设u是n维列向量, a,b是数,求(1)[En-au(uT)][En-bu(uT)];(2)当a取何值时,矩阵[En-au(uT)]可逆?
考虑分块矩阵B = [A,-U;V',Em],P = [En,U;0,Em],Q = [En,A^(-1)U;0,Em].
可知P,Q可逆,故r(PB) = r(B) = r(BQ).
而PB = [A+UV',0;V',Em],有r(PB) = r(A+UV')+r(Em) = r(A+UV')+m.
又BQ = [A,0;V',Em+V'A^(-1)U],有r(BQ) = r(A)+r(Em+V'A^(-1)U) = n+r(Em+V'A^(-1)U) (r(A) = n).
即得r(A+UV') = n+r(Em+V'A^(-1)U)-m < n.
大一线性代数的知识点128
2011年线性代数必考的知识点；1、行列式；1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分；①、Aij和aij的大小无关；；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余；i?j；Mij；4.设n行列式D：；n(n?1)；将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D2；1，则D1?(?1)D；n(n?1)；将D顺时针或逆时针旋转90?；，所得行列式为D2，则
2011年线性代数必考的知识点
1、行列式
1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为行列2n式； 2. 代数余子式的性质：
①、Aij和aij的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3.
代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAijAij?(?1)
i?j
Mij
4. 设n行列式D：
n(n?1)
将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D2
1，则D1?(?1)D
；
n(n?1)
将D顺时针或逆时针旋转90?
，所得行列式为D2，则D2?(?1)
2
D
；
将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
n(n?1)
②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)
2
；
③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积；
n(n?1)
④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)2
； ⑤、拉普拉斯展开式：
AOCC
B?AO
B
?AB、
CAOAB
O?B
C?(?1)
m?n
AB
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
n
6. 对于n阶行列式
A
，恒有：?E?A??n
?
?(?1)
k
S?k
k?
n，其中Sk为k阶主子式；k?1
7. 证明A?0的方法：
①、A??A； ②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax
?0
，证明其有非零解；
④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1.
A
是n阶可逆矩阵：
?A?0（是非奇异矩阵）；
?r(A)?n（是满秩矩阵）
?A的行（列）向量组线性无关；
?
齐次方程组Ax
?0
有非零解；
??b?Rn
，Ax
?b
总有唯一解；
?A与E等价；
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A
的特征值全不为0； ?ATA
是正定矩阵；
?A?A
的行（列）向量组是Rn的一组基； 是Rn中某两组基的过渡矩阵；
*
?1T
2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立； 3.
(A)?(A)(AB)
T
T
?1*
(A)
?1T
*
?(A)
*
*
T?1
(A)
*T
?(A)
?1
T*
?1
?BA(AB)?BA(AB)?B
?1
A
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
若
?A1?A??
???
A2
?
?????As?
，则：
Ⅰ、A?A1A2?As；
?A1?1???????O??B?A??O?C??B?O??B?
?1
Ⅱ、A
?1
A2
?1
?
??????1
As??
；
?A
②、?
?O?O③、?
?B?A④、?
?O?A⑤、?
?C
?A?1???O?O???1
?A?A?1???O
O?
；（主对角分块） ?1?B?B
?
?；（副对角分块） O?
?1
?1
?1
?1
?1
?ACB
B
?1
?
?；（拉普拉斯） ?
?1
?1
?A???1?1
??BCAO??1?B?
；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F??
?Er?O
O?
； ?
O?m?n
等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A?B； 2.
行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、 若(A?,?E)???(E?,?X)，则A可逆，且X
r
?A
?1
；
c
②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)；
r
③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax
?b
，如果(A,b)?(E,x)，则A可逆，且x
?Ab
?1
；
4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
??1?
②、???
???
?2
?
??
?，左乘矩阵A???n?
，?i乘A的各行元素；右乘，?i乘A的各列元素；
③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,
j)
?1
??
?E(i,j)，例如：?1
??
1
1
???1??
?1
?
??1???
?1
1
???1??
1k
；
④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))?1
?1
?，例如：?E(i())
?k
??
k
???1??
?1
????????
?(k?0)?1??
；
⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1
?1?
?E(ij(?k))，如：1
k???1
?1
??1
?k?
?
(k?0)；
?
????
1???
??
1??
5. 矩阵秩的基本性质：
①、0?r(Am?n)?min(m,n)；
②、r(AT)?
r(A)；
③、若A?B，则r(A)?r(B)；
④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※）
⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）
⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0
，则：（※）
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0
解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、r(A)?r(B)?n
⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
?1ac?②、型如?
?0
1b???的矩阵：利用二项展开式；
?
00
1??
n
二项展开式：(a?b)
n
?C0
an
?C1n?1
1
n
n
a
b???Cma
n?m
?11mm?m
n
b
m
???C
nn
ab
n?1
?Cnbn
n
?
?C
n
ab
n；
m?0
注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项；
Ⅱ、Cm
?
n(n?1)??(n?m?1)
0n
n1?2?3???m
?
n!m!(n?m)!Cn?Cn?1
n
Ⅲ、组合的性质：C
mn
?C
n?mC
mmm?1r?2
n
rCr
r?1
n
n?1
?Cn
?Cn
?C
n
n?nCn?1
；
r?0
③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：
?nr(A)?n?????①、伴随矩阵的秩：r(A*)??
?1
r(A)?n?1；
??
0r(A)?n?1
②、伴随矩阵的特征值：A
*
?1
*
A
?
(AX??X,A?AA???AX?
?
X)；
③、A*?AA?1、A*?A
n?1
8. 关于A矩阵秩的描述：
①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话）
②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0；
③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；
9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程；
②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax
?b
为n元方程；
10. 线性方程组Ax?b的求解：
①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1????
a21x1?a22x2???a2nxn?b2???
①、?
?
?????????????ax?ax???ax?b
m22nmnn?m11
?a11
?
②、?a21
????am1
a12a22?am2
????
a1n??
??a2n
???????amn??
；
x1??b1????x2b
???2??Ax?b????????xm??bm?
（向量方程，A为m?n矩阵，m个方程，n个未知数）
③、?a
1
a2
?
??an??
???x1??x2
??????xn??b1?
（全部按列分块，其中???b2
????bn??????
）；
④、a1x1?a2x2???anxn??（线性表出）
⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.
m
个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m)；
???????
??1T?T?2
TTT
m个n维行向量所组成的向量组B：?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B??
???T???m
；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）
?Ax?b是否有解；（线性方程组） ②、向量的线性表出
?AX?B是否有解；（矩阵方程） ③、向量组的相互线性表示
3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14) 4. 5.
r(AA)?r(A)
T
；(P101例15)
???0??,?
n维向量线性相关的几何意义：
①、?线性相关 ②、?,?线性相关
；
坐标成比例或共线（平行）；
③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面；
6. 线性相关与无关的两套定理：
若?1,?2,?,?s线性相关，则?1,?2,?,?s,?s?1必线性相关；
若?1,?2,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B：
若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r
向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)?r(B)；
?s
；
向量组A能由向量组B线性表示
?AX?B有解； ?r(A)?r(A,B)
向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B) ①、矩阵行等价：A~B
cr
8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,?,Pl，使A?P1P2?Pl；
?PA?B
（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解
②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵Am?n与Bl?n：
①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；
②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
④、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若Am?sBs?n?Cm?n，则：
①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；
②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）
11. 齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解；
②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解；
12. 设向量组Bn?r:b1,b2,?,br可由向量组An?s:a1,a2,?,as线性表示为：
(b1,b2,?,br)?(a1,a2,?,as)K（B?AK）
其中K为s?r，且A线性无关，则B组线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）
（必要性：?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反证法）
注：当r?s时，K为方阵，可当作定理使用；
13. ①、对矩阵Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关；
②、对矩阵Am?n，存在Pn?m，PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关； 14. ?1,?2,?,?s线性相关
?存在一组不全为0的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0成立；（定义）
??
?(?,?,?,?)?
12s
???
x1??x2
??0有非零解，即Ax?0???xs?
有非零解；
?r(?1,?2,?,?s)?s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15. 设m?n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax16. 若?*为Ax
?b
?0
的解集S的秩为：r(S)?n?r；
的一个解，?1,?2,?,?n?r为Ax
?0
的一个基础解系，则?*,?1,?2,?,?n?r线性无关；
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵?
AA?E
T
或A?1
?A
T
（定义），性质：
?1???0
i?ji?j
(i,j?1,2,?n)
①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj②、若A为正交矩阵，则A?1
?A
T
；
也为正交阵，且A??1；
③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,?,ar)
b1?a1；
b2?a2?
[b1,a2][b1,b1]
?b1
???
br?ar?
[b1,ar
]b[2ar,]b?r[ar,]1
?b1??b2????b?r; 1
[b1,b1]b[2b,2]br?[br1?,1]
3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；
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唱梁普爱：[答案] (1) [En-au(uT)][En-bu(uT)] =En-(a+b)u(uT)+abu(uT)u(uT) =En+[ab(uT)u-a-b]u(uT) (2)对于任意的向量u 当a取0时,矩阵[En-au(uT)]可逆
荔湾区15275902619： n维列向量与a b的问题？
唱梁普爱： [E-auu'] [E-buu']=E-(a+b)uu'+abu(u'u)u'=E-(a+b)uu'+[ab(u'u)]uu'=E-[a+b-ab(u'u)]uu' 由a+b-ab(u'u)=0,当au'u-1≠0时,b=a/(au'u-1),所以当a≠1/(u'u)时,E-auu'可逆,其逆矩阵是E-buu',其中b=a/(au'u-1)
荔湾区15275902619： 若设u为n维单位列向量,试证明豪斯霍德矩阵H=E - 2uu^t,是正交矩阵 - ？
唱梁普爱： 由于u为单位向量,所以 u^t*u=1H(T)H=(E-2uu^t)T*(E-2uu^t)=(E-2uu^t)*(E-2uu^t)=E-4uu^t+4uu^t*uu^t=E-4uu^t+4uu^t=E 不懂请追问,看懂请选择最佳答案谢谢
荔湾区15275902619： 列向量是什么意思? - ？
唱梁普爱： n维列向量是n行1列,n维行向量是1行n列;直观是,列向量是1列,行向量是1行. n元向量的加法,P中的数与n元向量的数量乘法(简称数乘)定义为: (a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn); c(a1,a2,…,an)=(ca1,ca2,…,can...
荔湾区15275902619： 一维列向量的转置等于它本身吗? - ？
唱梁普爱： 一维向量是数,所以它的转置一定等于它本身.
荔湾区15275902619： A为n维正交矩阵,a,b为n维列向量,则Aa·Ab=a·b. 为什么? - ？
唱梁普爱： Aa·Ab=(Aa)'Ab =a'A'Ab =a'(A'A)b =a'Eb =a'b =a·b
荔湾区15275902619： a,b为n维列向量,A=ab',求A的最小多项式 - ？
唱梁普爱： (1)A的最小多项式为0当且仅当A=0 (2)若A不等于0,则r(A)=1.若A为一阶的,A=(ab'),则A-(ab')=0,从而A的最小多项式为x-ab' 若A阶数大于1:因为A^2=a(b'a)b'=(b'a)A,所以x^2-(b'a)x是A的一个零化多项式 假设kx+c(k、c均不等于0,否则与A不为0矛盾)是A的一个零化多项式,则kA=-cE,即A=-c/kE,这与r(A)=1矛盾,从而A的零化多项式次数大于1,x^2-(b'a)x是A的最小多项式
荔湾区15275902619： 设u为n维单位列向量,则n阶矩阵H=E - uu'的n个特征值是?求过程 - ？
唱梁普爱：[答案] rank(uu')=1,所以uu'有n-1个零特征值,余下的特征值是trace(uu')=trace(u'u)=1 所以H的特征值是n-1个1和1个0
荔湾区15275902619： 设n维向量α(a,0,0.0,a),a - ？
唱梁普爱：[答案] 因为A与B可逆 所以E=AB=(E-αα^T)[E-(1/a)αα^T]=E-(1/a)αα^T-(1/a)(αα^T)^2 所以O=αα^T+(αα^T)^2 所以a^2+a=0 所以a=-1
荔湾区15275902619： 线性代数方面 已知a,b为N维列向量,证明:tr(ab^t)=tr(b^ta)=b^ta - ？
唱梁普爱：[答案] 证明:设 α=(a1,a2,...,an)^T,β=(b1,b2,...,bn)^T 则 β^Tα=α^Tβ=a1b1+a2b2+...+anbn --这是向量的内积 而 αβ^T = a1b1 a1b2 ...a1bn a2b1 a2b2 ...a2bn ...... anb1 anb2 ...anbn 所以 tr(αβ^T)=a1b1+a2b2+...+anbn=β^Tα. 同理可证 tr(βα^T)=a1b1+a2b2+...+...
