高二数学题! 在平面直角坐标系中,o是坐标原点,抛物线E的方程为y的平方=4x.已知两点M（1、-3）、N（5、1）

高二数学题! 在平面直角坐标系中,o是坐标原点,抛物线E的方程为y的平方=4x.已知两点M（1、-3）、N（5、1）~

由M,N坐标可求出过M,N直线方程为y=x-4，与抛物线联立方程组可得y^2-4y-16=0
x^2-12x+16=0
设OA,OB方程为y1=k1x1,y2=k2x2,
k1k2=y1y2/x1x2,
y1y2=-16,x1x2=16,
所以k1k2=-1,OA,OB垂直

解：设CD所在直线为x=ky+4
代入y²=4x
y²=4(ky+4)
y²-4ky-16=0
y1+y2=4k
y1×y2=-16
设C，D的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）
Koc×Kod=（y2-0）/（x2-0）×（y1-0）/（x1-0）
=y2y1/（x1x2）=y2y1/[(ky1+4)(ky2+4)]
=y2y1/[k²y1y2+4k(y1+y2)+16)]
=(-16)/[-16k²+16k²+16)
=-1
由此可知，OC⊥OD
所以命题成立。

证：直线MN：（x-1)(5-1)=(y+3)/(1+3)
x=y+4
抛物线E的方程x=y^2/4，
直线MN与抛物线E交点：
y^2-4y-16=0
y1+y2=4
y1y2=-16
x1+x2=(y1+4)+(y2+4）=12,
x1x2=(y1+4)(y2+4)
=y1y2+4(y1+y2)=16
|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=x1^2+x2^2-2x1x2+y1^2+y2^2+2y1y2
=x1^2+x2^2+y1^2+y2^2-32+32
=x1^2+x2^2+y1^2+y2^2
=|OA|^2+|OB|^2
OA⊥OB

MN的斜率为(1+3)/(5-1)=1，直线MN的方程为y+3=x-1、y=x-4。
联立抛物线方程与直线MN方程得：x^2-12x+16=0。
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=12、x1x2=16。
y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=16-4*12+16=-16。
向量OA=(x1,y1)、向量OB=(x2,y2)。
向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=16-16=0。
所以，OA垂直OB。

由M（1、-3）、N（5、1）求的直线MN的方程为x-y-4=0
联立抛物线与直线方程组成方程组
y^2=4x
x-y-4=0
得x^2-12x+16=0
x1*x2=16 x1+x2=12 A点(x1,y1）B点（x2,y2)
又kOA=y1/x1 kOB=y2/x2
kOA*KOB=(Y1*Y2)/(X1*X2)=2根号x1*(-2根号x2）/x1*x2=-16/16=-1
所以OA与OB垂直

证
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线AB斜率为k
又直线过点M(1,-3),N(5,1)得 k=(1+3)/(5-1)=1
∴直线AB的方程为y+3=x-1,即x=y+4,联立抛物线方程y^2=4x,消去x得
y^2-4y-16=0,由韦达定理得 y1+y2=4,y1y2=-16
又x1=y1+4,x2=y2+4,∴x1*x2=(y1+4)*(y2+4)=y1y2+4(y1+y2)+16=-16+16+16=16
向量OA=(x1,y1),向量OB=(x2,y2)
向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=16-16=0
OA垂直于OB

设A(x1,y1),B(x2,y2)
MN: y=x-4 再和y^2=4x 联立，得x^2-12x+16=0 x1x2+y1y2=2x1x2-4(x1+x2)+16=2*16-4*12+16=0,所以oA垂直于oB

直线MN的方程式为：y=Kx+b 把MN两点带入得K=1 b=-4 则方程式的解析式为 y=x-4①
y^2=4x② 把①②联立得 x^2-12x+16=0 则有 x1+x2=12 x1x2=16 OA向量和OB向量相乘有
x1x2+y1y2=16+（x1-4）（x2-4）=16+x1x2-4（x1+x2）+16=16+16-4*12+16=0
所以OA和OB垂直。

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