高数证明题，求高手

高数证明题~

在证明这个命题之前，我们先介绍一个关于正项级数的性质：若发散的正项级数 ∑Qn 的一般项 Qn 单调递减且有极限 lim Qn = 0 ，则对于任意的 ε > 0 和正整数 n ,必存在整数 p≥0 使得 ∑Qi ＞ ε （注：此处求和指标中的 i 取值范围为 n ≤ i ≤ n+p-1 ，也就是说这里的求和是以 Qn 为首项的连续 p 个数的和）。以下的证明将以上述的性质为依据展开。
由级数 ∑Un 条件收敛可知该级数的一般项的极限 lim Un = 0 。为了方便下一步证明我们先将级数 ∑Un 的一般项 Un 按照绝对值从大到小的顺序进行重排（注意：重排后的级数未必收敛）。然后，我们将重排后的级数中的正项和负项分离为两个正项级数 ∑An 和 ∑Bn （注：此处的负项级数 ∑Bn 是提取过负号的），则正项级数 ∑An 和 ∑Bn 均发散且一般项单调递减并以 0 为极限 。下一步我们将每次从级数 ∑An 和 ∑Bn 中分别取出若干项构造出新级数的一般项，并使得新级数的部分和收敛于 a 。
为了方便讨论，我们先考虑 a 为有限值的情形。
假设作出的新级数的一般项 Qn ，且级数 ∑Qn 的部分和为 S（n）。 第一步，我们取 ε = |a|，然后做出新级数的第一项 Q1 使得 |a - S（1）|＜ ε ；第二步，做出级数的第二项 Q2 使得 |a - S（2）|＜ε/2 ；……然后第 n 部，做出级数的第 n 项 Qn 使得 |a - S（n）|＜ε/2^n ……
若我们能做出满足以上条件的级数 ∑Qn ，那么命题就得到了证明。实际上满足上述条件的级数是存在的。为了生成新的级数，我们每次分别从级数 ∑An 和 ∑Bn 中按照从大到小的顺序取出至少一项组成新的级数的一般项。比如对于级数 ∑Qn 的第一项 Q1，我们先从两个级数中各取一项使得 Q1 = A1 - B1 ，然后我们验证 Q1 是否满足条件 |a - S（1）|＜ ε ，如果满足该条件则级数的第一项构造完成；如果不满足该条件，我们继续从两个级数 ∑An 和 ∑Bn 按照从大到小的顺序选取新的项（此时不必从两个级数中各取一项，而是可以取任意项）并追加到 Q1 中，由于级数 ∑An 和 ∑Bn 都是递减的正项级数且一般项均以 0 为极限，因此只要适当的进行选取总是可以使得 Q1 = （A1 + A2 +……+ Aa1）-（B1 + B2 +……+ Bb1）得以满足条件 |a - S（1）|＜ ε 。够造出级数 ∑Qn 的第一项之后，我们可以按照构造第一项的方法从级数 ∑An 和 ∑Bn 剩余的项中继续按照从大到小的顺序选取若干项组成级数的第二项 Q2=（Aa1+1 + Aa1+2 +……+ Aa2）-（Bb1+1 + Bb1+2 +……+ Bb2）使得级数满足 |a - S（2）|＜ε/2 。…… 然后，我们可以继续构造出级数的第 n+1 项 Qn+1 = （Aan+1 + Aan+2 +……+ An+p）-（Bbn+1 + Bbn+2 +……+ Bbn+q）（注：两个括号中均为有限项）使得级数满足条件 |a - S（n+1）|＜ε/2^（n+1） 。 ……
通过上述步骤做出的新的级数 ∑Qn 可以遍历级数 ∑Un 中的所有项（因为每个 Qn 中至少包含一个正项和一个负项），级数的一般项的极限 limQn = 0 （注：这是因为两个正项级数 An 和 Bn 的一般项的极限均为 0 ），且级数的部分和 S（n）满足条件 |a - S（n）|＜ε/2^n ，由极限的定义立刻知道 limS（n）= a ，也就是说新级数 ∑Qn 收敛于 a 。
对于 a = ±∞ 的情形也是可以通过相同的方法得到的，只是条件变成了 |S（n）|＞ ε*2^n (这里 ε 为任意正数)。
到此整个证明过程就完成了！呼，喘口气先……

证明题有两种:

一是原理性的证明题，这一类证明题要从原理出发，从定义出发。
所以，认认真真理解透定义的含意，定义的具体要求，定义的表达，非常重要。
在概念上多花一点时间，是值得的。但是不能只停留在概念上。

例如所有导数公式，都是从原理出发，用同一种方法证明。积分也是一样。
又如对数，只要定义搞清楚了，四个公式马上就可以证明。


二是计算性证明，三角函数的恒等式的证明，基本都是这一类。
这一类的证明一般是需要一些更基本的公式做基础。
如果对 x² - y² = (x+y)(x-y), (x+y)²= x² + 2xy + y², (x-y)² = x² - 2xy + y²,
sin²x + cos²x = 1, 以及sin，cos，tan，cot，sec，csc的意思清楚了，三角函数
恒等式的基本证明就过关了。


具体而言，要结合题目分析。如有问题，欢迎前来讨论。

F(x)=f(x)－x，则由于F(1/2)=f(1/2)－1/2=1－1/2>0，F(1)=f(1)－1＝0－1<0，因此在（1/2，1)上有一个根，记为a，即F(a)=0。另外F(0)=0，于是在【0，a】上对F用Rolle中值定理得结论。

不难 看FX

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广灵县15274941758： 一道证明题!求数学高手!？
支俗石黄： 题意应该是三个事件都相互独立, 令P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c, 则P(AB)=ab,P(BC)=bc, P(AC)=ac 相当于要证|ab-bc|<=1-ac 只需要证1-ac-b|a-c|>=0 假设a>=c,上式子左边=1-ac-b(a-c)>=1-ac-(a-c)=(1-a)(1+c)>=0 所以原式成立,如果a<=c,类似也成立 欢迎追问!!!

广灵县15274941758： 高数,极限证明,简单题,求大神 - ？
支俗石黄： 用定义证明极限实际上是格式的写法,依样画葫芦就是: 证 限 |x-2|<1,则有 |x+2|=|x-2+4|>4-|x-2|>4-1=3. 对任意ε>0,要使 |{[(x^2)+4x-12]/[(x^2)-4]}-2| = |x-2|/|x+2| < |x-2|/3 < ε, 只需 |x-2| < min{1, 3ε},取 η = min{1, 3ε},则当 0<|x-2|<η 时,有 |{[(x^2)+4x-12]/[(x^2)-4]}-2| < |x-2|/3< η/3 <= ε, 得证.

广灵县15274941758： 一道高数题,求高手指教.f(x)在x>0有定义,在x=1处可导,f(xy)=yf(x)+xf(y).证明f'(x)在x>0存在. - ？
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广灵县15274941758： 1道高一数学证明题,求高手帮忙解答,小弟感激不尽. - ？
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广灵县15274941758： 求教高手一道高数证明题乘积的相对误差不超过各因子的相对误差之和.怎么证,用一元函数微分学解决. - ？
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广灵县15274941758： 一个高数证明题(高手进)证明:∑1/(n^2)=π/6,其中求和是从n=1到∞.不好意思,应该是证明:∑1/(n^2)=(π^2)/6,其中求和是从n=1到∞. - ？
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广灵县15274941758： 求助数学高手,用严格定义证明0.999…的极限为1高等数学证明题求证:lim0.999…=1(n→∞)要用严格定义证明(就是那个对任意很小的正数E,存在N,使得... - ？
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广灵县15274941758： 高数超难证明题!!!大神进!!!无穷级数证明难题求解!!! - ？
支俗石黄： 先证必要性: 当∑{1 ≤ n} n/(a[1]+a[2]+...+a[n])收敛. 由数列{a[n]}单调递增, 得a[1]+a[2]+...+a[n] ≤ n·a[n]. 又{a[n]}为正项数列, 有1/a[n] ≤ n/(a[1]+a[2]+...+a[n]). 根据比较判别法, 由∑{1 ≤ n} n/(a[1]+a[2]+...+a[n])收敛, 可知∑{1 ≤ n} 1/a[n]收敛.再...