（1+X^2）^1/2的幂级数展开
具体如下：
(0,x) f(t)/t dt =∫(0,x) 1/(1+t^2) dt =arctanx =∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)
f(x)/x=[∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]' =∑(n=0,∞) [(-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]' =∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n)
因此， f(x)=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1)
x/(1+x^2)=x/(1-(-x^2)) =lim(n→∞) x(1-0)/(1-(-x^2)) =lim(n→∞) x(1-(-x^2)^n)/(1-(-x^2))
因此，直接可推：f(x)=x-x^3+x^5-……=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1)
按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。
级数展开公式：(1+x)^t=1+∑<n=1,∞>[t(t-1)(t-2)......(t-n+1)]/n!zd (-1<x<1)
则当版 t=-1/2 时
1/√(1+x)=1-(1/2)x+[(1*3)/(2*4)]x^2-[(1*3*5)/(2*4*6)]x^3+
+[(1*3*5*7)/(2*4*6*8)]x^4-...... (-1<x≤权1)
故有 1/√(1+x^2)=1-(1/2)x^2+[(1*3)/(2*4)]x^4-[(1*3*5)/(2*4*6)]x^6+
+[(1*3*5*7)/(2*4*6*8)]x^8-XXX
=1+∑<n=1,∞>(-1)^n[(2n-1)!!/(2n)!!]x^(2n) (-1≤x≤1)
双阶乘的定义：
(2n)!! ≠ ((2n)!)!
(2n)!! ＝ 2*4*6*...*2n
(2n－1)!! ＝ 1*3*5*...*(2n-1)
扩展资料：
幂级数解法是求解常微分方程的一种方法，特别是当微分方程的解不能用初等函数或或其积分式表达时，就要寻求其他求解方法，尤其是近似求解方法，幂级数解法就是常用的近似求解方法。用幂级数解法和广义幂级数解法可以解出许多数学物理中重要的常微分方程，例如:贝塞尔方程、勒让德方程。
参考资料来源：百度百科-幂级数解法
你可能理解错了双阶乘的定义：
(2n)!! ≠ ((2n)!)!
(2n)!! ＝ 2*4*6*...*2n
(2n－1)!! ＝ 1*3*5*...*(2n-1)
级数展开公式：(1+x)^t=1+∑<n=1,∞>[t(t-1)(t-2)......(t-n+1)]/n! (-1<x<1)
则当 t=-1/2 时
1/√(1+x)=1-(1/2)x+[(1*3)/(2*4)]x^2-[(1*3*5)/(2*4*6)]x^3+
+[(1*3*5*7)/(2*4*6*8)]x^4-...... (-1<x≤1)
故有 1/√(1+x^2)=1-(1/2)x^2+[(1*3)/(2*4)]x^4-[(1*3*5)/(2*4*6)]x^6+
+[(1*3*5*7)/(2*4*6*8)]x^8-......
=1+∑<n=1,∞>(-1)^n[(2n-1)!!/(2n)!!]x^(2n) (-1≤x≤1)
计算∫(1-x^2)^1\/2dx 上式=π\/2对吗?还是必须是关于x的式子?
如图所示
y=1\/(x^2-1)的N阶导要过程,
见图，关键是先拆分
高数积分问题 ∫dx\/(1+x^2)^2
这个是偶函数，所以∫(-1->1)变为2∫(0->1)(3)：
积分1\/(1+x^2)^2
新年好！Happy Chinese New Year ！本题有两种积分方法，分别解答如下：第一张图片，运用的是变量代换法---正切代换方法；第二张图片，运用的是虚数法。具体解答过程，请参见下边的图片，点击放大后，图片更加清晰。
求(1-x^2)^2的不定积分
展开得到 原积分=∫1-2x^2+x^4 dx 记住公式∫x^n dx=1\/(n+1) *x^(n+1)+C 所以这里积分得到 x-2\/3*x^3+1\/5*x^5+C，C为常数
1\/x(1+x^2)的不定积分是什么
简单计算一下即可，答案如图所示
为什么lim(x→+∞)(x^2)^ n=1
对于任意正整数 n，x^(2n) 的增长速度将随着 x 的增大而变得非常大。无论 n 取多大，x^(2n) 都会比 1 大得多。因此，当 x 趋向正无穷时，x^(2n) 的极限值为正无穷。即，lim(x→+∞)(x^2)^n = +∞。这是因为 n 是一个固定的常数，而 n 的大小不会影响 x^(2n) 的整体增长...
(1+x^2)^(-1)的原函数是什么?
arctanx
(1+x^2)^2=?啊
（1+x^2）^2=1＋2x²＋x^4
芮炕曼欣： 套用一个结果:(1+x)^m=1+mx+m(m-1)2/2!*x^2+...,-1≤1x≤1(m是个正数) 把m换作1/2,x换作x^2,得到√(1+x^2)的幂级数展开式,再求导就是了
会同县13588055654： 怎样将1+x^2展开为x的幂级数 - ？
芮炕曼欣： 这个已经是幂级数的形式了,其中a(0)=1,a(2)=1,其他项的系数为0.
会同县13588055654： (1+X^2)^1/2的幂级数展开请问右式的双阶乘是怎么得到的,基本的公式我能够推到,但是这个结果我实在能力有限,也许是一个很简单的步骤我没想到,如果... - ？
芮炕曼欣：[答案] 你可能理解错了双阶乘的定义:(2n)! ≠ ((2n)!)!(2n)! = 2*4*6*...*2n(2n-1)! = 1*3*5*...*(2n-1)
会同县13588055654： 利用取对数的方法,求下列幂指函数的极限lim(1+1/x^2)^x - ？
芮炕曼欣： 原式=lime ^xIn(1+1/x^2)=lime^lim1/x=1 In(1+1/x^2)~1/x^2
会同县13588055654： 1/(x+1)^2求幂级数展开 - ？
芮炕曼欣： 利用1/(1+x)=∑<n从0到∞>(-x)^n,当|x|<1,两边求导得到-1/(1+x)²=∑<n从0到∞>((n+1)(-1)^(n+1))x^n,|x|<1.
会同县13588055654： 函数项级数 求幂级数的和函数 1+x^2+x^4+...+x^n+... - ？
芮炕曼欣：[答案] 就是公比为x^2的等比数列的求和 因此和函数=1/(1-x^2),收敛区间为(-1,1)
会同县13588055654： y= (1+x)^x^2的导数.就是1+x的x的平方次幂 - ？
芮炕曼欣： lny = x²ln(1+x) y'/y = 2xln(1+x) +x²/(1+x) y' = [2xln(1+x) +x²/(1+x)]y = [2xln(1+x) +x²/(1+x)](1+x)^x² = 2x(1+x)^x^2*ln(1+x) + x²(1+x)^(x²-1)
会同县13588055654： ln(1+x+x^2) 展开成幂级数的时候,直接使用公式ln(1+x) 得到的形式虽然不是幂的形式 - ？
芮炕曼欣： 你直接使用公式ln(1+x) 得到的形式就不是x的幂的形式,你的收敛区间也不一定就是x的收敛区间
会同县13588055654： 求幂函数1+(∞)∑(n=1)(–1)∧n*x∧(2n)/(2n)(|x|<1)的和函数f(x) - ？
芮炕曼欣： 求导f'(x)=∑(-1)^n*x^(2n-1)=-x*∑(-x^2)^(n-1)=-x*1/(1+x^2)=-x/(1+x^2). 积分,f(x)=f(0)+∫(0到x) f'(t)dt=1-1/2*ln(1+x^2). 令f'(x)=0得x=0,x>0时f'(x)0,所以f(0)是f(x)的极大值,极大值f(0)=1
会同县13588055654： 1/(1+x)^2的幂级数展开式 - ？
芮炕曼欣： 1/(1+x)^2的展开式 套用 下列(1+x)^-2 的展开公式,有 (1+x)^-2=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-....+(-1)^(n-1) . n . x^(n-1)+....
