求xln（1/x）在x属于[0,1]范围内积分的详细步骤及结果，（结果是1/4，别错了哦）

请问积分∫xln(1+e^x)dx怎么求啊？积分区间是-1到1，要过程的。。~

你好！

注意到积分区间是对称的，而且函数ln(1+e^x)比较特殊
所以用构造奇函数、偶函数的方法做就很简单了。

详解如图：
http://hi.baidu.com/wusongsha0926/album/item/4e7958850a987fa59023d944.html

如有疑问可追问

如图：

∫[0,1]xln(1/x)dx
=-∫[0,1]xlnxdx
=-(1/2)∫[0,1]lnxd(x^2)
=-(1/2)(x^2lnx)|[0,1]+(1/2)∫[0,1]x^2d(lnx)
=0+(1/2)∫[0,1]x^2*1/xdx（前一个值要求极限，lim(x→0)x^2lnx=0）
=0+(1/2)∫[0,1]xdx
=(1/4)(x^2)|[0,1]
=1/4

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延平区13685169241： xln(1+x - ？
荤态六味： 这是一道积分题吧?!其实可以采用凑微分的方法(积分号打不出来,先用f 来代替,请自行补上)f xln(1+x

延平区13685169241： 求f(x)=xln(1 - x)在x=0处的2013阶导数 - ？
荤态六味： f(x) = xln(1-x), 定义域 x<1. f'(x) = ln(1-x) +x/(x-1) = ln(1-x) +1+1/(x-1) f''(x) = -1/(1-x) - 1/(x-1)^2 = 1/(x-1) - 1/(x-1)^2,f'''(x) = -1/(x-1)^2+1*2/(x-1)^3,f^(4)(x) = 1*2/(x-1)^3 - 1*2*3/(x-1)^4,........................f^(n)(x) = (-1)^n [(n-2)!/(x-1)^(n-1)-(n-1)!/(x-1)^n] (n≥2) f^(...

延平区13685169241： 已知曲线y=fx过点0,1\2,且其上任一点(x,y)处的切线的斜率为xln(1+x^2),求fx - ？
荤态六味： 答: 即f'(x)=xln(1+x²) 所以f(x)=∫xln(1+x²)dx =x²ln(1+x²)/2-∫x³/(1+x²)dx =x²ln(1+x²)/2-∫(x³+x-x)/(1+x²)dx =x²ln(1+x²)/2-∫x-x/(1+x²) dx =x²ln(1+x²)/2-x²/2+ln(1+x²)/2 + C =(x²+1)ln(1+x²)/2-x²/2 + C 因为y=f(x)过(0,1/2) 所以1/2=(0+1)ln(1+0)/2-0/2+C,即C=1/2 所以f(x)=(1+x²)ln(1+x²)/2+(1-x²)/2

延平区13685169241： 函数y=xln(1 - x)的定义域为------ - ？
荤态六味： 要使原函数有意义,则 x≥0 1?x>0 解得:0≤x所以原函数的定义域[0,1). 故答案为[0,1).

延平区13685169241： y=1/x在(x属于R,x不等于0)上是减函数吗 - ？
荤态六味： 严格说,y=1/x 在(x 属于 R,x 不等于 0) 上是分段减函数.实际上,y=1/x 分别在 x < 0 和 x > 0 上是减函数.

延平区13685169241： 证明 xln[(1+x)/(1 - x)]+cos x大或者等于 1+(x^2)/2 当( - 1<x<1) - ？
荤态六味： 我有一种方法,但是比较麻烦.你可以参考一下. 令g(x)= xln[(1+x)/(1-x)]+cos x-1-(x^2)/2 则g'(x)=ln(1+x)+x/(1+x)-ln(1-x)+x/(1-x)-sinx-x 又g''(x)=1/(1+x)+(1+x-x)/(1+x)^2+1/(1-x)+(1-x+x)/(1-x)^2-cosx-1 从g''(x)可以看出,当x在(-1<x<1), g''(x)...

延平区13685169241： y=3x,x∈[1,2]的定义域 - ？
荤态六味： 根号下1-x,所以1-x≥0,即x≤12x^2-3x-2作分母,所以2x^2-3x-2≠0yc即x≠2且x≠-1&#47;2综上,x≤1且x≠-1&#47;2所以定义域为(-无穷,-1&#47;2)∪(-1&#47;2,1]

延平区13685169241： 已知曲线y=f(x)过点(0, - 1/2),且在其上任意点(x,y)处的切线斜率为xln(1+x²),则f(x)= - ？
荤态六味：[答案] 柳树临风 f(x)=∫xln(1+x^2)dx =1/2∫ln(1+x^2)d(1+x^2) =1/2*(1+x^2)[ln(1+x^2)-1]+C (C为积分常数) f(x)过点(0,-1/2), 以此点代入上式得,C=0. ∴f(x)=1/2*(1+x^2)[ln(1+x^2)-1].

延平区13685169241： 用间接展开法求下列函数在x=0处的泰勒级数 f(x)=ln[x+(1+x^2)^1/2] - ？
荤态六味： 参考http://zhidao.baidu.com/question/538153965.html?from=pubpage&msgtype=2

延平区13685169241： x趋向∞ 时求 x乘以√(1 - x)/(1+x) 的导数？
荤态六味： y=x*(1+x²)^(1&#47;2)+arcsinx=(1+x²)^(1&#47;2)+x*(1&#47;2)(2x)*(1+x²)^(-1&#47;2)+(1-x²)^(-1&#47;2)=(1+x²)^(1&#47;2)+x²*(1+x²)^(-1&#47;2)+(1-x²)^(-1&#47;2)=√(1+x²)+x²&#47;√(1+x²)+1&#47;√(1-x²)=(1+2x²)&#47;√(1+x²)+1&#47;√(1-x²)