如何利用定积分定义求定积分

定积分 利用定积分概念求定积分~

解：原式=lim(n→∞)∑(1/n)1/(1+k/n)，k=1,2，……，n。
按照定积分的定义，视“1/n”为dx，“k/n”为x【x∈(0,1]】，
∴原式=∫(0,1)dx/(1+x)=ln(1+x)丨(x=0,1)=ln2。
供参考。

1、通过恒等变形，将待求数列极限化为特殊形式的积分和。
2、寻找被积函数 f 以及确定积分上下限。
3、根据定积分的定义，写成定积分。
4、计算定积分，得所求极限。
思路
当拿到一个若干项和求极限的题目时，如果它恰好符合利用定积分的定义，那么这时候就要自问两个问题：
（1）我的被积函数在哪里？
（2）积分上下限在哪里？

扩展资料
定积分定义：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式

该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为

并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。
根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：

特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：

参考资料来源：百度百科-定积分

由定积分定义，分区间n等份，取右端点。积分=西格马（k从1到n)(-(2k/n)^2+5)(2/n)=10-8n(n-1)(2n-1)=22/3

从LS的“∑(k从1到n)(-(2k/n)^2+5)(2/n)”继续做：
原式=∫(0→1)(-4x^2+5)d(2x)
=2[-4x^3/3|(0→1)+5x|(0→1)]
=22/3

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赣榆县19330101166： 如何利用定积分定义求定积分 - ？
柴博歧星： 由定积分定义,分区间n等份,取右端点.积分=西格马(k从1到n)(-(2k/n)^2+5)(2/n)=10-8n(n-1)(2n-1)=22/3

赣榆县19330101166： 如何利用定积分定义求定积分一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻t的速度为v(t)= - t2+5(2指的是平方,t的单位:h,v的单位:km/h),试计算这辆... - ？
柴博歧星：[答案] 由定积分定义,分区间n等份,取右端点.积分=西格马(k从1到n)(-(2k/n)^2+5)(2/n)=10-8n(n-1)(2n-1)=22/3

赣榆县19330101166： 跪求:用定积分定义计算1/(x^2)在(a,b)上的定积分!(步骤可详细点) - ？
柴博歧星： 先求1/(x^2)在(a,b)的原函数,就是什么函数的导数为x^(-2) 原函数为A=1/-3x^(-3) 所以1/(x^2)在(a,b)上的定积分为A(b)-A(a)的值

赣榆县19330101166： 利用定积分定义计算函数x的平方在[0,1]内的定积分,答案是1/3,求详细过程!谢谢~ - ？
柴博歧星：[答案] 不是吧,用定义. 首先先把y=x²在[0,1]上的图像画出来,再插入n个小区间.然后计算每个小矩形的面积.最后再求和.然后算n趋向于无穷大的极限就行了. 实际上可以用牛顿莱布尼兹公式算啊,先求不定积分,再代入上下限就行了.

赣榆县19330101166： 利用定义求定积分定积分号(积分下限0积分上限1)e^x dx - ？
柴博歧星：[答案] 原式=∫(0,1)e^xdx=lim(n->∞)[e^(1/n)/n+e^(2/n)/n+e^(3/n)/n+.+e^(n/n)/n] (由定积分定义得)=lim(n->∞){(1/n)[e^(1/n)+e^(2/n)+e^(3/n)+.+e^(n/n)]}=lim(n->∞){(e^(1/n)/n)[1+e^(1/n)+e^(2/n)+.+e^((n-1)/n)]}=l...

赣榆县19330101166： 【急】利用定积分的定义计算积分∫ a^xdx 上线1,下线0 - ？
柴博歧星：[答案] 你用原函数来做就行了.把积分区间均分为n份,分点为0=x0

赣榆县19330101166： 利用定积分的定义求y=x在(a,b)上的积分用定义 不是直接求~ - ？
柴博歧星：[答案] 因为y=x在[a,b]连续,故定积分存在.等分[a,b]为n个小区间,每个小区间的长度为(b-a)/n,取每个小区间的右端点xi=a+(b-a)i/n,有:∫(a,b)xdx=lim(n→+∞)∑(1,n)[a+(b-a)i/n][(b-a)/n]=lim(n→+∞)∑(1,n){a(b-a)/n+[(b-...

赣榆县19330101166： 利用定积分定义求积分利用定积分定义计算下面的积分(用对黎曼和求极限法) ∫[a,b]e^cxdx (c属于R) ∫[a,b]cosxdx ∫[a,b]sinxdx - ？
柴博歧星：[答案] 都很难计算的,特别是求极限 ∫(a到b)[e^(cx)]dx 底Δx=(b-a)/n 高f(ck)=e^[c*(b-a)*k/n]=e^[(cbk-cak)/n] 和式∑(下k=1上n) e^[(... cos[(bk-ak)/n] =(1/2)csc[(b-a)/(2n)]cos[(2bn-2an+b-a-nπ)/(2n)]-(1/2)cos[(b-a-nπ)/(2n)]csc[(b-a)/(2n)] ∴定积分=lim(n→+∞) [(b-a...

赣榆县19330101166： 这题怎么用定积分定义计算积分 - ？
柴博歧星： (b^2-a^2)/2

赣榆县19330101166： 用定积分的定义求∫(1,0)xdx的定积分值, - ？
柴博歧星：[答案] 设F(x)=∫xdx=(1/2)x^2+C 所以 原式=F(1)-F(0)=1/2 希望对你有点帮助!