怎么利用十字相乘法来分解因式?
十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处:(1)用十字相乘法来分解因式。(2)用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点:用十字相乘法来解题的速度比较快,能够节约时间,而且运用算量不大,不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷:1、有些题目用十字相乘法来解比较简单,但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 5、十字相乘法解题实例: 1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m+4m-12分解因式 分析:本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1当-12分成-2×6时,才符合本题 解:因为 1 -2 1╳ 6 所以m+4m-12=(m-2)(m+6) 例2把5x+6x-8分解因式 分析:本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1。当二次项系数分为1×5,常数项分为-4×2时,才符合本题 解: 因为 1 2 5╳ -4 所以5x+6x-8=(x+2)(5x-4) 例3解方程x-8x+15=0 分析:把x-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5。 解: 因为 1 -3 1╳ -5 所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x-5x-25=0 分析:把6x-5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1。 解: 因为 2 -5 3╳ 5 所以 原方程可变形成(2x-5)(3x+5)=0 所以x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x-67xy+18y分解因式 分析:把14x-67xy+18y看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7╳ -2y 所以14x-67xy+18y= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x-27xy-28y-x+25y-3分解因式 分析:在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x-27xy-28y-x+25y-3 =10x-(27y+1)x -(28y-25y+3) 4y -3 7y ╳ -1 =10x-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1) =[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)] 2 -(7y – 1) 5╳ 4y - 3 =(2x -7y +1)(5x +4y -3) 说明:在本题中先把28y-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3)(7y -1),再用十字相乘法把10x-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解为[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)] 解法二、10x-27xy-28y-x+25y-3 =(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3 2 -7y =[(2x -7y)+1] [(5x -4y)-3] 5 ╳ 4y =(2x -7y+1)(5x -4y -3) 2 x -7y 1 5 x - 4y ╳ -3 说明:在本题中先把10x-27xy-28y用十字相乘法分解为(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解为[(2x -7y)+1] [(5x -4y)-3]. 例7:解关于x方程:x- 3ax + 2a–ab -b=0 分析:2a–ab-b可以用十字相乘法进行因式分解 解:x- 3ax + 2a–ab -b=0 x- 3ax +(2a–ab - b)=0 x- 3ax +(2a+b)(a-b)=0 1 -b 2╳ +b [x-(2a+b)][ x-(a-b)]=0 1 -(2a+b) 1╳ -(a-b) 所以x1=2a+b x2=a-b 补充: 例7:解关于x方程:x- 3ax + 2a–ab -b=0 分析:2a–ab-b可以用十字相乘法进行因式分解 解:x- 3ax + 2a–ab -b=0 x- 3ax +(2a–ab - b)=0 x- 3ax +(2a+b)(a-b)=0 1 -b 2╳ +b [x-(2a+b)][ x-(a-b)]=0 1 -(2a+b) 1╳ -(a-b) 所以x1=2a+b x2=a-b 追问: 因为1 -2 1╳ 6 是什么意思呀? 回答: m+4m-12 因为1 -2 1 ╳ 6 这个行列式,第一列相乘是二次项系数,第二列相乘是常数项,1×(-2)+1×6是一次项系数。 补充: 你可以好好看看例题前面的说明。
十字相乘法十字相乘法一般用于二次三项式的因式分解。如x²-5x+6.要求变为(x+a)(x+b)的形式,则可以变为x ╳x x+ x=-5x.而a,b同号,所以a和b均为负数。(这要进行试商)最后得x -2 ╳x -3-2x-3x=-5x.所以x²-5x+6=(x-2)(x-3).十字相乘法的算法是:竖着拆,斜着算,横着得结果。
十字相乘法的方法简单点来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。基本式子:x^2+(p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解. .
上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) .
又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 十字相乘法讲解:
x^2-3x+2=如下:
x -1
╳
x -2
左边x乘x= x^2
右边-1乘-2=2
中间-1乘x+(-2)乘x(对角)=-3x
上边的【x+(-1)】乘下边的【x+(-2)】
就等于(x-1)*(x-2)
x^2-3x+2=(x-1)*(x-2)
编辑本段
通俗方法
方法
先将二次项分解成(1 X 二次项系数),将常数项分解成(1 X 常数项)然后以下面的格式写
1 第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
......
依此类推
直到(ad+cb=一次项系数)为止。最终的结果格式为(ax+b)(cx+d)
例
:(^2代表平方)
a^2x^2+ax-42
首先,我们看看第一个数,是a↑2,代表是两个a相乘得到的,则推断出(a ×+?)×(a ×+?)
然后我们再看第二项,+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所以推断出使两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ,-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2
首先,21和2无论正负,合并后都不可能是1 只可能是-19或者19,所以排除后者。
然后,在确定是-7×6还是7×-6.
(a×+(-7))×(a×+6)=a^2-a-42(计算过程省略)
得到结果与原来结果不相符,原式+a 变成了-a
再算:
(a×+7)×(a×+(-6))=a^2+a-42
正确,所以a^2x^2+ax-42就被分解成为(ax+7)×(ax-6),这就是通俗的十字相乘法分解因式.
编辑本段
例题解析
例1
把2x^2-7x+3分解因式.
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分
别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同!
2=1×2=2×1;
分解常数项:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5 ≠-7
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7 ≠-7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)
一般地,对于二次三项式ax+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax^2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.
例2
把6x^2-7x-5分解因式.
分析:按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出:通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式,十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以x+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y^2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).
指出:原式分解为两个关于x,y的一次式.
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.
问:以上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5
x^2+2x-15
分析:常数项(-15)<0,可分解成异号两数的积,可分解为(-1)(15),或(1)(-15)或(3)
(-5)或(-3)(5),其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。
=(x-3)(x+5)
总结:①x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么
kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
教学重点和难点
重点:正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式;
难点:灵活运用十字相乘法分解因式.
编辑本段
解决两者之间的比例问题
原理
一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S, A所占的数量为M,B为S-M。
则:[A*M+B*(S-M)]/S=C
A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
因此:M/S∶(1-M/S)=(C-B)∶(A-C)
上面的计算过程可以抽象为:
A ………C-B
……C
B……… A-C
这就是所谓的十字相乘法。X增加,平均数C向A偏,A-C(每个A给B的值)变小,C-B(每个B获得的值)变大,两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例,以十字相乘法形式展现更加清晰
使用时的注意事项
第一点:用来解决两者之间的比例问题。
第二点:得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点:总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放在对角线上。
例题
某高校2006年度毕业学生7650名,比上年度增长2%,其中本科毕业生比上年度减少2%,而研究生毕业数量比上年度增加10%,那么,这所高校今年(2006)毕业的本科生有多少人?
十字相乘法
解:去年毕业生一共7500人,7650÷(1+2%)=7500人。
本科生:-2%………8%
…………………2%
研究生:10%……… -4%
本科生∶研究生=8%∶(-4%)=-2∶1。
去年的本科生:7500×2/3=5000
今年的本科生:5000×0.98=4900
答:这所高校今年毕业的本科生有4900人。
鸡兔同笼问题
今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
十字相乘法
解:假设全为鸡脚则有70只脚,假设全为兔脚则有140只脚
鸡:70……… …46
……………………94
兔:140……… …24
鸡:兔=46:24=23:12
答:鸡有23只,兔有12只。
编辑本段
十字相乘法解一元二次方程
例1
把2x^2-7x+3分解因式.
分析:先 分解二次项系数,
分别写在十字交叉线的左上角和左下角,
再分解常数项,
分别写在十字交叉线的右上角和右下角,
然后交叉相乘,
求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数):
2=1×2=2×1;
分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1) =-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3) =-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).
一般地,对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0),
如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,
即a=a1a2,
常数项c可以分解成两个因数之积,
即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,
排列如下:
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,
若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,
即a1c2+a2c1=b,
那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,
即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
例2
把6x^2-7x-5分解因式.
分析:按照例1的方法,
分解二次项系数6及常数项-5,
把它们分别排列,
可有8种不同的排列方法,
其中的一种 21╳3-5 2×(-5)+3×1=-7
是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出:通过例1和例2可以看到,
运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,
往往要经过多次观察,
才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式,
也可以用十字相乘法分解因式,
这时只需考虑如何把常数项分解因数.
例如把x^2+2x-15分解因式,
十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×(-3)=2
所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,
把-8y^2看作常数项,
在分解二次项及常数项系数时,
只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,
经过观察,选取合适的一组,
即 12╳ 5-4 1×(-4)+5×2=6
解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
指出:原式分解为两个关于x,y的一次式.
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,
只有先进行多项式的乘法运算,
把变形后的多项式再因式分解.
问:两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
1-2╳ 21
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解,
这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x^2+2x-15
分析:常数项(-15)<0,可分解成异号两数的积,
可分解为(-1)(15),或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5),
其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 =(x-3)(x+5)
总结:①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;
常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.
因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:
x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,
那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
(3) 6x^2+5x-50=0 (4)x^2-2( + )x+4=0
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x^2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-3/2是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x^2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解。
(4)解:x^2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2,x2=2是原方程的解。
例题x^2-x-2=0
解:(x+1)(x-2)=0
∴x+1=0或x-2=0
∴x1=-1,x2=2
(附:^是数学符号)
例1
.十字相乘法的图解及待定系数
已知二次三项式2x
2
-mx-20有一个因式为(x+4),求m的值.
分析
:用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解:
8-5=3=-m
解:
2x
2
-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x
2
+3x-20
∴-m=3
m=-3
(由例1我们应该明白,“十字相乘”法,并非凭空而来,也没有什么新东西——
像不像?只要懂(ax+b)(cx+d),就懂“十字相乘”,这样,十字相乘中各数的意义,你记得更清楚了吧?)
例
2
.因式分解与系数的关系
若多项式a
2
+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积,则整数k可取的值有(
)
a.5个
b.6个
c.8个
d.4个
分析
:因为二次项系数为1,所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式,其中mn=16,k=m+n,所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n为整数)
因为16=2×8,16=(-2)×(-8)
16=4×4,16=(-4)×(-4)
16=1×16,16=(-1)×(-16)
所以k=±10,±8,±16
答案
:b
(是不是有一点即通的感觉?这一层窗户纸不厚,数学要的就是心细,胆大)
例
3
.分组分解后再用十字相乘
把2x
2
-8xy+8y
2
-11x+22y+15分解因式
解:
原式=(2x
2
-8xy+8y
2
)-(11x-22y)+15
=2(x-2y)
2
-11(x-2y)+15
=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]
=(x-2y-3)(2x-4y-5)
说明
:分组后运用十字相乘进行因式分解,分组的原则一般是二次项一组,一次项一组,常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式,利用十字相乘法完成因式分解.
例
4
.换元法与十字相乘法
把(x
2
+x+1)(x
2
+x+2)-6分解因式
分析
:观察式子特点,二次项系数和一次项系数分别相同,把(x
2
+x)看成一个“字母”,把这个式子展开,就可以得到关于(x
2
+x)的一个二次三项式(或设x
2
+x=u,将原式化为(u+1)(u+2)-6=u
2
+3u-4,则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解.
解
:(x
2
+x+1)(x
2
+x+2)-6
=[(x
2
+x)+1][(x
2
+x)+2]-6
=(x
2
+x)
2
+3(x
2
+x)-4
=(x
2
+x+4)(x
2
+x-1)
说明
:本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了,若能分解一定要继续分解,如摸底检测第3题答案应当是c.
(上一次,我们说到的整体分析又用到了,还记得我们在哪提到它的?对,在分组分解法中,试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点,从各项的次幂的次数及各项系数去分析)
例
5
.因式分解与十字相乘法
已知(x
2
+y
2
)(x
2
-1+y
2
)=12
求:
x
2
+y
2
的值
解:
(x
2
+y
2
)(x
2
-1+y
2
)=12
(x
2
+y
2
)[(x
2
+y
2
)-1]-12=0
(x
2
+y
2
)
2
-(x
2
+y
2
)-12=0
[(x
2
+y
2
)-4][(x
2
+y
2
)+3]=0
∵x
2
+y
2
≥0
∴(x
2
+y
2
)+3≠0
∴(x
2
+y
2
)-4=0
∴x
2
+y
2
=4
说明
:我们把(x
2
+y
2
)看成一个“字母”,则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程。虽然目前还没学二次方程的解法,但通过这个题,我们可以发现,对二次三项式因式分解是解一元二次方程的方法之一.
(说“十字相乘”是冷饭,一点也不为过,炒完冷饭,尝尝味道怎样吧).
返回主题
[强化练习]
1.把下列各式分解因式
(1)x-x
2
+42
(2)
(3)a
2n
+a
4n
-2a
6n
(4)(x-y)
2
+3(x
2
-y
2
)-4(x+y)
2
(5)x
2
-xy-2y
2
-x-y
2.已知:x
2
+xy-2y
2
=7,求:整数x、y的值
答案与提示:
1.(1)-(x-7)(x+6)
(2)
(3)-a
2n
(a
n
+1)(a
n
-1)(2a
2n
+1)
(4)-2y(5x+3y)
提示:可分别把(x-y)和(x+y)各看成一个“字母”,如设x-y=m,x+y=n,则原式化为m
2
+3mn-4n
2
(5)(x+y)(x-2y-1)
提示:可参考“疑难精讲例3”
2.
提示:将已知条件的左边分解因式得:
(x+2y)(x-y)=7
∵x、y都为整数
∴有
十字相乘法怎么用?
三、使用范围 首先,一元二次方程必须化为标准形式,等号右边必须为0。而且,并非所有一元二次方程都可以用十字相乘法,只有当根的判别式△为完全平方数时,才可以在整数范围内使用十字相乘。我们使用十字相乘法的目的是为了快速计算,如果我们每一次都要用根的判别式来验证是否可以十字相乘,这样非常浪费...
如何利用十字相乘法解方程?
十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项。口诀:分二次项,分常数项,交叉相乘求和得一次项。把二次项系数和常数项分别分解因数;尝试十字图,使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;确定合适的十字图并写出因式分解的结果;检验。十字相乘法特点:二次项...
十字相乘法 怎么运用啊?
上式的常数12可以分解为3*4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以 上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).就这么简单.你试试看!用十字相乘法分解因式:1...
因式分解的十字相乘法怎么用?
三次方因式分解十字相乘法一般用于分解二次三项式。三次三项式一般用拆项,减项,先提公共的因式,再像二次那样因式分解。十字相乘法是因式分解中十四种方法之一。十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+...
十字相乘法怎么用?
如果二次项系数不是1,又该怎么分解呢?我们看一下这个例题。下面我们看一下,十字相乘法在因式分解中的应用。了解一下十字相乘法在解方程中的应用。7 十字相乘法进行因式分解可以简化我们的计算,很实用的一种方法。但不是所有的因式分解都可以用十字相乘法,不能盲目使用,我们应该在做题过程中积累...
十字相乘法怎么做,谁能给我讲讲。
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2。(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3。(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3。这就是所谓的双十字相乘法。十字相乘法的方法口诀:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。十字相乘法的用处:(1)用十字相乘法来分解因式。(2)用...
十字相乘法怎么用?
1、化学中的十字相乘法怎么用。2、化学上的十字相乘法。3、数学十字相乘法。4、化学 十字相乘。1.一、十字交叉相乘法这是利用化合价书写物质化学式的方法,它适用于两种元素或两种基团组成的化合物。2.其根据的原理是化合价法则:正价总数和负价总数的代数和为0或正价总数和负价总数的绝对值相等。3...
十字相乘法的步骤
1、十字相乘法的方法是十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。2、十字相乘法的用处是用十字相乘法来分解因式或用十字相乘法来解一元二次方程。3、十字相乘法的优点是用十字相乘法来解题的速度比较快,能够节约时间,而且运用算量不大,不容易出错。4、十字相乘...
说一说什么是十字相乘法则
十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。1、十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。2、十字相乘法的用处:(1)用十字相乘法来分解因式。(2)用十字相乘法来解...
十字相乘法
十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。1、十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。2、十字相乘法的用处:(1)用十字相乘法来分解因式。(2)用十字相乘法来解...
始青奈平:[答案] 这个问题主要针对二次方程进行因式分解,例如a*x^2+b*x+c=0,这种普式的情况,首先将a和c所有质数相乘的形式构建出... 比如a=a1*a2,c=c1*c2,将所有a1*c2+a2*c1的情况进行遍历,求解其结果为b时,即为十字相乘的因式分解结果,为(a...
平乡县19755498938: 因式分解十字相乘法怎么做 - ?
始青奈平: 例:a²x²+ax-42 首先,我们看看第一个数,是a²,代表是两个a相乘得到的,则推断出(a + ?)*(a + ?), 然后我们再看第二项,+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所以推断出是两项式*两项式. 再看最后一项是-42 ,-42是-...
平乡县19755498938: 怎么利用十字相乘法来分解因式?如何利用十字相乘法来分解因式?最好有图解和文字说明. - ?
始青奈平:[答案] 十字相乘法的方法简单点来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2,把常数项c...
平乡县19755498938: 数学因式分解中的十字相乘怎么算 - ?
始青奈平: 先竖向分解二次三项式中的第一项,再在右边竖向分解第三项(用乘法分解且只能分解为两个数,即两个数相乘等于哪个项),之后交叉相加等于中项,再将第一横行按顺序写下,第二横行按顺序写下,中间用乘号相连.如:x的平方+3x+2=0 即为x 2x 1 ,所以为(x+2)(x+1)=0,所以x=-2或-1
平乡县19755498938: 怎样用十字相乘法分解因式 - ?
始青奈平: 1、十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数. 2、十字相乘法的用处:(1)用十字相乘法来分解因式.(2)用十字相乘法来解一元二次方程. 3、十字相乘法的优点:用十字相乘...
平乡县19755498938: 用十字相乘法分解因式步骤,举个例子 - ?
始青奈平:[答案] 主要还是靠凑.如x^2+5x+6=(x+2)(x+3),6=2*3,5=2+3,即一次项系数等于两个数的和,常数等于两个数的积.这样就能将原二次多项式分解为两个一次项的积.这里不好画.至于阶数超过2的多项式分解,就比较复杂了.
平乡县19755498938: 怎样用十字相乘法分解分数因式 - ?
始青奈平:[答案] 这个要靠练习来解决 ax^2+bx+c=0 先观察 系数关系 如果满足a+b+c=0 比如说2x^2-5x+3=0,就可以十字分解成(x-1)(2x-3)=0; 如果满足a-b+c=0,也可以分解成 比如 2x^2+3x+1=0 可分解成(x+1)(2x+1)=0;
平乡县19755498938: 怎样用十字相乘法分解因式求得X1\\X2的解 - ?
始青奈平:[答案] 先化成x²+mx+n=0 十字相乘, (x-p)(x-q)=0 则x1=p,x2=q
平乡县19755498938: 怎样用十字相乘法因式分解??
始青奈平:十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时...