当λ 取何值时,线性方程组{ X1+x2+x3=1 2x1+x2-4x3= λ -x1+5x3=1}有解?并求一般解
解：其增广矩阵如下：
1 1 1 1
0 5 1 1
3 -2 -2 入
做初等行变换：
1 1 1 1
0 5 1 1
0 0 0 入-2
∴要有解，入=2
解出来x1=4/5-4x3/5
x2=1/5-x3/5
其特解是x0=(4/5,1/5,0)，其导出组的解a=(-4/5,-1/5,1)
所以通解是x=x0+ka，k∈R。
λx1+x2+x3=λ-3-------------------------(1)
x1+λx2+x3=-2--------------------------(2)
x1+x2+λx3=-2--------------------------(3)
(1)-λ*(2),
x2-λ^2 x2+x3-λx3=λ-3-2λ---------------(4)
(1)-λ*(3)
x2-λ x2+x3-λ^2x3=λ-3-2λ---------------(5)
从(4),
x2(1-λ^2)+x3(1-λ)=x2(1-λ)(1+λ)+x3(1-λ)=-3-λ-----------(6)
从(5),
x2(1-λ)+x3(1-λ^2)=-3-λ--------------------------------(7)
从(6),(7),
x3(1-λ)[1+(1+λ)^2]=-(λ+3)(1+λ)
设λ≠1,
x3=-(λ+3)(1+λ)/{(1-λ)[2+2λ+λ^2]}----------------(8)
从(5),(8)
x2=[-3-λ-x3(1-λ^2)]/(1-λ)----------------------------(9)
从(2),(8),(9),
x1=-λx2-x3-2---------------------------------------------(10)
方程组通解:(8),(9),(10)
考虑有唯一解:
系数行列式H=
|λ 1 1|
|1 λ 1|
|1 1 λ|
=(λ+2)(λ-1)^2。
∴λ≠-2且λ≠1时，方程组有唯一解。
λ=-2时，三个方程相加(1)+(2)+(3)得0=-5-2-2，矛盾，方程组无解。
λ=1时，三个方程相同，(1)=(2)=(3),都是x1+x2+x3=-2，方程组有无穷多解。
方程1加方程2得到2x1-3x2+x3+5x4=5，所以当且仅当λ=3时方程有解。
然后相当于解线性方程组，对应齐次线性方程组的解是R*(1 1 1 0)'+R(2 3 0 1)'，特解是(2 0 1 0)'
所以解的一般表达是(2 0 1 0)' +a*(1 1 1 0)'+b*(2 3 0 1)'。其中a，b是任意实数。R表示实数集 ' 表示转置。
线性方程组解法
克莱姆法则.用克莱姆法则求解方程组 有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。
用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。
秋翠安得： n元线性方程组Ax=b,1有唯一解的充分必要条件为R(A)=R(A,b)=n2有无限多解的充要条件是R(A)=R(A,b)<n 先列出矩阵,然后把它变为行阶梯形矩阵 ,可判断出1或2两种情况
阎良区13528927037： λ取何值时,非齐次线性方程组{λx1+x2+x3=1,x1+λx2+x3=λ,x1+x2+λx3=λ^2}有唯一解,无解,有无穷多解 - ？
秋翠安得： 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等时,有解 秩相等,且都小于3时,有无穷多组解 秩相等,且都是3时,有唯一解 秩不相等(此时系数矩阵行列式等于0,且系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩)时,无解
阎良区13528927037： λ取何值时,线性方程组 λ1x1+x2+x3=λ - 3 x1+λx2+x3= - 2 x1+x2+λx3= - 2 无解,有唯一解,有无穷解, - ？
秋翠安得： |λ|因为系数矩阵是方阵,先考虑有唯一解的时候,系数行列式D= |λ 1 1| |1 λ 1| |1 1 λ| =(λ+2)(λ-1)^2. 所以,λ≠-2且λ≠1时,方程组有唯一解. λ=-2时,三个方程相加得0=-5-2-2,是矛盾方程,所以方程组无解. λ=1时,三个方程相同,都是x1+x2+x3=-2,所以方程组有无穷多解.
阎良区13528927037： 28. 设3元线性方程组 , (1)确定当λ取何值时,方程组有惟一解、无解、有无穷多解? (2)当方程组有无 - ？
秋翠安得： 系数矩阵的行列式 |A|= 2 λ -1 λ -1 1 4 5 -5 = 5λ^2 - λ - 4 = (5λ + 4)(λ - 1) 所以当λ≠1且λ≠-4/5时, 方程组有唯一解. 当λ=1时, 增广矩阵= 2 1 -1 1 1 -1 1 2 4 5 -5 -1 --> 1 0 0 1 0 1 -1 -1 0 0 0 0 此时方程组有无穷多解: (1,-1,0)^T+c(0,1,1)^T. 当λ=...
阎良区13528927037： 问λ取何值时,齐次线性方程组{ (5 - λ)x1+2x2+2x3=0; 2x1+(6 - λ)x2=0; - ？
秋翠安得： 系数行列式5-λ 2 22 6-λ 02 0 4-λ= (4-λ)(5-λ)(6-λ)-4(6-λ)-4(4-λ) --直接对角线法则得= (4-λ)(5-λ)(6-λ)-4(10-2λ) --后两项合并得因子(5-λ)= (4-λ)(5-λ)(6-λ)-8(5-λ)= (5-λ)[(4-λ)(6-λ)-8]= (5-λ)[λ^2-10λ+16] -- 十字相乘法分解= (5-λ)(2-λ)(8-λ) 注: 这个计算比较特殊, 不能用行列式的性质化简提出λ的因子 所以 λ 等于2 或 5 或 8 时, 方程组有非零解
阎良区13528927037： 线性代数,求详细解答过程.十分感谢.λ取何值时,非齐次线性方程组{λx1+x2+x3=1 {x1+ - ？
秋翠安得： 解: 系数行列式|A| = (λ+2)(λ-1)^2. 所以当 λ≠1 且 λ≠-2 时方程组有唯一解. 当λ=1时,方程组有无穷多解: (1,0,0)'+c1(-1,1,0)'+c2(-1,0,1)'. 当λ=-2时, 方程组无解.答题不易,请及时采纳,谢谢!
阎良区13528927037： 一道高等数学题,线性代数当λ为何值时,方程组 / λx1+x2+x3=1 ①有唯一解 ②无解 ③有无穷多个解| x1+λx2+x3=λ\ x1+x2+λx3=λ² - ？
秋翠安得：[答案] (2+λ)(x1+x2+x3)=(1+λ+λ^2) 1)λ≠-2,λ≠1,唯一解 2)λ=-2,无解 3)λ=1无穷多个解
阎良区13528927037： 当λ 取何值时,下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解?有解时,求其解.要过程的啊 - ？
秋翠安得： 先算系数行列式: 2 -1 3 3 -4 7 1 -2 a =5+10-5a =15-5a, a≠3时有唯一解(0,0,0); a=3时系数行列式变为 2 -1 3 3 -4 7 1 -2 3,分别把第三行的-2、-3倍加到第一、二行,得 0 3 -3 0 2 -2 1 -2 3 解得x2=x3=t,x1=-t,其中t是任意数.
阎良区13528927037： 当λ为何值时,线性方程组有解,并写出一般解! - ？
秋翠安得： λ=9时方程组才有一般解,其基础解系为(1,0,-1/5,0)和(1,-1,0,0)所以线性方程组的一般解为C1*(1,0,-1/5,0)+C2*(1,-1,0,0).
阎良区13528927037： λ取何值时,线性方程组 有唯一解. - ？
秋翠安得：[答案] ①②两式消去x2得x1-λ²x3=0⑤,③④两式消去x4得λ²x1-x3=0⑥联立⑤⑥消去x2得到(λ^4-1)x1=-(1+λ)即(λ²+1)(λ﹢1﹚﹙λ﹣1)=-(1+λ)(λ≠0﹚⑦(1)λ=0时有唯一解,x1=1,x2=-1,x3=x4=0 当λ...
