用心形线计算积分的面积r=2（1+cosφ）

用定积分计算心形线r=a(1-cosθ)的面积。~

结果为：

解题过程如下：

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！
扩展资料
性质：
任何一根连续的线条都称为曲线。包括直线、折线、线段、圆弧等。处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。
作为推论，如果两个 上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。
以曲线的全部或确定的一段作为研究对象时，就得到曲线的整体的几何性质。设曲线C的参数方程为r=r(s)，s∈【α,b)】，s为弧长参数,若其始点和终点重合r(α)=r(b))，这时曲线是闭合的，称为闭曲线。若它在这点的切向量重合，即r┡(α)=r┡(b))，且自身不再相交。

答案为：3π/2*a^2
2sqrt(2)πa^2(1 cosθ)^(3/2)dθ把积分变量代换成θ/2
可以比较当然
如果说心形线凹进去的部分不算侧面积
只要求出沿极轴方向离顶点最远



数学表达方法：
极坐标方程：
水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)
垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)

直角坐标方程：
心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

^考虑半个心形线（θ属于0到180度），每一段弧元（ds=sqrt(dr^2+(rdθ)^2)）绕极轴转成一个梯形环面元，面积等于2πR*ds，R是该弧到极轴的距离：R=rsinθ。

所以立体的侧面积就是：2πRds的积分，把上面的R和ds代入，并利用条件代入r的表达式。

把积分变量代换成θ/2，可以比较容易地解出定积分式：16πa^2*（x-x^3/3），x=sin(θ/2)

结果分别是：(32πa^2)/3和6sqrt(3)πa^2

扩展资料：

极坐标方程

水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)

垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)

直角坐标方程

心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

参数方程

x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))

所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a。

参考资料来源：百度百科-心脏线

用心形线计算积分的面积r=2（1+cosφ）：

心脏可以极坐标的形式表示： r =a( 1 - sin θ)。方程为ρ(θ) = a(1 + cosθ)的心脏线的面积为：S=3（πa^2）/2。

扩展资料

数学表达

极坐标方程

水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)

垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)

直角坐标方程

心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

参数方程

x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))

所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a。

题目错了应该是r=2和r=(1+cos)
用极坐标积分就行啊

---

钦南区15726937605： 计算心形线r=a(1+cosθ)与圆r=a所围图形面积 - ？
慕山先声： 用定积分来求,根据公式,心型线的长度设为L,那么 L=∫(r^2+r'^2)^(1/2)dθ 其中,r'表示r的导数,积分上限2π,下限为0 L=∫{[a(1+cosθ)]^2+(asinθ)^2}^(1/2)dθ =a*∫[2+2cosθ)^(1/2)dθ =2a*∫|cos(θ/2)|dθ=2a*[∫cos(θ/2)dθ (上限为π,下限为0)+∫...

钦南区15726937605： 计算心形线r=a(1+cosθ)的面积. - ？
慕山先声： 考虑半个心形线(θ属于0到180度),每一段弧元(ds=sqrt(dr^2+(rdθ)^2))绕极轴转成一个梯形环面元,面积等于2πR*ds,R是该弧到极轴的距离: R=rsinθ. 所以立体的侧面积就是: 2πRds的积分,把上面的R和ds代入,并利用条件代入r的...

钦南区15726937605： 求心形曲线r=a(1+cosθ)(a>0)所围成的面积 - ？
慕山先声： 这应该用定积分来求. 根据公式,心型线的长度设为L,那么 L=∫(r^2+r'^2)^(1/2)dθ 其中,r'表示r的导数,积分上限2π,下限为0 L=∫{[a(1+cosθ)]^2+(asinθ)^2}^(1/2)dθ =a*∫[2+2cosθ)^(1/2)dθ =2a*∫|cos(θ/2)|dθ=2a*[∫cos(θ/2)dθ (上限为π,下限为0)+∫-cos(θ/2)dθ(下限为π,上限为2π)] =8a

钦南区15726937605： 利用二重积分计算下列曲线所围成图形面积:心形线r=a(1cosθ)与圆r=2acosθ - ？
慕山先声：[答案] 计算的只是红色部分面积:为(1/2)πa² 如果要求的面积是r ≤ a(1 + cosθ),r ≤ 2acosθ部分的话这单独是r = 2acosθ围成的面积,为πa²,因为心形线把这整个圆形都包围在内.

钦南区15726937605： 求r=2cosθ和r=1+cosθ所围成的面积 - ？
慕山先声： 心脏线和圆围成的区域有几部分,公共部分, 图形关于X轴对称,算一半,加倍即可. 在[0,π/2]之间,是圆围成的面积,在[π/2,π]之间,是心脏线围成的面积., 在[0,π/2]之间 ,是圆围成的面积,(在Y轴的右面); 面积=2*∫0.5dθ=π/2 在[π/2,π]之间...

钦南区15726937605： 求由圆r=2和心形线r=2(1+cos)所围成的图形的面积 - ？
慕山先声： 题目错了应该是r=2和r=(1+cos)用极坐标积分就行啊

钦南区15726937605： 心形线的集坐标怎么求面积 - ？
慕山先声： 极坐标下面积公式为: s=0.5*积分f^2*da 其中a为角,f为径长,此题为p,积分上下限对应角a的范围 此题中: s=0.5∫(1+cosa)^2da,0<=a<=2π 即s=0.5∫(1+2cosa+cosa方)da=0.5∫(1+2cosa+[cos2a+1]/2)da =0.5[3a/2+2sina+sin2a/2],a从0到2π 即s=0.5*3π=3π/2

钦南区15726937605： 求心形线r=2(1+cosθ)与圆r=2所围图形的公共部分 - ？
慕山先声：[答案] 你好我给你解决! r=2(1+cosθ)与r=2所围成的面积 这两个极坐标方程表示了2个圆,一个半径为2,后一个为2+2cosθ,当θ=90度时了两个圆内切 围成面积就是r=2的圆 就是pi*2^2

钦南区15726937605： 定积分求心形线围成图形面积时,带入定积分公式,上下限怎么取? - ？
慕山先声： 由对称性,计算 -π/2 ≤ a ≤ π/2 部分, 再 2 倍. S = 2∫<-π/2, π/2>(1/2)[3(1-sina)]^2 da = 9∫<-π/2, π/2>[1-2sina+(sina)^2] da = 9∫<0, π/2>2[1+(sina)^2] da = 9∫<0, π/2>(3+cos2a)da = 9[3a+(1/2)sin2a]<0, π/2> = 27π/2

钦南区15726937605： 利用曲线积分计算心形线r=a(1 - cosx)围成图形的面积 - ？
慕山先声：[答案] S=(1/2)∫(0->2π) (r^2)dθ=(1/2)∫(0->2π) [a^2(1-cosθ)^2]dθ =(3πa^2)/2