求证 sin1+sin2+sin3+......+sinn <2
证明：（1）2sin1(sin1+sin2+sin3+...+sinn)
=cos0-cos2+cos1-cos3+cos2-cos4+...
+cos(n-2)-cosn+cos(n-1)-cos(n+1)
=cos0+cos1-cosn-cos(n+1)
（2）=>S=sin1+sin2+sin3+...+sinn=[cos0+cos1-cosn-cos(n+1)]/2sin1
=>S=[1+cos1-(cosn+cos(n+1))]/[2sin(1/2)*cos(1/2)]
=>S=[2*cos(1/2)*cos(1/2)-2cos(n+1/2)*cos(1/2)]/[2sin(1/2)*cos(1/2)]
=>S=[cos(1/2)-cos(n+1/2)]/sin(1/2)
（3）因为-cos(n+1/2)最大为1
所以[cos(1/2)-cos(n+1/2)]/2sin(1/2)<[cos(1/2)+1]/sin(1/2)
（4）又因为[cos(1/2)+1]/sin(1/2)=1/tg(1/2)
注意到sinx<x<tgx (0<x<pi/2)
所以有1/tg(1/2)<1/(1/2)=2
（5）至此sin1+sin2+sin3+...+sinn=[cos(1/2)-cos(n+1/2)]/sin(1/2)<1/tg(1/2)<2
最大值：2
证明：（1）2sin1(sin1+sin2+sin3+...+sinn)
=cos0-cos2+cos1-cos3+cos2-cos4+...
+cos(n-2)-cosn+cos(n-1)-cos(n+1)
=cos0+cos1-cosn-cos(n+1)
（2）=>S=sin1+sin2+sin3+...+sinn=[cos0+cos1-cosn-cos(n+1)]/2sin1
=>S=[1+cos1-(cosn+cos(n+1))]/[2sin(1/2)*cos(1/2)]
=>S=[2*cos(1/2)*cos(1/2)-2cos(n+1/2)*cos(1/2)]/[2sin(1/2)*cos(1/2)]
=>S=[cos(1/2)-cos(n+1/2)]/sin(1/2)
（3）因为-cos(n+1/2)最大为1
所以[cos(1/2)-cos(n+1/2)]/2sin(1/2)<[cos(1/2)+1]/sin(1/2)
（4）又因为[cos(1/2)+1]/sin(1/2)=1/tg(1/2)
注意到sinx<x<tgx (0<x<pi/2)
所以有1/tg(1/2)<1/(1/2)=2
（5）至此sin1+sin2+sin3+...+sinn=[cos(1/2)-cos(n+1/2)]/sin(1/2)<1/tg(1/2)<2
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建立直角坐标系
作以下圆(x+1/2)^2+(y-1/tan0.5)^2=[1/(2sin0.5)]^2
则从(0,0)开始，逆时针作长度为1的弦，每一条弦都从上一条的终点开始画。
可以轻松证明，每条弦对应的圆心角是1弧度。（其实所画的圆在x轴上截的可以算作第0条弦，长度为1，对于的圆心角是1弧度）
则，第n条弦在y轴上的投影就是sinn。
则sin1+sin2+sin3+...的取值就是这个圆的y的取值范围。
很容易求得
(1/tan0.5-1/sin0.5)/2<y(1/tan0.5+1/sin0.5)/2
即
-0.128<y<1.958
则sin1+sin2+sin3+.......sinn<1.958<2
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如果学过复数，我就再提供一个方法
sinn=Im(exp(ni))-----虚部
sin1+sin2+.....
=Im{exp(i)+exp(2i)+...+exp(ni)}---等比数列
=Im{[exp(i)-exp(ni+i)]/1-exp(i)}
=Im(z)
2Im(z)=(z-z*)/i
=p(1-cosn)+sinn;其中p=sin1/2(1-cos1)=1.83
=p+√(p^2+1)[(1/√(p^2+1))sinn-(p/√(p^2+1))cosn]
=p+√(p^2+1)[sin(n-arccos(1/√(p^2+1)))];
因为-1<sin()<1
则p-√(p^2+1)<2Im(z)<p+√(p^2+1)
即-0.128<Im(z)<1.958
---------------
两者结论一致
这是真命题
证明:
因为 2sin1(sin1+sin2+sin3+...+sinn)
=cos0-cos2+cos1-cos3+cos2-cos4+...
+cos(n-2)-cosn+cos(n-1)-cos(n+1)
=cos0+cos1-cosn-cos(n+1)
又因为 cosn+cos(n+1)=(1+cos1)cosn-sin1sinn
>-根号下((1+cos1)^2+(sin1)^2)
=-根号下(2+2cos1)
所以 cos0+cos1-cosn-cos(n+1)< 1+cos1+根号下(2+2cos1)<4*sin1
SO sin1+sin2+sin3+...+sinn<2
利用等差三角函数公式
公式：sinx+sin(x+d)+....+sin(x+nd)=sin(nd+d)*sin(x+nd)/sind
sin1+sin2+sin3+...sinn
=sin(n-1+1)*sin(1+n-1)/sin1
=sinn*sinn/sin1
sinn的平方≤1 0.8 <sin1<0.9
所以sinn*sinn/sin1<1.25<2
宗曼红色： 证明:(1)2sin1(sin1+sin2+sin3+...+sinn)=cos0-cos2+cos1-cos3+cos2-cos4+...+cos(n-2)-cosn+cos(n-1)-cos(n+1)=cos0+cos1-cosn-cos(n+1) (2)=>S=sin1+sin2+sin3+...+sinn=[cos0+cos1-cosn-cos(n+1)]/2sin1 =>S=[1+cos1-(cosn+cos(n+1...
安阳县17630999009： 求证 sin1+sin2+sin3+.+sinn sin1+sin2+sin3+.......sinn 1.1884 你不信自己算算.请大家在回答这个问题前一定先想清楚 然后自己验证一下.我会不断提高悬... - ？
宗曼红色：[答案] 利用等差三角函数公式 公式:sinx+sin(x+d)+.+sin(x+nd)=sin(nd+d)*sin(x+nd)/sind sin1+sin2+sin3+...sinn =sin(n-1+1)*sin(1+n-1)/sin1 =sinn*sinn/sin1 sinn的平方≤1 0.8
安阳县17630999009： sin1°+sin2°+sin3°+……sin179°等于 - ？
宗曼红色： ls歪解!!! sin1=sin179 sin1°+sin2°+sin3°+……sin179°=2(sin1°+sin2°+......+sin89°)+sin90° 令sin1°+sin2°+......+sin89°=y,由和差化积 sin1+sin89=2sin45cos44=2sin45sin46 sin2+sin88=2sin45cos43=2sin45sin47 ... sin44+sin46=2sin45...
安阳县17630999009： 三角函数求值1.sin1sin2sin3……sin89=?2.sin1+sin2+sin3……+sin89=?3.(sin1)^2+(sin2)^2+(sin3)^2+...+(sin89)^2=?4.cos1+cos2+cos3+……+cos89=?5.cos... - ？
宗曼红色：[答案] 1.利用公式sin(pi/3-a)sinasin(pi/3+a)=1/4sin3a,分组讨论2.乘cos1后对每一项积化和差3.运用sina=cos(pi/2-a),再用sin^2a+cos^2a=14.乘sin1后对每一项积化和差5.运用cos(pi-a)=-cosa6.运用cosa=-sin(pi/2-a),再用sin...
安阳县17630999009： sin1度+sin2度+...+sin359度 - ？
宗曼红色：[答案] sin1+sin181=0, sin2+sin182=0, . sin179+sin359=0 sin1+sin2+sin3+.+sin360=0
安阳县17630999009： (2013•杭州模拟)如图是某同学用于计算S=sin1+sin2+sin3+…+sin2012值的程序框图,则在判断框中填写() - ？
宗曼红色：[选项] A. k<2011? B. k<2012? C. k>2011? D. k>2012?
安阳县17630999009： sin1的平方+sin2的平方+sin3的平方+ +sin89的平方等于? - ？
宗曼红色： sin1+sin89=1 shi1的平方+……+sin89的平方=1乘44+sin45=44+1\2根号2
安阳县17630999009： sin1°+sin2°+sin3°+……sin179°等于谁能帮帮忙? - ？
宗曼红色：[答案] ls歪解!sin1=sin179 sin1°+sin2°+sin3°+……sin179°=2(sin1°+sin2°+.+sin89°)+sin90° 令sin1°+sin2°+.+sin89°=y,由和差化积 sin1+sin89=2sin45cos44=2sin45sin46 sin2+sin88=2sin45cos43=2sin45sin47 ....
安阳县17630999009： 计算:sin1°+sin2°+sin3°...+sin89°+sin90°同上 - ？
宗曼红色：[答案] sina*sin(60-a)*sin(60+a)=1/4*sin(3a) 所以1,59,61一组 3,57,63一组.29,31,89一组,共15组 sin1°sin3°sin5°…sin87°sin89°... =(1/2)^2sin18*cos18*cos36/cos18*sin45 =2^0.5/2^4 而sin90度=1 所以得结果为:=(1/4)^15*(1/4)^5*2^0.5/2^4+1 =2^0....
安阳县17630999009： sin1+sin2+sin3+…+sin89=? - ？
宗曼红色： 原式 =2Sin(1/2)[Sin1+Sin2+Sin3+…… +Sin57+Sin58+Sin89]÷2Sin(1/2) 先看分子,就是先算分子上的式子 = 2Sin(1/2)Sin1+ 2Sin(1/2)Sin2+ 2Sin(1/2)Sin3+……+2Sin(1/2)Sin57+ 2Sin(1/2)Sin58+ 2Sin(1/2)Sin89 =Cos(1-1/2)-Cos(1+1/2)+ Cos(2...
