数学历史上重大事件

有谁知道数学历史中的重大事件? 比如三大危机之类~

第一次数学危机
　　从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。

　　毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。

　　不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。

　　同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。

　　回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。
第二次数学危机
　　早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。这造成数与量的长期脱离。古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：

　　第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。

　　第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。

　　而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时问间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。

　　希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。

　　到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了许多新问题，如求速度、求切线，以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力，终于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。

　　牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：1，把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2，有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和积分法互为逆运算。

　　由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。

　　十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题，因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。

　　但也因此，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。

　　十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号使用的不严格性；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。

　　一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。

　　波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。

　　在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。

　　十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。

　　同时，威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。

1-6悖论的产生——第三次数学危机
数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 　　

　　1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。 　　

　　罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。

　　

前言 20 世纪的化学究其本质来说与19 世纪有显著的不同。在19 世纪，道尔顿的原子论、门捷列夫元素周期表都是工作在原子的层次上，其他化学大师如贝采里乌斯、康尼查罗的工作莫不与原子量的测定有关。所以恩格斯说： “在19 世纪，对于化学家是原子的世纪。”但是到20 世纪情况变了，原子的地盘已被物理学家夺走，化学家主要耕耘在分子的层次上。 可是，若要使化学真正取得进步，还须借助物理上的新概念、新思想和新成果。决定性的时期还是19 世纪的最后几年到20 世纪的最初25 年。这个时期物理上出现了三大成就。一是1901 年普朗克的量子论和1924 年到1925 年的量子力学；二是1905 年到1915 年爱因斯坦的相对论；三是原子核物理，知道原子里面有电子、原子核，原子核里面有中子、质子，原子核也能变化。 19 世纪最后10 年发现了电子，发现了放射性，一直到20 世纪初，把原子模型建立起来，把原子结构建立起来，从而对分子结构有了进一步的理解，化学才能迅速发展起来。若从这个观点来理解20 世纪前25 年无机化学的衰落、分析化学的停滞不前、德国有机化学家忽视理论吃了大亏，就不足为奇了。 20 世纪共发生两次世界大战。第一次是1914 年到1918 年，作战方式以毒气和炸药为主，可以说是打了一场化学战；第二次是在1939 年到1945 年，主要以飞机、舰艇和雷达为战争手段，可以说是打了一场物理战。两次世界大战都说明了科学技术对国防的重要性。 20 世纪中叶以来，科学技术发展速度之快、作用范围之广、产生影响之深远，是历史上前所未有的。目前在全世界内，正在进行着以微电子学和电子计算机技术为主要标志的新技术革命，形成了一系列高新技术部门。化学也是如此，二战后的化学犹如一匹飞奔的骏马，它具有传统上的四条腿：无机、有机、分析和物化，如今不仅每条腿上长出许多小腿，而且又添上了微电子学和计算机技术的两翼，真是鹏程万里。 现代科学技术的发展经历了 5 次伟大的革命。1945—1955 年，第一个10 年，是以核能释放为标志，人类开始了利用核能的新时代。1955—1965 年，是以人造地球卫星的发射成功为标志，人类开始了摆脱了地球引力，飞向外层空间的进军；1965—1975 年，第三个10 年，是以1973 年重组DNA 实验的成功为标志，人类进入了可以控制遗传和生命过程的新阶段；1975—1985 年，第四个10 年，是以微处理机的大量生产和广泛应用为标志，揭开了扩大人脑能力的新篇章；1985—1995 年，这是我们正在经历的第五个10 年，是以软件开发和大规模产业化为标志，人类进入了信息革命的新纪元。在这一段时间内，化学经历了哪几次革命，目前还搞不清楚，但有一个事实可以说明问题。那就是到目前为止，人类合成的分子数目已超过了1000 万，实现了有机合成化学开山大师贝特洛一个世纪前的伟大预言，在“老的自然界”旁边，再放进一个“新的自然界”。将来的发展难以预计，但从已取得的成就而论，这个“新的自然界”，从数量和类别上讲，将远远超过“老的自然界”。 当代科技发展有两种形式：一是突破，二是融合。突破是研究探索新的科学规律和科技成果来发展充实原有的科学规律和科技成果。比如现代化学与18、19 世纪时期的经典化学比较起来，它的显著特点是从宏观进入微观，从静态研究进入动态研究，从个别、细致研究发展到相互渗透、联系的研究。例如，从宏观动力学发展到微观动力学，从平衡态热力学发展到非平衡态热 力学。无机化学、有机化学、物理化学和分析化学在继续发展的同时，逐步 趋向综合，C60的发现使无机化学和有机化学传统的栏栅已经消失了。如今分析化学，还是分析物理已很难区分。化学研究的成果以及各种科技领域的广泛渗透直接促进了高分子化学、量子化学、环境化学、分子生物学等新兴和交叉学科的产生和发展。鉴于物理化学已经发展成庞大的分支，在本书没有专设物理化学而是把化学动力学、化学热力学、结构化学、量子化学、电化学、光化学独立成专章。药物化学亦已从有机化学中独立出来。 另一方面，近十几年来，科学技术发展的一个鲜明特征，是日益求助于多学科融合的战略来解决各种问题，这就导致了新的跨学科研究领域的出现，最终结成了具有确定的特有概念和方法论的新学科和新领域，并开辟了一个全新的研究系列。例如，环境问题是当今人类所面临的重大课题之一，需要从人文社会科学、地理学、大气科学、化学、生物学等角度综合研究，这就导致了新学科——环境科学的诞生。增产粮食不能仅仅通过耕种新垦土地而是需要科学，化学起着中心的作用。为此，本书专设化学与粮食一章。 如前所述，编写这样一部化学史确有一定的难度，但非异想天开。我之所以立意编写现代化学史，主要是出于教学需要。笔者自80年代以来开设近现代化学史，曾以〔美〕A. A. Ihde 编写的“The de-velopment of modernchemistry”为蓝本进行教学，结果研究生不满意，认为教材落后，难以反映现代化学成就。逼得我搜集资料重写教材。后来由于到年龄退休，搁置下来了。决定的进展是在1995 年下半年，江西教育出版社段少文副社长向我约稿，编写《20世纪化学史》，原订一年完成，实际上写了两年。困难在于对 80年代以来化学发展状况若明若暗，难以下笔。
前言 20 世纪的化学究其本质来说与19 世纪有显著的不同。在19 世纪，道尔顿的原子论、门捷列夫元素周期表都是工作在原子的层次上，其他化学大师如贝采里乌斯、康尼查罗的工作莫不与原子量的测定有关。所以恩格斯说： “在19 世纪，对于化学家是原子的世纪。”但是到20 世纪情况变了，原子的地盘已被物理学家夺走，化学家主要耕耘在分子的层次上。 可是，若要使化学真正取得进步，还须借助物理上的新概念、新思想和新成果。决定性的时期还是19 世纪的最后几年到20 世纪的最初25 年。这个时期物理上出现了三大成就。一是1901 年普朗克的量子论和1924 年到1925 年的量子力学；二是1905 年到1915 年爱因斯坦的相对论；三是原子核物理，知道原子里面有电子、原子核，原子核里面有中子、质子，原子核也能变化。 19 世纪最后10 年发现了电子，发现了放射性，一直到20 世纪初，把原子模型建立起来，把原子结构建立起来，从而对分子结构有了进一步的理解，化学才能迅速发展起来。若从这个观点来理解20 世纪前25 年无机化学的衰落、分析化学的停滞不前、德国有机化学家忽视理论吃了大亏，就不足为奇了。 20 世纪共发生两次世界大战。第一次是1914 年到1918 年，作战方式以毒气和炸药为主，可以说是打了一场化学战；第二次是在1939 年到1945 年，主要以飞机、舰艇和雷达为战争手段，可以说是打了一场物理战。两次世界大战都说明了科学技术对国防的重要性。 20 世纪中叶以来，科学技术发展速度之快、作用范围之广、产生影响之深远，是历史上前所未有的。目前在全世界内，正在进行着以微电子学和电子计算机技术为主要标志的新技术革命，形成了一系列高新技术部门。化学也是如此，二战后的化学犹如一匹飞奔的骏马，它具有传统上的四条腿：无机、有机、分析和物化，如今不仅每条腿上长出许多小腿，而且又添上了微电子学和计算机技术的两翼，真是鹏程万里。 现代科学技术的发展经历了 5 次伟大的革命。1945—1955 年，第一个10 年，是以核能释放为标志，人类开始了利用核能的新时代。1955—1965 年，是以人造地球卫星的发射成功为标志，人类开始了摆脱了地球引力，飞向外层空间的进军；1965—1975 年，第三个10 年，是以1973 年重组DNA 实验的成功为标志，人类进入了可以控制遗传和生命过程的新阶段；1975—1985 年，第四个10 年，是以微处理机的大量生产和广泛应用为标志，揭开了扩大人脑能力的新篇章；1985—1995 年，这是我们正在经历的第五个10 年，是以软件开发和大规模产业化为标志，人类进入了信息革命的新纪元。在这一段时间内，化学经历了哪几次革命，目前还搞不清楚，但有一个事实可以说明问题。那就是到目前为止，人类合成的分子数目已超过了1000 万，实现了有机合成化学开山大师贝特洛一个世纪前的伟大预言，在“老的自然界”旁边，再放进一个“新的自然界”。将来的发展难以预计，但从已取得的成就而论，这个“新的自然界”，从数量和类别上讲，将远远超过“老的自然界”。 当代科技发展有两种形式：一是突破，二是融合。突破是研究探索新的科学规律和科技成果来发展充实原有的科学规律和科技成果。比如现代化学与18、19 世纪时期的经典化学比较起来，它的显著特点是从宏观进入微观，从静态研究进入动态研究，从个别、细致研究发展到相互渗透、联系的研究。例如，从宏观动力学发展到微观动力学，从平衡态热力学发展到非平衡态热 力学。无机化学、有机化学、物理化学和分析化学在继续发展的同时，逐步 趋向综合，C60的发现使无机化学和有机化学传统的栏栅已经消失了。如今分析化学，还是分析物理已很难区分。化学研究的成果以及各种科技领域的广泛渗透直接促进了高分子化学、量子化学、环境化学、分子生物学等新兴和交叉学科的产生和发展。鉴于物理化学已经发展成庞大的分支，在本书没有专设物理化学而是把化学动力学、化学热力学、结构化学、量子化学、电化学、光化学独立成专章。药物化学亦已从有机化学中独立出来。 另一方面，近十几年来，科学技术发展的一个鲜明特征，是日益求助于多学科融合的战略来解决各种问题，这就导致了新的跨学科研究领域的出现，最终结成了具有确定的特有概念和方法论的新学科和新领域，并开辟了一个全新的研究系列。例如，环境问题是当今人类所面临的重大课题之一，需要从人文社会科学、地理学、大气科学、化学、生物学等角度综合研究，这就导致了新学科——环境科学的诞生。增产粮食不能仅仅通过耕种新垦土地而是需要科学，化学起着中心的作用。为此，本书专设化学与粮食一章。 如前所述，编写这样一部化学史确有一定的难度，但非异想天开。我之所以立意编写现代化学史，主要是出于教学需要。笔者自80年代以来开设近现代化学史，曾以〔美〕A. A. Ihde 编写的“The de-velopment of modernchemistry”为蓝本进行教学，结果研究生不满意，认为教材落后，难以反映现代化学成就。逼得我搜集资料重写教材。后来由于到年龄退休，搁置下来了。决定的进展是在1995 年下半年，江西教育出版社段少文副社长向我约稿，编写《20世纪化学史》，原订一年完成，实际上写了两年。困难在于对 80年代以来化学发展状况若明若暗，难以下笔。

第一次数学危机

起因
00毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比。在希帕索斯悖论发现之前，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为占统治地位的数学规范，希帕索斯发现的无理数，暴露了原有数学规范的局限性。由此看来，希帕索斯悖论是由于主观认识上的错误而造成的。
经过
00公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。
影响
00希帕索斯的发现，促使人们进一步去认识和理解无理数。但是，基于生产和科学技术的发展水平，毕达哥拉斯学派及以后的古希腊的数学家们没有也不可能建立严格的无理数理论，他们对无理数的问题基本上采取了回避的态度，放弃对数的算术处理，代之以几何处理，从而开始了几何优先发展的时期，在此后两千年间，希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。当然，这种将整个数学捆绑在几何上的狭隘作法，对数学的发展也产生了不利的影响。
00希帕索斯的发现，说明直觉和经验不一定靠得住，而推理和证明才是可靠的，这就导致了亚里士多德的逻辑体系和欧几里德几何体系的建立。
编辑本段
第二次数学危机

起因
00十七世纪末，牛顿和莱布尼兹创立的微积分理论在实践中取得了成 第二次数学危机功的应用，大部分数学家对于这一理论的可靠性深信不移。但是，当时的微积分理论主要是建立在无穷小分析之上的，而无穷小分析后来证明是包含逻辑矛盾的。
经过
001734年，英国大主教贝克莱发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则与推断是否比之宗教的神秘与教条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书，对当时的微积分学说进行了猛烈的抨击。他说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的流数实际上是0/0,是“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”，这是因为错误互相抵偿的缘故。在数学史上，称之为“贝克莱悖论”。这一悖论的发现，在当时引起了一定的思想混乱，导致了数学史上的第二次危机，引起了持续200多年的微积分基础理论的争论。
00贝克莱攻击“无穷小”，其目的是为宗教神学作论证，而作为“贝克莱悖论”本身，则是一个思想方法问题。因为数学要按照形式逻辑的不矛盾律来思维，不能在同一思维过程中既承认不等于零，又承认等于零。但是，事物的运动以其终点为极限，运动的结果在量上等于零，而在起点上则不等于零，这是事物运动的两个方面，不应纳入同一思维过程，如果把它们机械地联结起来，必然会导致思维中的悖论。贝克莱悖论产生的原因在于无穷小量的辨证性与数学方法的形式特性的矛盾。
影响
00第二次数学危机的产物——分析基础理论的严密化与集合论的创立。
00“贝克莱悖论”提出以后，许多著名数学家从各种不同的角度进行研究、探索，试图把微积分重新建立在可靠的基础之上。法国数学家柯西是数学分析的集大成者，通过《分析教程》（1821）、《无穷小计算讲义》（1823）、《无穷小计算在几何中的应用》（1826）这几部著作，柯西建立起以极限为基础的现代微积分体系。但柯西的体系仍有尚待改进之处。比如：他关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、几何直观的东西；缺乏实数理论。德国数学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要奠基者之一，他改进了波尔查诺、阿贝尔、柯西的方法，首次用“ε—δ”方法叙述了微积分中一系列重要概念如极限、连续、导数和积分等，建立了该学科的严格体系。“ε—δ”方法的提出和应用于微积分，标志着微积分算术化的完成。为了建立极限理论的基本定理，不少数学家开始给出无理数的严格定义。1860年，魏尔斯特拉斯提出用递增有界数列来定义无理数；1872年，戴德金提出用分割来定义无理数；1883年，康托尔提出用基本序列来定义无理数；等等。这些定义，从不同的侧面深刻揭示了无理数的本质，从而建立了严格的实数理论，彻底消除了希帕索斯悖论，把极限理论建立在严格的实数理论的基础上，并进而导致集合论的诞生。
编辑本段
第三次数学危机

起因
00魏尔斯特拉斯用排除无穷小量的办法来解决贝克莱悖论，而在上世纪60年代，鲁滨逊又把无穷小量请了回来，引进了超实数的概念，从而建立了非标准分析，同样也能精确地描述微积分，进而也解决了贝克莱悖论。但必须注意到，贝克莱悖论只是在相对意义下得到了解决，因为实数理论的无矛盾性归结为集合论的无矛盾性，而集合论的无矛盾性至今仍未彻底解决。
经过
00经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集 第三次数学危机合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。法国著名数学家庞加莱（1854—1912）于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道：“现在可以说，（数学）绝对的严密性是已经达到了”。然而，事隔不到两年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。1918年，罗素把这个悖论通俗化，成为理发师悖论。罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，深入到集合论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。
00产生集合论悖论的原因在于集合的辨证性与数学方法的形式特性或者形而上学的思维方法的矛盾。如产生罗素悖论的原因，就在于概括原则造集的任意性与生成集合的客观规则的非任意性之间的矛盾。
影响
00第三次数学危机的产物——数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。
00为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力。由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔（1881—1966）为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派。这三大学派的形成与发展，把数学基础理论研究推向了一个新的阶段。三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支——证明论等——的形成上。
00为了排除集合论悖论，罗素提出了类型论，策梅罗提出了第一个集合论公理系统，后经弗伦克尔加以修改和补充，得到常用的策梅罗——弗伦克尔集合论公理体系，以后又经伯奈斯和哥德尔进一步改进和简化，得到伯奈斯——哥德尔集合论公理体系。希尔伯特还建立了元数学。作为对集合论悖论研究的直接成果是哥德尔不完全性定理。
00美国杰出数学家哥德尔于本世纪30年代提出了不完全性定理。他指出：一个包含逻辑和初等数论的形式系统，如果是协调的，则是不完全的，亦即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内是不可能证明的。哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示了形式主义系统的局限性，从数学上证明了企图以形式主义的技术方法一劳永逸地解决悖论问题的不可能性。它实际上告诉人们，任何想要为数学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的，哥德尔定理是数理逻辑、人工智能、集合论的基石，是数学史上的一个里程碑。美国著名数学家冯·诺伊曼说过：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪念碑”。
00时至今日，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，人们正向根本解决的目标逐渐接近。可以预料，在这个过程中还将产生许多新的重要成果。
00发现和提出悖论并加以研究，对于数学基础、逻辑学和哲学都有重要意义。正如塔斯基（1901— ）所指出的：“必须强调的是，悖论在建立现代演绎科学的基础上占有一个特别重要的地位。正如集合论的悖论，特别是罗素悖论成为逻辑和数学相容性形式化的起点一样，撒谎者悖论及其语义学悖论导致了理论语义学的发展。”
http://baike.baidu.com/view/29395.htm

1734年，英国大主教贝克莱对当时的微积分学说进行了猛烈的抨击。他说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的流数实际上是0/0,是“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”，这是因为错误互相抵偿的缘故。在数学史上，称之为“贝克莱悖论”。这一悖论的发现，在当时引起了一定的思想混乱，导致了数学史上的第二次危机，引起了持续200多年的微积分基础理论的争论.
数　学　史　上　的　三　次　危　机
无　理　数　的　发　现　──　第　一　次　数　学　危　机　　 大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。 　　到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！

无　穷　小　是　零　吗　？　──　第　二　次　数　学　危　机　　18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 　　1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以0以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 　　
18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。
悖　论　的　产　生　---　第　三　次　数　学　危　机 　　
数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 　　
1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。 　　
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

发现素数分布规律。

太多了

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寿光市18219491424： 数学历史上的三次危机是什么? - ？
缪竖哈乐： 第一次危机发生在公元前580~568年之间的古希腊,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派.这个学派集宗教、科学和哲学于一体,该学派人数固定,知识保密,所有发明创造都归于学派领袖.当时人们对有理数的认识还很有限,对于无理数...

寿光市18219491424： 大家帮我看看这些描述分别指的是数学史上的哪三次重大事件? - ？
缪竖哈乐： 问题够专业~ 这是三次数学危机 分别是 发现无理数 根号2. 牛顿莱布尼茨发明微积分 罗素悖论 看下面的资料

寿光市18219491424： 简述数学史上的三次数学危机及其对数学发展的影响 - ？
缪竖哈乐：[答案] 数学悖论与三次数学危机 陈基耿 摘要:数学发展从来不是完全直线式的,而是常常出现悖论.历史上一连串的 数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰,数学史上曾经发生了三次数学危机.数学悖论的产生和危机的出现,不单给数学带来麻烦和失望,...

寿光市18219491424： 数学发展史上的三次重大突破是什么 - ？
缪竖哈乐： 1.毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家.他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别:毕达哥拉斯学派.由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石.而“一切数均可表成整数或整数之...

寿光市18219491424： 数学发展史上的关键节点有哪些?在这些节点上的重要人物以及对数学的贡献是什么?？
缪竖哈乐： 数学(mathematics或maths,来自希腊语,“máthēma”;经常被缩写为“math”),是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科,从某种角度看属于形式科学的一种.数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法....

寿光市18219491424： 数学历史长廊的事 - ？
缪竖哈乐： 我数学史知识不多,说几个吧.按时间顺序.1.最著名的是毕达哥拉斯学派的“万物皆数”理论,认为一切数可以写成两个整数的比,被大众所信任.无理数发现后,被推翻.2.费马的重大失误,认为所有费马数为素数.欧拉举出其为否定.3.欧拉犯过不少错.关于拉丁方的解决,欧拉认为没有6节以上拉丁方,直到近代才被推翻.欧拉还写过一个模仿费马大定理的式子,被后人推翻.4.康托的理论很混乱,建立之后很多人推崇,但悖论重重.5.最近的,希尔伯特认为数学完备,很多数学家支持.哥德尔证明了这个说法的错误.一时就想到这些.

寿光市18219491424： 有关数学的新闻.(10条,简短一点) - ？
缪竖哈乐：[答案] 刘徽(生于公元250年左右),是中国数学史上一个非常伟大的数学家,在世界数学史上,也占有杰出的地位.他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》,是我国最宝贵的数学遗产. 贾宪 贾宪,中国古代北宋时期杰出的数学家.曾撰写的《黄帝九章算法...

寿光市18219491424： 数学家们有什么重要发现 - ？
缪竖哈乐： 近代数学发展概况 在近代,数学处在飞速发展中,取得了辉煌成就,现代数学在这个基础上继续以更快的速度向深度和广度发展,成为十分活跃的科学.现代数学的发展有两大趋势或特点:一是数学更加理论化,所研究的数学对象更加抽象;...

寿光市18219491424： 球数学界的大事件!!! - ？
缪竖哈乐： 数学家、数学问题、数学事件、数学历史相关的故事

寿光市18219491424： 数学史上的危机是什么? - ？
缪竖哈乐： 温馨提示 数学的发展史中,并不是那么一帆风顺的,其中历史上曾发生过三大危机,危机的发生促使了数学本生的发展:第一次危机发生在公元前580~568年之间的古希腊;第二次数学危机发生在十七世纪.第三次数学危机