请教一道二项式定理 排列之类的数学证明题

数学关于排列的证明题~

首先，在全部n级排列中共有n!种排列，而

1）对任一组奇排列，若将相邻数对调一下即变成了偶排列了，
因而若对所有t个不同的奇排列数在相同位置上作对调则可以对应t个不同的偶排列，所以有t<=s;
2）同理，对任一组偶排列，若将相邻数对调一下即变成了奇排列了，
因而若对所有s个不同的偶排列数在相同位置上作对调则可以对应s个不同的奇排列，所以有s<=t；

由1）2）便知，s=t=n!/2 。

附：为什么将t个奇排列数和相邻数对调一下，就有s>=t？:
因为在上述1）推理下仅可得到s>=t

证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。
所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。
对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。
（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。 　　
二项式系数之和: 　　2的n次方 　　
而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的(n-1)次方 　　
二项式定理的推广： 　　
二项式定理推广到指数为非自然数的情况： 　　
形式为 (a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n

这种题目看都不要看，直接数学归纳法
n=1时，左边=n=右边，成立
设n=k时，该式成立：1C1/k+2C2/k+3C3/k+……+kCk/k=k*2^(k-1)
则当n=k+1时，
对于第i项，C i/(k+1)=C i/k+C(i-1)/k
故iC i/(k+1)=i[C i/k+C(i-1)/k]
注意最后一项不要动,最后一项为k+1
因此1C1/(k+1)+2C2/(k+1)+...+iC i/(k+1)+……+(k+1)C(k+1)/(k+1)
=(1C1/k+2C2/k+…+kCk/k)+[1C0/k++2C1/k+…+kC(k-1)/k]+（k+1）
=k*2^(k-1)+[1C0/k++2C1/k+…+kC(k-1)/k]+（k+1）
=k*2^(k-1)+[C0/k+C1/k+…+C(k-1)/k]+[C1/k+2C2/k+…+(k-1)C(k-1)/k]+（k+1）
｛ 注意：C0/k+C1/k+…+C(k-1)/k=2^k-1，
C1/k+2C2/k+…+(k-1)C(k-1)/k=k*2^(k-1)-k（即n=k的情况） ｝
=k*2^(k-1)+(2^k-1)+[k*2^(k-1)-k]+(k+1)
=k*2^(k-1)+2^k+k*2^(k-1)
=(k+1)*2^k,得证
故……

写得比较复杂，但都是按你那种写法形式，认真看

(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x^2+C(n,3)x^3+.....+C(n,n)x^n
两边取导数
n(1+x)^(n-1)=C(n,1)+2C(n,2)x+3C(n,3)x^2+.....+nC(n,n)x^(n-1)
两边令x=1
即得： n*2^(n-1)=C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+.....+nC(n,n)

解答：（图片可以放大看）

利用经典的变换kC(k,n)=nC(k-1,n-1)

则1C(1，n)+2C(2，n)+3C(3，n)+……+nC(n，n)
=nC(0，n-1)+nC(1，n-1)+nC(2，n-1)+nC(n-1，n-1)
=n[C(0，n-1)+C(1，n-1)+C(2，n-1)+C(n-1，n-1)]
=n*2^(n-1)

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围场满族蒙古族自治县15758504337： 数学排列组合、二项式定理题目 - ？
乾哈正清： 假设x个男生,(8-x)个女生 分步做: (1)先出3个人: 男生2个: x(x-1)/2 x种选择(选第一个有x种可能,选第二个就有x-1种可能,除2是为了去除ab和ba的相同选择的重复,因为这里不讲究前后顺序) 女生1个:8-x 种选择(2)3人选择项目 显然是3*2*1=3! 种可能那么就是 x(x-1)/2 *(8-x) *3*2*1=180 x(x-1)(8-x)=60 解得x=5

围场满族蒙古族自治县15758504337： 二项式定理和组合的一道题~请求高手帮助!在线等!Cn1+2Cn2+4Cn3+…+2^n - 1Cnn(就是2的n - 1次方)等于多少 - ？
乾哈正清：[答案] Cn0+Cn1*2+2^2Cn2+2^3Cn3+…+2^nCnn =(1+2)^n=3^n 因此Cn1+2Cn2+4Cn3+…+2^n-1Cnn =(3^n-1)/2

围场满族蒙古族自治县15758504337： 一道关于高二二项式定理的数学题(a+b)的九次方,的各二项式系数的最大值是多少? - ？
乾哈正清：[答案] Tr+1=Cnr*a^(n-r)*b^r 因为是九次方,所以有10项,所以有两项为最大值,这两项即为中间两项,第5项和第6项,即T5和T6,再代数算吧

围场满族蒙古族自治县15758504337： 高中数学 关于排列组合 二项式定理的题目.？
乾哈正清： 第二题,A55/A22是五个字母所有的排列种类,A22是考虑中间那两个“ll”,所以得除以2,以免重复. 然后再减去“hello”这一种正确的顺序.OK,剩下的就是题目要的顺序排错的种类.

围场满族蒙古族自治县15758504337： 2^99除以9的余数是多少?这道题是出在“排列组合概率与二项式定理”这章的…… - ？
乾哈正清：[答案] 2^99=8^33=(9-1)^33 =9^33+33c2*9^32*(-1)+.+(-1)^33 除以9余-1,但余数不能为负数,所以余8

围场满族蒙古族自治县15758504337： 求数学高手解答.关于二项式定理的题目. - ？
乾哈正清： 解:把(x-2)∧4展开得:16-32x+24x²-8x³+x∧4把(x+1)∧5展开得:1+5x+10x²+10x³+5x∧4+x∧5要求出(x-2)∧4*(x+1)∧5的展开式中x³的系数,则16*10x³-32x*10x²+24x²*5x-8x³*1=-48x³所以展开式中x³的系数为-48.(做这样的题目主要是要熟悉二项式定理,学会二项式的展开.平时多做一些这方面的练习,自然熟能生巧.如果这题是选择题或填空题,我们只要展开到(16-32x+24x²-8x³……)*(1+5x+10x²+10x³……)就行了,这样很明显就能看出和求出x³的系数了)

围场满族蒙古族自治县15758504337： 请问一道排列组合题 - ？
乾哈正清： (x-1)(x 1)^8展开式中x^5的系数只能这样求,在(x-1)中取x,那么在(x 1)^8中取x^4相乘得到x^5,有二项式定理x^4前面的系数为C(4,8)=70,同理在(x-1)里面取-1,那么在(x 1)^8中取x^5 C(3,8)=56,乘以前面的-1=-56,所以70-56=14

围场满族蒙古族自治县15758504337： 一道二项式定理问题请教(√x+3^√x)^100的展开式中有几项有理数? - ？
乾哈正清：[答案] 你是问要求x的指数是整数的项吗? 展开的通项为:C(100,k)x^(k/2)*x^((100-k)/3) 要x的指数是整数, 则要求2能整除k,k是偶数, 3能整除100-k,则要求k除以3余数为1. 形式为k=3n+1(n为奇数) n=1,k=4 n=3,k=10 ., n=33 ,k=100 都满足 即有17项

围场满族蒙古族自治县15758504337： 一道关于二项式定理的题目 - ？
乾哈正清： 常数项为C(8,4)*x^4*(-A/x)^4=1120.A^4=16 A=2或-2 所以将x=1代入,各项系数和为1或者3^8

围场满族蒙古族自治县15758504337： 急:一道有关二项式定理的高中证明题 - ？
乾哈正清： 方法一:【要求你数学基础不错】 令f(x)=(1+1/x)^x,求导,得到f(x)在【1,无穷大)递增 而f(1)=2 lim(1+1/x)^x x趋于无穷大时值为:e=2.7...所以得证. 方法二:【要求一般】 原理:放缩法 这个有点麻烦... 就是二项展开得到: (1+1/n)^n=Cn(0)+Cn(1)*1/n+...+Cn(n)*1/n^n =1+1+Cn(2)/n^2+cn(3)/n^3+...+cn(n)/n^n=2+[n*(n-1)/n^2]/2!+...+{[n*(n-1)*...*1]/n^2}/n! 【阶乘前面的东西都是小于1的,所以:】得证