如何通过计算曲线积分的方法求解星形线面积？
用曲线积分求星形线的面积的方法：
根据第二类曲线积分和格林公式，
所求的面积:S=∫∫dxdy=∫L xdy=∫(0->2π) a(cost)^3d(a(sint)^3)=(3πa^2)/8
注：格林公式如下：
例题：用曲线积分计算星形线x=cos^3t,y=sin^3t，其中（0<t<2pi）的面积。
转化为第二类曲线积分用格林公式推广式做，即由推出A=1/2（∫xdy-ydx）。
那么这个星形线的面积就可以表示为S=1/2∫【0，2π】（3cos^4sin^2+3sin^4cos^2dt，接下来只需要算一个定积分即可，最后化简出来是3/2∫【0，2π】(1/8—1/8cos4t)dt，算出来S=3π/8。
扩展资料：
利用曲线积分求面积的例子：
设（t,t^2+1）为曲线段y=x^2+1上的点，
(1)求出由该曲线与曲线在此点处的切线，以及x=0，x=a所围成的面积A(t).
用定积分求解
解:(1)
对x求微分有:dy/dx=2x
所以所求切线得斜率是2t,
所以切线方程用点斜式得:y=2t(x-t)+t^2+1
整理得: 2tx-y-t^2+1=0
又由微积分得定义可知要求的面积
a
A(t)=∫0(x^2+1)dx
a a
=∫0x^2dx+∫0dx
a a
=[1/3x^3]0 + [x]0
=1/3a^3+a
所以A(t)=1/3a^3 +a
参考资料来源：百度百科-格林公式
如何求闭合曲线积分?
闭合曲线积分：参数化。将曲线C用参数方程表示出来。求导。求出参数方程对应的切向量r′（t）。计算。将切向量与向量场F（x，y）做点乘，并对整个积分区间进行积分。闭合曲线指的是一个或多个连接起点和终点的曲线段组成的图形，其中起点和终点重合，因此形成一个闭合的曲线。计算曲线周长：首先需要计算...
如何用格林公式计算曲线积分?
选择适当小的r把原点挖掉，可以保证在这个环形区域内P和Q都变成可微分函数，从而满足了格林公式。事实上就是把外面大边界的积分转化到里面小的圆圈上的积分，这样的好处是里面的圆圈是一个规则的图形，很容易写出方程，利用第二型曲线积分的标准求法去求解。适当小就是保证小圆盘包含着原点而且包含于大...
如何求对坐标的曲线积分?
对弧长与对坐标曲线积分的区别 一、含义不同：弧长的曲线积分是关于s的，将x，y r，转换为ds，而对坐标曲线的积分是反过来的。二、计算不同：对弧长的积分只是对“弧长的大小积分”，而对坐标的积分则包含对“大小与方向”两个方面的积分。从形式上看，对弧长的积分是标量之间的乘法，对坐标的积分...
高数,对弧长的曲线积分的计算法,公式是如何得到的?
注：ds与dx，dy是勾股关系：即dx，dy是两个直角边，ds是弧的微分，把此微弧看做直线段 故ds=√(dx²+dy²)；然后将根号里的两项都除以dt²，再在根号外乘以dt就等于没乘没除了，公 式就是这么来的。
曲线积分怎么计算,要步骤
曲线积分怎么计算,要步骤 我来答 1个回答 #热议# 生活中有哪些成瘾食物?尹六六老师 2015-06-03 · 知道合伙人教育行家 尹六六老师 知道合伙人教育行家 采纳数:33776 获赞数:143975 百强高中数学竞赛教练, 大学教案评比第一名, 最受学生欢迎教 向TA提问 私信TA 关注 展开全部 追问 这种题是...
高数求解曲线积分的一般步骤。(先干什么后干什么)
第一类曲线积分，弧长积分 1）先看积分路径 若路径是由多个折线组成的，则要拆开，按照各个线段积分 2）若在对应的积分路径上，被积函数与其相同 可先把路径函数代入被积函数中化简 3）计算ds ds=√(1+y'²)dx，这是X型 ds=√(1+x'²)dy，这是Y型 ds=√(x'²+y'²...
曲线积分的计算方法
这个f(εi,ηi)和Δsi应该写在一块才对。因为物理上来讲，对于长度微元Δsi，它对应的线密度为f(εi,ηi)，所以f(εi,ηi)*Δsi代表的是曲线微元的质量。所以f(εi,ηi)*Δsi=∫(ti-1,ti) f(φ(t), ψ(t))√[(φ'(t))^2+(ψ'(t))^2] dt 然后求极限的话就是lim ...
第一类曲线积分计算公式
二、弧长微元的计算：曲线C上任意两点P和Q之间的弧长可以通过积分来表示为：s=\\int_{P}^{Q}ds，其中，ds表示弧长微元。在参数曲线表示下，我们可以通过导数向量\\mathbf{r}'(t)的模长来表示弧长微元：ds=\\mathbf{r}'(t)\\dt其中，dt表示参数微元。三、第一类曲线积分的计算过程：根据第一类...
如何计算第二类曲线积分?
第二类曲线积分计算方法：（1）直接代入曲线方程；（2）确定积分上下限直接计算即可。第二型曲线积分的计算只需要将曲线方程直接代入积分表达式，是谁，就把积分积分表达式里的这个变量全部替换即可。但是要注意最后是起点为积分上限，终点为积分下限。下面举例说明。（1）的解如下：（2）的解如下：...
曲线积分计算公式
曲线积分公式：w=Gh。在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成...
窄紫医创： 曲线积分求面积的公式:A=1/2∫xdy-ydx 这个公式的证明,简单的说: ∫Pdx+Qdy :L 如果积分曲线封闭,且为单联通,并有:P对Y偏导,Q对X偏导 应用格林公式有:∫Pdx+Qdy =∫∫(dP/dy-dQ/dx)dxdy 且知道,二重积分∫∫ƒ(x.y)dxdy 当ƒ(x.y)=1时 在数值上等于积分区的面积. 曲线积分就是通过这个途径来求面积的. 此题的做法是:A=1/2∫xdy-ydx= 1/2∫(3a²sin²tcos²tcos²t+3a²sin²tsin²tcos²t)dt=3∏a²/4 不知道结果对不对
叶城县13134482378： 曲线积分计算星形线面积用曲线积分计算星形线x=cos^3t,y=sin^3t,其中(0 - ？
窄紫医创：[答案] 转化为第二类曲线积分用格林公式推广式做,即由推出A=1/2(∫xdy-ydx).那么这个星形线的面积就可以表示为S=1/2∫【0,2π】(3cos^4sin^2+3sin^4cos^2dt,接下来你只需要算一个定积分即可,不过被积函数不太好积,自己算...
叶城县13134482378： 利用曲线积分,求星形线x=acos^3t y=asin^3t所围成的图形面积 - ？
窄紫医创： 答案为3/8*πa^2. 解题过程如下: x=acos^3t,y=asin^3t是星形线,它的面积为 ∫ydx=4*∫asin^3t(acos^3t)'dt,t:π/2→0 =-3*a^2∫sin^4t*cos^2tdt =-3a^2∫(sin^4t-sin^6t)dt =3/8*πa^2 扩展资料: 曲线积分分为: (1)对弧长的曲线积分 (第一类曲线积...
叶城县13134482378： 问: 曲线积分计算星形线面积 用曲线积分计算星形线x=cos^3t,y=sin^3t,问: 曲线积分计算星形线面积用曲线积分计算星形线x=cos^3t,y=sin^3t, - ？
窄紫医创：[答案] 利用格林公式的推广将面积化为曲线积分将参数方程代入解得,面积=3π/8过程如下图:
叶城县13134482378： ~~用曲线积分计算星形线x=a*(cost)**3; y=a*(sint)**3 所围图形的面积..... - ？
窄紫医创： 面积=积分(曲线L)xdy,dy=3a(sin)^2costdt =积分(从0到2pi)a(cost)^3*3a*(sint)^2*costdt =3a^2*积分(从0到2pi)(sint)^2*(cost)^4dt =3a^2*积分(从0到2pi)(1--cos^2t)(cost)^4dt =12a^2*【积分(从0到pi/2)(cost)^4dt--积分(从0到pi/2)(cost)^6dt】 =12a^2*【3/8--15/48】*pi/2 =3pi*a^2/8.
叶城县13134482378： 用曲线积分计算星形线x=a*(cost)**3; y=a*(sint)**3 所围图形的面积.用曲线积分计算星形线x=a*(cost)**3; y=a*(sint)**3 所围图形的面积.【注:x**3的意思是x的3... - ？
窄紫医创：[答案] 面积=积分(曲线L)xdy,dy=3a(sin)^2costdt =积分(从0到2pi)a(cost)^3*3a*(sint)^2*costdt =3a^2*积分(从0到2pi)(sint)^2*(cost)^4dt =3a^2*积分(从0到2pi)(1--cos^2t)(cost)^4dt =12a^2*【积分(从0到pi/2)(cost)^4dt--积分(...
叶城县13134482378： 星形线的面积 - ？
窄紫医创： 由对称性,S=4∫(0→a)ydx =4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3] =12a^2*∫(0→π/2) (sint)^4*(cost)^2 dt =12a^2*∫(0→π/2) [(sint)^4-(sint)^6] dt =12a^2*[3/4*1/2*π/2-5/6*3/4*1/2*π/2] =(3πa^2)/8
叶城县13134482378： 利用曲线积分求图形面积 - ？
窄紫医创： 根据格林公式,S=1/2(∫xdy-ydx),再继续算第二型曲线积分就行了 你给的例题给错了,伯努利双纽线应该是(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2),极坐标下是r=a(cos2α)^1/2,把积分转换成角度α的定积分即可,答案是a^2
叶城县13134482378： 求星形线x=acos3ty=asin3t (0≤t≤π2)的质心,其中a>0为常数. - ？
窄紫医创：[答案] 先求ds,ds=x′2(t)+y′2(t)dt=3a|sintcost|dt∴总长度l=∫l0ds=∫π20x′2(t)+y′2(t)dt=∫π203a|sintcost|dt=32a∫l0xds=∫π20acos3t•3asintcostdt=35a2∫l0yds=∫π20asin3t•3asintcostdt=35a2∴.x=.y=2...
叶城县13134482378： 计算曲线积分(x^2+y^2)ds,其中L是圆周x^2+y^2=2x - ？
窄紫医创： 令x=cost, y=sint. 则ds=根号下{(dx)^2+(dy)^2}=dt.这时积分曲线是圆心在x轴上的点(1,0)、半径为1且与y轴相切(切点是原点)的圆周,参数t的变化范围是-pai/2到pai/2. 于是原积分=2cost在-pai/2到pai/2上的积分=4. 这是第一型曲...
