初中三年级数学

初中三年级~

初中就要毕业了，要面对人生的一个新的转折点，您的成绩不错的话可以尽力考高中。
本身知识程度不太高可以学一些简单的而技术，不然学很多东西是有难度的，最好是学一门纯技术，不然学得半斤八两又没什么用。
比如现在学计算机就挺不错的，比较好找工作，现在电脑类专业很热门的，学电子商务很适合现在的年轻人。

1 一次函数
一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。（4）最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 六、常用公式：1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/24.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

2 二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁ ，0）和 B（x₂，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
3 锐角三角函数

知识点总结


常见考法
（1）利用同角三角函数的三个重要关系化简求值；
（2）利用特殊角的三角函数解决实际生活中有关距离的问题。
误区提醒
（1）运用三角函数概念及其关系式时，计算易错，名称易混淆；（2）没有明确三角形是直角三角形或认定中Rt△ABC中的∠C=90º的，从而错误地求出锐角的三角函数值；（3）特殊角的三角函数值易混淆，也容易把一个角与其余角的三角函数值混淆。【典型例题】(2010年三亚市月考)在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（ ） A. b=a·sinB B. a=b·cosB C. a=b·tanB D. b=a·tanB【解析】由锐角三角函数的定义，知∠B的对边与邻边的比值是∠B的正切，即tanB＝b/a ；b=a·tanB。

第二讲：圆
知识梳理 知识点一、圆的定义及有关概念[ 重点：掌握圆的定义及有关概念 难点：熟练掌握运用概念
1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
例．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．
解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10 cm，8 cm
知识点二、平面内点和圆的位置关系
重点：掌握平面内点和圆的位置关系及数量关系
难点：运用点和圆的位置关系及数量关系
平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内
当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。
当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。
当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。
例．如图，在 中，直角边 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，以点 为圆心， 的长为半径画圆，则点 在圆A的_________，点 在圆A的_________．
解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部
练习：在直角坐标平面内，圆 的半径为5，圆心 的坐标为 ．试判断点 与圆 的位置关系．
答案：点 在圆O上．
知识点三、圆的基本性质
重点：掌握垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论
难点：定理及推论的运用
1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。
3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。[来源:学科网ZXXK]
圆周角定理推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
例1．如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+（ ）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案C
例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( )
A、60° B、45° C、30° D、15°
解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A

例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

(1) (2)
解题思路：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．
解：（1）AB=CD 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F
∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF
连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据 垂径定理可得：AB=CD
（2）作OE⊥ AB，OF⊥CD，垂足为E、F ∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°
∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接OA、OB、OC、OD 易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD
例4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
解题思路：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
解：BD=CD 理由是：如图24-30，连接AD
∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB ∴BD=CD
练习
1： AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．
2．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求弧BE的度数和弧EF的度数．

3.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．
答案：1.(1) AC、AD在AB的同旁，如右图所示:
∵AB=16，AC=8，AD=8 ，
∴ AC= （ AB），∴∠CAB=6 0°，
同理可得∠DAB=30°， ∴∠DAC=30°．
（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．
2．BE的度数为80°，EF的度数为50°．3.（1）略 （2）4，（-2 ，2）
知识点四、圆与三角形的关系
重点：掌握确定圆的条件、三角形的外心、内心
难点：确定圆的条件、三角形的外心、内心等知识熟练运用
1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。
3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。
4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。
5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
例1．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

解题思路： 连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置．
例2．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，
则∠BOC=（ ）
A．130° B．100° C．50° D．65°
解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A

例3．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）．
A．5 cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案 B

练习1、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平
分∠ACB，则弦AD长为（ ）
A． B． C． D．3

2．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．
答案1.A 2. 130° 160°
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
重点：，直线和圆的位置关系的性质和判定
难点：直线和圆三种位置关系的性质及判定。
当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。[来源:Zxxk.Com]
当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径
切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。
例1、 在 中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？

解题思路：作AD⊥BC于D
在 中，∠B=30° ∴
在 中，∠C=45°
∴ CD=AD
∵ BC=6cm ∴
∴
∴ 当 时，⊙A与BC相切；当 时，⊙A与BC相交；当 时，⊙A与BC相离。
例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．
由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10
解：（1）CD与⊙O相切
理由：①C点在⊙O上（已知）
②∵AB是直径
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°
∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A
∴∠OCA=∠DCB
∴∠OCD=90°
综上：CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠D=30°
∴∠COD=60°
∴∠A=30°
∴∠BCD=30°
∴BC=BD=10
∴AB=20，∴r=10
答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．
练习：1.如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________．

2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．
3．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，过点P的任一直线交⊙O于B、C，连结AB、AC，连PO交⊙O于D、E．
（1）求证：∠PAB=∠C．
（2）如果PA2=PD•PE，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O的半径．

答案： 1．A 2．B 3. （1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示．
（2）由已知PA2=PD•PE，可得⊙O的半径为 ．
知识点六、圆与圆的位置关系
．重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．
难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．
　　　　外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
相离：
　　　　内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
　相切：
外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
　　　　内切：两圆只有一个公共点，除公共点 外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相交　：两圆只有两个公共点。
设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．
外离 d>r1+r2
外切 d=r1+r2
相交 │r1-r2│<d<r1+r2
内切 d=│r1-r2│
内含 0≤d<│r1-r2│（其中d=0，两圆同心）
例1．两个同样大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1） (2)
解题思路：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．
解：∵PO=OO′=PO′
∴△PO′O是一个等边三角形
∴∠OPO′=60°
又∵TP与NP分别为两圆的切线，
∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°
∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°
例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，
求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？

(1) (2)
（2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．
解题思路：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA；（2）作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA-rO．
解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，rA=15-7=8为半径作圆，则⊙A的半径为8cm
（2）作法：以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm
练习：1．已知两圆的半径分别为5cm和7cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
2．半径为2cm和1cm的⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且O1A⊥O2A，则公共弦AB的长为（ ）．
A． cm B． cm C． cm D． cm
3．如图所示，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（ ）．
A．y= x2+x B．y=- x2+x
C．y=- x2-x D．y= x2-x
4．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．
（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；
（2）若⊙B过M（-2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

答案: 1．B 2．D 3．B
4．（1）AB=5>1+3，外离．
（2）设B（x，0）x≠-2，则AB= ，⊙B半径为│x+2│，
①设⊙B与⊙A外切，则 =│x+2│+1，
当x>-2时， =x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），
当x<-2时， =-x-1，化简得x=4>-2（舍），
②设⊙B与⊙A内切，则 =│x+2│-1，
当x>-2时， =x+1，得x=4>-2，∴B（4，0），
当x<-2时， =-x-3，得x=0，

知识点七、弧长和扇形、圆锥侧面积面积
重点：n°的圆心角所对的弧长L= ，扇形面积S扇= 、圆锥侧面积面积及其它们的应用．
难点：公式的应用．
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积= rL+r2．
例1．操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

解题思路：如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，
又∠MON=90°，∠AOM=∠DON
∴△AMO≌△DNO
∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN=AD=a
特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300 cm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
解题思路：（1）由S扇形= 求出R，再代入L= 求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
解：（1）如图所示：
∵300 =
∴R=30
∴弧长L= =20 （cm）
（2）如图所示：
∵20 =20 r
∴r=10，R=30
AD= =20
∴S轴截面= ×BC×AD
= ×2×10×20 =200 （cm2）
因此，扇形的弧长是20 cm卷成圆锥的轴截面是200 cm2．
练习1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ）
A．6 B． C．3 D．3
答案1.B 2.C

士大中的恐惧中v电子科技滚石风格电子科技给你的风格项目v你等着v下v新课程v的v

热缩套管还是忍耐痛苦发的，买不买不规范不能说可能不上了看过比赛来看结果给人好感；蓝色天空然后你你说你会干嘛
夫事件发生
知识梳理 知识点一、圆的定义及有关概念[ 重点：掌握圆的定义及有关概念 难点：熟练掌握运用概念
1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
例．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．
解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10 cm，8 cm
知识点二、平面内点和圆的位置关系
重点：掌握平面内点和圆的位置关系及数量关系
难点：运用点和圆的位置关系及数量关系
平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内
当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。
当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。
当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。
例．如图，在 中，直角边 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，以点 为圆心， 的长为半径画圆，则点 在圆A的_________，点 在圆A的_________．
解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部
练习：在直角坐标平面内，圆 的半径为5，圆心 的坐标为 ．试判断点 与圆 的位置关系．
答案：点 在圆O上．
知识点三、圆的基本性质
重点：掌握垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论
难点：定理及推论的运用
1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。
3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。[来源:学科网ZXXK]
圆周角定理推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
例1．如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+（ ）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案C
例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( )
A、60° B、45° C、30° D、15°
解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A

例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

(1) (2)
解题思路：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．
解：（1）AB=CD 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F
∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF
连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据 垂径定理可得：AB=CD
（2）作OE⊥ AB，OF⊥CD，垂足为E、F ∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°
∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接OA、OB、OC、OD 易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD
例4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
解题思路：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
解：BD=CD 理由是：如图24-30，连接AD
∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB ∴BD=CD
练习
1： AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．
2．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求弧BE的度数和弧EF的度数．

3.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．
答案：1.(1) AC、AD在AB的同旁，如右图所示:
∵AB=16，AC=8，AD=8 ，
∴ AC= （ AB），∴∠CAB=6 0°，
同理可得∠DAB=30°， ∴∠DAC=30°．
（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．
2．BE的度数为80°，EF的度数为50°．3.（1）略 （2）4，（-2 ，2）
知识点四、圆与三角形的关系
重点：掌握确定圆的条件、三角形的外心、内心
难点：确定圆的条件、三角形的外心、内心等知识熟练运用
1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。
3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。
4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。
5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
例1．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

解题思路： 连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置．
例2．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，
则∠BOC=（ ）
A．130° B．100° C．50° D．65°
解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A

例3．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）．
A．5 cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案 B

练习1、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平
分∠ACB，则弦AD长为（ ）
A． B． C． D．3

2．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．
答案1.A 2. 130° 160°
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
重点：，直线和圆的位置关系的性质和判定
难点：直线和圆三种位置关系的性质及判定。
当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。[来源:Zxxk.Com]
当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径
切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。
例1、 在 中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？

解题思路：作AD⊥BC于D
在 中，∠B=30° ∴
在 中，∠C=45°
∴ CD=AD
∵ BC=6cm ∴
∴
∴ 当 时，⊙A与BC相切；当 时，⊙A与BC相交；当 时，⊙A与BC相离。
例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．
由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10
解：（1）CD与⊙O相切
理由：①C点在⊙O上（已知）
②∵AB是直径
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°
∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A
∴∠OCA=∠DCB
∴∠OCD=90°
综上：CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠D=30°
∴∠COD=60°
∴∠A=30°
∴∠BCD=30°
∴BC=BD=10
∴AB=20，∴r=10
答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．
练习：1.如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________．

2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．
3．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，过点P的任一直线交⊙O于B、C，连结AB、AC，连PO交⊙O于D、E．
（1）求证：∠PAB=∠C．
（2）如果PA2=PD•PE，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O的半径．

答案： 1．A 2．B 3. （1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示．
（2）由已知PA2=PD•PE，可得⊙O的半径为 ．
知识点六、圆与圆的位置关系
．重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．
难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．
　　　　外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
相离：
　　　　内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
　相切：
外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
　　　　内切：两圆只有一个公共点，除公共点 外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相交　：两圆只有两个公共点。
设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．
外离 d>r1+r2
外切 d=r1+r2
相交 │r1-r2│<d<r1+r2
内切 d=│r1-r2│
内含 0≤d<│r1-r2│（其中d=0，两圆同心）
例1．两个同样大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1） (2)
解题思路：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．
解：∵PO=OO′=PO′
∴△PO′O是一个等边三角形
∴∠OPO′=60°
又∵TP与NP分别为两圆的切线，
∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°
∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°
例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，
求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？

(1) (2)
（2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．
解题思路：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA；（2）作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA-rO．
解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，rA=15-7=8为半径作圆，则⊙A的半径为8cm
（2）作法：以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm
练习：1．已知两圆的半径分别为5cm和7cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
2．半径为2cm和1cm的⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且O1A⊥O2A，则公共弦AB的长为（ ）．
A． cm B． cm C． cm D． cm
3．如图所示，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（ ）．
A．y= x2+x B．y=- x2+x
C．y=- x2-x D．y= x2-x
4．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．
（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；
（2）若⊙B过M（-2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

答案: 1．B 2．D 3．B
4．（1）AB=5>1+3，外离．
（2）设B（x，0）x≠-2，则AB= ，⊙B半径为│x+2│，
①设⊙B与⊙A外切，则 =│x+2│+1，
当x>-2时， =x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），
当x<-2时， =-x-1，化简得x=4>-2（舍），
②设⊙B与⊙A内切，则 =│x+2│-1，
当x>-2时， =x+1，得x=4>-2，∴B（4，0），
当x<-2时， =-x-3，得x=0，

知识点七、弧长和扇形、圆锥侧面积面积
重点：n°的圆心角所对的弧长L= ，扇形面积S扇= 、圆锥侧面积面积及其它们的应用．
难点：公式的应用．
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积= rL+r2．
例1．操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

解题思路：如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，
又∠MON=90°，∠AOM=∠DON
∴△AMO≌△DNO
∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN=AD=a
特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300 cm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
解题思路：（1）由S扇形= 求出R，再代入L= 求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
解：（1）如图所示：
∵300 =
∴R=30
∴弧长L= =20 （cm）
（2）如图所示：
∵20 =20 r
∴r=10，R=30
AD= =20
∴S轴截面= ×BC×AD
= ×2×10×20 =200 （cm2）
因此，扇形的弧长是20 cm卷成圆锥的轴截面是200 cm2．
练习1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ）
A．6 B． C．3 D．3
答案

肌肤抵抗深刻理解

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年油射干： 初三数学知识点 第一章 二次根式 1 二次根式:形如 ( )的式子为二次根式; 性质: ( )是一个非负数; ; . 2 二次根式的乘除: ; . 3 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进...

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年油射干： (1)取CD中点E,连接OE,因为AD||BC,点O和点E分别为中点,所以AD+BC=2OE=AB 也就是说OE是圆的一个半径.而又因为角C=90°,所以OE垂直于CD,所以CD为圆O的切线. (2)AB是与新圆相切. 证明:延长BC到F,使CF=AD 即AB=BF,所以角BAF=角F,而因为AD||BC 所以角F=角DAF 所以角DAF=角BAF,即AE是角BAD的角平分线. 过点E做EG垂直于AB,交AB于G 则可得出,DE=EG(角平分线上的点到两边的距离相等)而DE为圆E的半径,所以EG也是圆的半径,并且垂直于AB,所以AB切圆E,切点就是G

千山区13373817116： 初三数学知识 - ？
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千山区13373817116： 初中3年级数学？
年油射干：设:圆心为O 连结AO且延长交圆O于点E 连结BE 所以角ABE=90度 因为角EBC=角EAC(同弧的圆周角相等) 所以角ABC+角EAC=90度 又因 PD=PA 即:角PDA=角PAD 又因 角ADP=角ABD+角BAD 角PAD=角PAC+角CAD 又因 角BAD=角CAD(ad平分角bac) 所以 角ABD=角PAC 因为 角ABC+角EAC=90度(已经证明) 所以 PAC+角EAC=90度 即:垂直 又因AB是直径 所以 pa是圆o的切线

千山区13373817116： 数学 数学 初三？
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