是B版的B组练习题，难度非常大。
2、编辑模块不同
A版是传统的运用公理定理做辅助线等几何方式来解立体几何题的。
B版属于新设内容，也就是沿袭高一下册平面向量部分的知识，用空间向量的方法和概念来解立体几何题，将几何问题代数化计算求解。

3、实行的地区不同
A版B版是分“地区”进行区分的，也就是地区相同一般都是用一个版的教材。
4、侧重点不同：
B版比A版更全面注重揭示概念的本质，提高数学素养。所以适合对数学有兴趣的学生，而A版教材适用于自学者或者对高中数学要求没有那么高的学生。比如同样是立体几何，A版注重空间想象思维考查，B版则着重考查概念的延伸。
学习数学的方法：
学数学最重要的就是解题能力。要想会做数学题目，就要有大量的练习积累，知道各类型题目的解题步骤与方法，题目做多了就有手感了，再拿出类似的题目才会有解题思路。
其次是学会预习。解题思路不是直接就有的，也并非通过做几道简单的题目就能轻易获得，而是在预习过程中不断积累出来的。因此，预习在数学学习过程中起到了非常重要的作用。预习一方面能够让大家提前对数学知识有所了解，另一方面能够培养数学独立学习能力。
学数学必须多做题。理解了数学基本定义和知识点以后，就需要通过做对应习题去巩固知识，多做多练才能更好地掌握所学知识，学数学也是看花容易绣花难的，只有真正动手去做题、经历了实操过程能学会。

非平方正整数开平方根(二次根号)，写成连分数是否都是循环的？
答：是的。
证：设sqrt(n)=y=m+x, 其中m=int(sqrt(n))，这里int表示取整数部分，有时也用[]或┌　┐
表示。
于是
n=yy,xx+2mx=yy-mm=n-mm，即x(x+2m)=n-mm
于是x+2m=(n-mm)/x
于是1/x=(2m+x)/(n-mm)=...
……

上面的过程还不够完善。请参考下面的例1，看看如何严格化。

注意，平方整数开平方是整数，这是特殊情况。
备考：循环连分数的值能为整数的例子，广义连分数，见例2。

例1：
题：将根号30化为连分数
解：设√(30)=y=5+x
于是xx+10x=5，于是x+10=5/x，
于是1/x=2+x/5=2+1/(x+10)=2+1/(10+1/(1/x))
由此迭代，可构成循环连分数。
即√(30)=5+1/{2+1/(10+1/{})}
我将它写成：√(30)=[5;(2,10)]，其中(2,10)是循环节。
这里得到的是标准连分数形式。

使用广义连分数的话，还可以如下：

设√(30)=y=5+x
于是(y-5)=5/(5+y)
于是y=5+5/(5+y)
由此迭代得到：
√(30)=[5;(5：10)]=5+5/{10+5/(10+5/{})}

注：

这里说的广义连分数[Z；A1:B1,A2:B2,...]=
Z+A1/(B1+A2/(B2+A3/(B3+...))),其中Z,Ai,Bi为整数，可以为负整数。
当Ai限定为1,Bi限定为正整数时即普通连分数，记作[Z；B1,B2,...]
以上答题过程中，对循环节使用()表示。
外一则：
e=[2；1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...]
e=[1; 1:1, -1:3, -2:4, -3:5, -4:5, -5:6, ...]
e=[1; 1:1, 1:6, 1:10, 1:14, ..., 1:(2n+1), ...]
e^x=[1; x:1, -x:x+2, -2x:x+3, -3x:x+4, ...]
e^(2m/n)=[1; 2m:n-m, mm:3n, mm:5n, mm:7n, ...]

pi/4=[0；1:1, 1:2, 9:2, 25:2, ... , n^2:2, ...]=[0; 1:1, 1:3, 4:5, 9:7, 16:9, 25:11, …, nn:(2n+1), ..., ]
pi=[0；4:1, 1:2, 9:2, 25:2, ... , n^2:2, ...]=[0; 4:1, 1:3, 4:5, 9:7, 16:9, 25:11, …, nn:(2n+1), ..., ]
pi=[3; 1:6, 9:6, 25:6, ... , (2n+1)^2 : 6, ..., ]

例2：
题：连分数x=[2; (2: 1)]=2+2/(1+2/(1+2/(1+...)))，求x值。
注：上面的表示法是广义连分数。并且，[2; (2,1)]为循环连分数，()内为循环节。
解：
易见x=2+2/(x-1)
即x(x-1)=2x，即x=0或3.易见x=0不合题意，故x=3.

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石渠县15969382116： 正整数开根号写成连分数是否都是循环的?譬如sqrt(3)=[1;1,2,1,2,1,2,...,1,2,...] 如果可以请简单证明一下 - ？
依希安素：[答案] 非平方正整数开平方根(二次根号),写成连分数是否都是循环的?答:是的.证:设sqrt(n)=y=m+x,其中m=int(sqrt(n)),这里int表示取整数部分,有时也用[]或┌ ┐ 表示.于是 n=yy,xx+2mx=yy-mm=n-mm,即x(x+2m)=n-mm 于是x+2...

石渠县15969382116： 是不是任何一个正整数开根号都是有理数啊? - ？
依希安素： 肯定不是啊 这和 正负没关系,而且很多都是循环小数的无理数,比有理数多

石渠县15969382116： 连分数是指分母相连的分数吗,急急急 - ？
依希安素： 连分数叫做有限连分数.常简记为【α0,α1,…,αn】.当α0是整数、α1,…,αn是正整数时,则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α0,α1,…】称为无限简单连分数.通常连分数 叫做有限连分数.常简记为【α0,α1,…,αn】.当α0是整数、α1,…,αn是...

石渠县15969382116： 一个正整数开正整数次方后是否可能既不是无理数也不是整数(即是有限小数或无限循环小数)...？
依希安素： 不能. 证明:如果能,设开方后数为P/Q (P,Q)=1 则(P/Q)^M=P^M/Q^M (M∈整数) 而(P^M,Q^M)=1 所以(P/Q)^M不可能是整数. 证毕.

石渠县15969382116： 有没有一个整数的平方根是无限循环小数 - ？
依希安素： 没有的 ,因为无限循环小数可以写成分数的形式,分数的平方还是分数,不会是整数 所以没有一个整数的平方根是无限循环小数

石渠县15969382116： 分数是有理数吗? - ？
依希安素： 凡是整数和分数,一定是有理数.也就是说有理数包括两种:整数和分数.无理数也包括两种:无限不循环小数和开根开不尽的数,例如π,和根号二.楼主提问的分数是有理数吗,回答一定是肯定的,分数一定是有理数,原因很简单,就是把分数化成小数的话,只有2种结果,也就是有限小数(例如1/2可以化成0.5)或者是无限循环小数(例如1/3可以化成0.3,3的循环).其他分数也一定是这样的,所以分数不是无限不循环小数,也就不是无理数,而是有理数.

石渠县15969382116： 整数和分数统称有理数.带根号的分数例外吗? - ？
依希安素： 也不完全是,比如根号4,它等于2,这就是有理数;根号3,它开平方后是无限不循环小数,它就是无理数.总之,看它开方后是无限不循环小数还是整数,有限小数,无限循环小数.前者为无理数,后者为有理数.

石渠县15969382116： 怎么判断带根号的数是有理数还是无理数 - ？
依希安素： 想判断是无理数还是有理数,只需要看根号下的那个数字,是否为一个数的平方. 例如:根号九下的数字为9,9为3的平方,则是有理数; 根号三下的数字为3,3不是任何一个数字的平方,则是无理数. 无理数常见的无理数有非完全平方数的平方...

石渠县15969382116： 有理数和无理数,哪个是循环,哪个是不循环?？
依希安素： 无理数一定是无限 不循环小数;有理数包括整数、分数,其中分数又包括一不是无限的小数(例如1/2)和无限循环的小数(例如1/3)

石渠县15969382116： 所有的小数都能写成分说形式,这句话对吗?还有有公式吗? - ？
依希安素： 错的,无限不循环小数不能写成分数.有限小数化分数,很简单了!无限循环小数怎样化为分数?公式 第一种: 这个公式必须将循环节的开头放在十分位.若不是可将原数乘10^x(x为正整数) 就为:12.121212……-0.121212……=12 100倍 - 1倍...