如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2倍根号2,角PAB=60°,
ABCD为矩形=>AD垂直AB,三角形PAD中PA=2,AD=2,PD=2根号2,=>PA^2+AD^2=PD^2=>PA垂直AD,所以AD垂直面PAB,AD||BC=>BC垂直面PAB=>BC垂直PB,则<PCB=arctg(根号7/2)
分析:(I)由题意在△PAD中,利用所给的线段长度计算出AD⊥PA,再利用矩形ABCD及线面垂直的判定定理即可证明线面垂直.
(II)利用条件借助图形,利用异面直线所成角的定义找到共面的两条相交直线,然后结合解三角形有关知识解出即可;
(Ⅲ)通过把二面角转化为其平面角PEH,然后在RT△PHE中,求出其正切值即可
解答:解:(Ⅰ)证明:在△PAD中,由题设PA=2,PD=PD=2√2
可得PA2+AD2=PD2于是AD⊥PA.
在矩形ABCD中,AD⊥AB.又PA∩AB=A,
所以AD⊥平面PAB.
(Ⅱ)由题设,BC∥AD,
所以∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角.
在△PAB中,由余弦定理得
PB=
PA2+AB2-2PA•AB•cosPAB
=
7
由(Ⅰ)知AD⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,
所以AD⊥PB,因而BC⊥PB,于是△PBC是直角三角形,故tanPCB=
PBBC
=
72
.
所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan
72
(Ⅲ)过点P做PH⊥AB于H,
过点H做HE⊥BD于E,连接PE
因为AD⊥平面PAB,PH⊂平面PAB,
所以AD⊥PH.
又AD∩AB=A,
因而PH⊥平面ABCD,故HE为PE在平面ABCD内的射影.所以,BD⊥PE,
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角.
由题设可得,PH=PA•sin60°=
3
,AH=PA•cos60°=1,BH=AB-AH=2,BD=
AB2+AD2
=
13
,HE=
ADBD
•BH=
413
,
于是在RT△PHE中,tanPEH=
394
,
所以二面角P-BD-A的正切值大小为
394
.
.
(2)PC与AD所成的角,因为AD平行于BC,也就是PC与BC所成的角。由三角形余弦定理2PA*AB*cos∠PAB=PA的平方+AB的平方—PB的平方,解出PB=√7,则PC与BC所成的角的正切值等于PB/BC=√7/2
(3)PD等于2√2,PB等于√7,BD等于√13,由余弦定理可解出COS∠PBD=6/√91,。在BD上取一点E使PE⊥BD,可解出BE=6/√13,PE=√(55/13)。在AB上取一点F,使FE⊥BD,解出FE=4/√13,BF=2,AF=1,再根据余弦定理解出PF=√3,此时已知道PF、EF和PE的长度,根据与玄定理可解出二面角P-BD-A的余弦值为21/(4√55),再算正弦值为√(439/880),二者相除,解出二面角P-BD-A的正切值为√439/21。应该是这样,已经好多年不学几何了,不知道对错,你可以算下
建立空间直角坐标系,再找两平面法向量,即可求出cosx,再利用三角函数关系即可求出正切值
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC...
又 , ∴ .故矩形 为正方形,∴ .所以 8分因为 ,所以 与平面 所成角为 ,因为 与平面 所成角的正切值为 ,即 ,所以 , 10分又 ,所以 ,所以四棱锥 的外接球表面积为 .12分
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD^底面ABCD,PD=DC...
又因为E为PC的中点,所以EO\/\/PA, 因为EO 面EDB,PA 面EDB∴PA\/\/平面EDB 4分 (2)证明:∵侧棱PD^底面ABCD,且BC 面ABCD∴BC ^PD,又BC⊥CD,PD∩CD="D," ∴BC ^面PCD.因为DE 面PCD, ∴BC ^ DE又PD=DC,
(本题满分14分)如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA 底面 ABCD , DAB 为直 ...
(Ⅰ)解法一:(Ⅰ)证:由已知 DF ∥AB且 DAD 为直角,故ABFD是矩形,从而 CD BF . ………..4分又 PA 底面ABCD, CD AD ,故知 CD PD .在△ PDC 中, E、F 分别 PC 、 CD 的中点,故 EF ∥ PD ,从而 CD EF ,由此得 CD 面 BEF . ………..7分(Ⅱ...
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,△PAD为等边三角形,平面...
(4分)(Ⅱ)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且PE⊥AD,∴PE⊥平面ABCD,∴PE⊥EB.以点E为坐标原点,EA,EB,EP为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,如图.∵△PAD为等边三角形,∠DAB=60°,AB=2,E为AD的中点.∴A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3)...
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD∥AB,A...
所以EF∥PB.又DF∩EF=F,PB∩BC=B,所以平面DEF∥平面PBC.因为DE?平面DEF,所以DE∥平面PBC.(2)解:取AD的中点O,连接PO.在△PAD中,PA=PD=AD=2,所以PO⊥AD,PO=3又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD,所以PO就是三棱锥P-ABC的高.在直角梯形ABCD中,...
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点...
由于AB⊥平面PAD,PH⊂平面PAD,故AB⊥PH.又因为PH为△PAD中AD边上的高,故AD⊥PH.∵AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PH⊥平面ABCD.由于PH⊥平面ABCD,E为PB的中点,PH=1,故E到平面ABCD的距离h=1\/2,PH=1\/2.又因为AB∥CD,AB⊥AD,所以AD⊥CD,故S△...
(本小题共12分)如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD...
BC = AD , Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴ CD \/\/ BQ .∵∠ ADC =90°∴∠ AQB =90°即 QB ⊥ AD .又∵平面 PAD ⊥平面 ABCD 且平面 PAD ∩平面 ABCD=AD , ∴ BQ ⊥平面 PAD . ∵ BQ 平面 PQB ,∴平面 PQB ⊥平面 PAD . (2)∵ PA...
(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,B...
(1)略(2) (3) 45° 解:(Ⅰ)∵E,F分别是PB,PC的中点∴EF∥BC ………1分∵BC∥AD∴EF∥AD ………2分∵AD 平面PAD,EF 平面PAD∴EF∥平面PAD ………4分(Ⅱ)(法1)∵AP=AB,BP=2,AP⊥平面ABCD∴AB=AP= ………5分∵S矩形ABCD=AB·BC=2 ∴VP-ABCD= S矩...
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,M,N分别是PB,PC的中点,PA=AB,在...
解答:(本小题满分14分)解:(1)证明:∵M,N分别是PB,PC的中点,∴MN是△PBC的中位线,∴MN∥BC,又∵AB⊥AD,AB⊥BC,∴BC∥AD,∴MN∥AD,…(1分)AD?平面PAD,…(2分)MN?平面PAD,…(3分)∴MN∥平面PAD.…(4分)(2)∵PA=AB,M是PB的中点,∴AM⊥PB…(5分)∵...
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD垂直于底面ABCD,PA等于PD等于2,AD...
∵pa⊥平面abcd,∴ad⊥pa,又平面pad⊥平面pab,∴ad⊥平面pad,∴pb⊥ad,又ad∥bc,∴pb⊥bc。∵e、m分别是pb、pc的中点,∴由三角形中位线定理,有:em∥bc,结合证得的pb⊥bc,得:pb⊥em。∵pa=ab、pe=be,∴pb⊥ae,结合ae∩em=e、证得的pb⊥em,得:pb⊥平面aem,∴pb⊥...
诏褚温胃:[答案] 几何法: (1)连接BD ∵四边形ABCD是正方形,F是AC中点,∴F是BD中点 ∵E是PD中点,∴EF∥PB ∴EF∥面PAB (2)S△FAB=S正方形ABCD/4=1/4 取AD中点G,连接EG,则EG是△PAD的中位线 ∴EG∥PA,EG=PA/2=1/2 ∵PA⊥面ABCD,...
崇州市13224577293: 如图所示,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2倍根号2,角PAB=60°,⑴证明AD⊥平面PAB.⑵求异面直线PC与AD所成... - ?
诏褚温胃:[答案] (1)因为PA=2,AD=2,PD=2√2,则PA的平方加上AD的平方等于PD的平方,根据勾股定理可知AD垂直于PA.又因为ABCD是矩形,所以,AD垂直于AB.综上,AD垂直于平面PAB中两条不平行的直线,所以AD⊥平面PAB. (2)PC与AD所成的角,因为...
崇州市13224577293: 如图所示,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面 EF垂直于面PCD - ?
诏褚温胃:[答案] 因为侧棱PA垂直于底面 所以PA⊥AB 又因为底面ABCD是矩形 所以AB//CD AD⊥CD 所以CD⊥面PAD 所以CD⊥PD 因为CD⊥PD;FG//PD所以CD⊥FG; FG//AD, AD⊥CD所以FG⊥CD; 所以角EGF就是面PCD与面ABCD所成的角. 又因为EF⊥面...
崇州市13224577293: 如图所示,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点... - ?
诏褚温胃:[答案] (1)证明:在底面菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD边的中点,所以BG⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BG⊥平面PAD. (2)证明:连接PG,因为△PAD为正三角形,G为AD边的中点, 得PG⊥AD,由(1)知...
崇州市13224577293: 如图,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面ABCD是正方形,PA=AB,E为PD的中点.求证PB平行平面EAC,求异面直线AE与PB所成角的大小,... - ?
诏褚温胃:[答案] 设AC与BD交于点O,连结OE,则OE是三角形PBD的中位线,所以OE∥PB, 所以PB∥平面EAC 因为OE∥PB,所以∠AEO就是异面直线AE与PB所成的角.设PA=AB=1,则AO=√2/2,OE=1/2PB=√2/2,AE=√2/2,所以三角形AEO是等边三角形,...
崇州市13224577293: 如图,在四棱锥P - ABCD中,平面PAB⊥底面ABCD,其中PA=PB,四边形ABCD是菱形,N为AC的中点,M是△PCD的中线PQ的中点.(Ⅰ)证明:MN∥... - ?
诏褚温胃:[答案] 证明:(Ⅰ)连BD,交AC于N,连结BQ,取BQ中点E,连结ME,NE, ∵四边形ABCD是菱形,N为AC的中点,M是△PCD的中线PQ的中点, ∴N是BD中点,∴EM∥PB,EN∥DQ, ∵DQ∥AB,∴EN∥AB, ∵PB∩AB=B,EM∩EN=E, PB、AB⊂平面...
崇州市13224577293: 如图所示,在四棱锥P - ABCD中,四边形ABCD为菱形,△PAD为等边三角形,平面PAD⊥平面ABCD,且∠DAB=60°,AB=2,E为AD的中点.(Ⅰ)求证:AD... - ?
诏褚温胃:[答案] (Ⅰ)证明:连结EB,在△AEB中,AE=1,AB=2,∠EAB=60°, ∴BE2=AE2+AB2-2AE•AB•cos60°=1+4-2=3. ∵AE2+BE2=AB2,∴AD⊥EB.…(2分) ∵△PAD为等边三角形,E为AB的中点,∴AD⊥PE. 又∵EB∩PE=E,∴AD⊥平面PEB,∴AD⊥PB.…(...
崇州市13224577293: 如图,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)证明... - ?
诏褚温胃:[答案] (1)在四棱锥P-ABCD中, 因PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD, 故PA⊥AB. 又AB⊥AD,PA∩AD=A, 从而AB⊥平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角. 在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°. 所以PB和...
崇州市13224577293: 如图,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥CD,PA=AD,M,Q分别是PD,BC的中点.(1)求证:MQ∥平面PAB;(2)... - ?
诏褚温胃:[答案] (1)取PA的中点E,连结EM、BE, ∵M是PD的中点,∴ME∥AD且ME= 1 2AD, 又∵Q是BC中点,∴BQ= 1 2BC, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC∥AD且BC=AD,可得BQ∥ME且BQ=ME, ∴四边形MQBE是平行四边形,可得MQ∥BE,…(4分) ...
崇州市13224577293: 如图,在四棱锥P - ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=PB,O为AB的中点,OD⊥PC.(1)求证:OC⊥PD;(2)若PD与平面PAB所成的角... - ?
诏褚温胃:[答案] 证明:(1)连结OP, ∵PA=PB,O是AB的中点, ∴OP⊥AB. 又∵侧面PAB⊥底面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,OP⊂平面PAB, ∴OP⊥平面ABCD, ∵OC⊂平面ABCD,OD⊂平面ABCD, ∴OP⊥OD,OP⊥OC, 又∵OD⊥PC,OP⊂平面OPC,PC...