请教一下极限与导数的“趋向”问题

关于导数与极限的关系问题，请教一下这样的题目如何去分析。麻烦给出解析，。~

要想在全国高中数学联赛中取得好成绩，基础知识要先扫掉，即一卷内容，所以说不论什么知识都自学了先，多学不会吃亏，而且有时恰恰是一个小知识点就能在一道题上发挥很大作用。要是能找到竞赛考纲的话可以参照上面自学，但我还是建议都学，高中就那点内容。





二卷的话很难学出水平来，真正厉害的都是从小就接触组合，数论等内容的。所以说如果是一般的学生的话，基本靠运气。做出一道是一道。





最后根据自己的实际合理分配两卷所付出的时间。一卷高分二卷再稍微做出些保证一等奖且相对容易。要进省队什么的，二卷至少答出两题以上。



补充：
具体到你说的问题上，这两个部分每个省份要求不一，但是应用很广，很多题都能用这两个工具解决。其实说白了，还是看你见过的题量有多广。

导数是针对函数而言的，而且必须是连续函数（也可以是分段函数），也就是说只有函数才有导数的感念，一阶导数在此时是函数的斜率。从上面的分析，如果是常熟函数，其导数就是0
而极限是指一个有序数列（有穷或者无穷）或者函数在自变量无限趋近于某一点时函数的值。
积分和微分区别和联系：
按几何讲：

曲线某点的导数就是该点切线的斜率，不指定某点就是斜率与x的关系式；

微分就是在某点处用切线的直线方程近似曲线方程的取值，不指定某点就是所有点满足的关系式；

定积分就是求曲线与x轴所夹的面积；

不定积分就是该面积满足的方程式。


按代数讲：

微分就是求导的过程，积分就是逆向求导




希望对你有帮助！

既然楼主这么感兴趣，我就多说一点吧。
首先这种思考精神值得鼓励。楼主比很多提问者强多了，很多提问者就问一个很简单的问题，还在标题里面加上“快快快~”之类的，就是求答案，估计是应付作业的。但是楼主不同，自己懂得思考问题。
不过有的确实没必要高中这么早就接触，比如导数公式是如何推导的这类技术问题……我就不细说这些技术问题，主要说思路。
楼主的问题大致总结为3个。
①极限的变量要趋近的那个数到底在定义域内还是定义域外？
②极限如何算出来（包括导数公式如何推导）？
③看到一个（复杂的）函数，如何求导？
下面一一说一下。

①就拿楼主说的例子来说吧，lim x→0 1/x=？你说从两个不同的方向趋近于0得到的不一样，一个正无穷一个负无穷。这个本来就没有极限，但不是楼主所说的原因。即使是y=1/|x|（取绝对值）当x→0时候还是没极限，因为不能落到一个特定的数上面。但是这种趋近于无穷大的过程和一般的没极限是不一样的，比如sin(1/x)在x→0的时候，它就在±1之间来回震荡，永远定不下来在哪里，这个和1/|x|在x→0的时候有本质区别。我们先介绍一下极限的定义问题，再回过头讨论这个问题。
楼主先要理解一个问题，lim(x→a) f(x)=b这个极限并不是x真的完完全全等于a了，因此a不一定在定义域内，这是自然的。所有的极限表达式其实说的都是一个“本领”，比如lim(x→a) f(x)=b说的是“f(x)这个函数，它有一种通过让x无限接近a就可以让自己的值无限接近b的本领”，把我说的这句话翻译成数学语言，就是给出个数ε>0是我想要让它接近于b的程度要求，它都可以找到一个接近a的程度δ（也就是|x-a|<δ)来满足你的要求（|f(x)-b|<ε）。这就是大学里面会学到的极限的定义，叫ε-δ语言。总之楼主要理解极限说的是一种本领，因此无所谓a在不在定义域内。没有极限的原因并不是a不在定义域内，即使a在定义域内，也不见得有极限（只要没有这种要多接近有多接近的本领，就没有极限）。比如y=sinx/x(x分之sinx)就是一个例子，x=0不是定义域，但是有极限，x→0的时候y趋近于1。
回头再说无穷大的问题。趋近于无穷大也是一种本领，就是“f(x)这个函数，它有一种通过让x无限接近a就可以让自己的值要多大有多大的本领”，这个也可以用上面的严格数学语言定义：
任给M>0（你想要让它有多大），都存在δ>0，使得只要|x-a|<δ（能够通过调节x和a的距离足够近）使得|f(x)|>M（调节以后满足你的要求）。这种能力叫“有广义极限”，如果非要区分正负，那就把前面定义的绝对值去掉：使得f(x)>M就是正无穷大，f(x)<-M就是负无穷大。
这就是极限的定义问题，看楼主能理解多少吧。

②极限如何算出来。这个问题分几步走。首先，对于一些最基本的极限，比如sinx/x趋近于1这种，都是要通过我上面给的定义证明的。把这些证明完成以后，我们证明极限有四则运算的属性，就是A函数+B函数再取极限，等于A、B先取极限，再加起来，等等这样的属性，这样我们证明过的这些极限的加减乘除组合就都可以算出来。然后可以总结更好的规律，就是人们证明过，有一大类函数（初等函数），它们具有“连续性”，就是如果a在定义域里面，lim(x→a)f(x)就是函数值f(a)，这一下子又可以算出很多极限。最后那些不在定义域内的，除了一些基本的靠原始定义，还有一些有用的定理，比如遇到一个lim(x→a)f(x)/g(x)，但是f、g在x→a的时候都是0，怎么办？这就有洛必达法则，可以把f、g先求导，再取极限，lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f'(x)/g'(x)没准求完导就不是0了。
导数公式如何证明就是基于一些已经证明出了的极限。比如lim Δx→0 [2^(Δx+x)-2^x]/Δx=lnx，楼主可以把它理解为用那种定义证出来的，总之是个技术问题……（还有楼主说Δx不能等于0，为何还有极限，现在也可以理解了，这是一种本领，并不是Δx真的等于0）。

③对于一个函数如何算出它的导数。首先要死记一些函数的导数公式，比如sinx求导是cosx等等，这些课本上都有。然后再记住一些导数计算法则，比如f+g再求导等于先求导再相加，fg相乘求导等于f×g'+g×f'等等。然后用这些就可以求出高中遇到的所有函数的导数。
比如f(x)=√(1-x²)-x
求导f'=[√(1-x²)]'-x'
x'=1这个是公式，[√(1-x²)]'看成√u这个函数，复合u=1-x²这个函数，这用复合函数求导法则，先不管u的“内部结构”，就√u对u求导，有公式，等于1/(2√u)，然后再用u的“内部结构”对x求导，是-2x，再乘起来，得到[√(1-x²)]'=-2x/(2√u)=-x/√u也就是-x/根号(1-x^2)（楼主少记了一个负号），结果就是f'=-x/根号(1-x^2)-1
这些公式楼主高三都会学到，现在记不住不用担心。

极限属于大学理科的内不是那么容易说明白，至于求极限的方法，那就很多了。如果真的很感兴趣，建议看一下大学的教材；推荐一下：可以看《高等数学》，同济大学数学系编，里面详细介绍了极限的概念和导数的定义，怎么求导数。以高中的水平，如果你成绩不错，应该可以看懂，
楼主很爱学习啊，上面那个1/x极限问题：这个是x趋于0，时，没有极限。只有左极限和右极限都存在且相等，才说存在极限，否则极限不存在，建议还是看高等数学吧

如果a不在定义域内，怎么求极限？
a附近的点不能不在定义域内。
lim Δx→0，如果0在定义域内怎么求导，0不在定义域内又要怎么求导？
Δx只是自变量的改变量。 作为分母当然不能等于0.

你要想知道各种初等函数的导数公式是怎么推导出来的，可以看一下大学的高等数学教材或者大学数学专业的数学分析教材。

有疑问请追问，满意请选为满意回答！

这个东西已经在高中出现了么？？

你还是上完高中在说吧，这高等数学，不学是没法解释清楚的。而且你这问法似乎有问题。

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南郑县19614951494： 如果一个函数在x趋于无穷大或趋于0时有极限,那么在那个位置的导数是否一定是0?在趋于0的位置我懂了,在无穷远处呢,如果在无穷远处极限是0,它的... - ？
长兴纪卵磷：[答案] 因为函数在x趋于无穷大或趋于0时有极限,所以在△X→0时,△Y→0. 0/0型的极限不确定的,所以不一定是0. 比如f(x)=sinx,X→0时f(x)=0,导数cos0=1. 你也还可以看看f(x)=sinx/x在X→0时的情况,导数是不存在的.其实可以找出很多反面的,其他的...

南郑县19614951494： 请教一下极限与导数的“趋向”问题 - ？
长兴纪卵磷： 既然楼主这么感兴趣,我就多说一点吧.首先这种思考精神值得鼓励.楼主比很多提问者强多了,很多提问者就问一个很简单的问题,还在标题里面加上“快快快~”之类的,就是求答案,估计是应付作业的.但是楼主不同,自己懂得思考问题...

南郑县19614951494： 极限和导数.如果函数f(x)在x0处可导,即△f(x0)=f(x0+△x) - f(x0),则极限lim[△f(x0) - df(x0)]/△x=(△x趋向于零) - ？
长兴纪卵磷：[答案] f'(x0)

南郑县19614951494： 导数和极限的关系是什么 - ？
长兴纪卵磷： 你的说法有一部分道理.确实,从趋向的角度看,导数的趋向只有δx->0(此外,单侧导数还有 δx从左侧或右侧趋近于0的情况,对应地,极限也有单侧极限),而函数极限有x->无穷大,x->某个具体数 ,你说的x->0本身也是x->某个具体数 .另外,函数极限还有x->正无穷大,x->负无穷大,x从单侧趋近于某个具体数.但上面的说法很表层.再深一步说,导数实际是一种特殊的极限,即函数值的增量δY与自变量的增量δX之比的极限(当δx->0 ).从极限的角度说,函数极限的性质,也完全适合导数.

南郑县19614951494： 极限和二阶导数的问题1.求极限lim(x趋于正无穷) (sin(2/x)+cos(1/x))^x=2.设f(x)在x=a处二阶导数存在,则lim(h趋于0)((f(a+h) - f(a))/h - f'(a))/h= - ？
长兴纪卵磷：[答案] 1.用Taylor公式比较容易,当然直接凑(1+t)^(1/t)的形式或者L'Hospital法则也可以. 令y=1/x,那么 lim{y->0+}(sin2y+cosy)^(1/y)=lim{y->0+}(1+2y+o(y))^(1/y)=e^2 2.直接用L'Hospital法则. lim{h->0} [f'(a+h)-f(a)-hf'(a)]/h^2 = lim{h->0} [f'(a+h)-f'(a)]/2h = f''(a...

南郑县19614951494： 求一个函数的导数实际就是求那个函数趋向于0的极限吗 - ？
长兴纪卵磷： 一个函数的导数,当然不会只是求这个函数趋近于0的极限. 一个函数在定义域内有无数个点,每个点都有可能有导数.不可能任何点的导数都等于这个函数趋近于0的极限.甚至有可能任何点的导数都不等于这个函数趋近于0的极限. 大概也只有f(0)=0的时候,f(x)在x=0点处的导数才会等于f(x)当x趋近于0时候的极限. 其他情况下都不等于. 导数是等于y的增量(△y)和x的增量(△x)的比值在△x趋近于0时候的极限.

南郑县19614951494： 导数的定义为什么书本上说导数F'(X0)存在的话,当ΔX趋向于0时,ΔY=F(XO+ΔX) - F(X0)向于0 - ？
长兴纪卵磷：[答案] 这是对于极限的理解,F'(X0)=lim(ΔX→0) ΔY/ΔX 分母趋向于零,那么由于极限值存在,所以分子ΔY只能趋向于零; 若ΔY只能趋向于其他数,譬如1,那么最后极限为无穷大; 若ΔY不收敛,发散的话,那么因为分母趋向于零,那整个式子就发散的更厉...

南郑县19614951494： 一些关于极限和导数问题,1:已知(x^2+ax+b)/(x^ - x - 2)=2,x无限趋近于2(就是有个lim x→2的前缀),求a=?,b=?2:设函数y=ln(x+√(x^2+1), - ？
长兴纪卵磷：[答案] 1中是不是分母上少x^2? 1.说明极限存在,因此分子中当x=2时,其值也为0,从而分子可以分解为(x-2)(x+m)形式,从而原式可以化为(x+m)/(x+1)当x=2时的值为2,因此得(2+m)/(2+1)=2,得m=4,因此得到分子的二次三项式为x^2+2x-8...

南郑县19614951494： 可导函数值趋于常数时,导数一定趋于零吗. - ？
长兴纪卵磷： 其实你的意思是说:一个函数在自变量趋于无穷大时, 此函数有极限 并且极限为一个常数,此时,这个函数的导函数在自变量趋于无穷大时的极限是否为零 回答:其实这两者没有必然关系 对于大部分初等函数此命题成立 但对于某些冥指函数不适用 如下例:函数f(x)=(1+1/ x)^x自变量x趋于无穷大时的极限是常数e 但函数的导函数为F(x)= (1/x^2)( ln(x+1)+1/(x+1)) 则函数的导函数在自变量趋于无穷大时的极限为 lim F(x) (x->∞) =∞

南郑县19614951494： 极限与导数的区别是什么?突然觉得好像啊,都有个lim - ？
长兴纪卵磷： 直观的说,极限是个点,而导数是切线斜率 limf(x)对于x->x0,如果从左边和右边都趋向f(x0),那么limf(x)对于x->x0,就是f(x0) 而导数f'(x0)的涵义是,f(x)在f(x0)处自变量增加一些,相应的函数值也增加一个值,如果自变量增加的值x变得无穷小,趋向0,把此时函数值的变化与自变量的变化的比率,叫做该点的导数. 所以,极限函数取值的一个趋势,而导数是一个比率.希望你能理解.