什么是正交变换?
正交矩阵满足:P^TP=PP^T=E,即P^(-1)=P^T.
2.正交变换的作用:
①正交变换可以化二次型为标准型。在二次型中,我们希望找到一个可逆矩阵C,经可逆变换x=Cy,使二次型f=x^TAx=(Cy)^TACy=y^T(C^TAC)y变成标准型,也就是要使C^TAC为对角阵。
由实对称矩阵的对角化知,任给对称阵A,总有正交矩阵P,使P^(-1)AP为对角阵,因为正交矩阵P^(-1)=P^T,所以P^TAP为对角阵。
这样,如果我用的是正交变换x=Py,不就可以把二次型f=x^TAx化为f=y^T(P^TAP)y=y^T(P^(-1)AP)y=y^TΛy (其中,Λ为对角阵)了吗。如此一来,就用正交变换实现了二次型的标准化。
这是正交变换的第一个作用。
②正交变换可以研究图形的几何性质。因为正交矩阵满足:P^TP=PP^T=E,所以对于正交变换x=Py,有|x|=√(x^Tx)=√(y^TP^TPy)=√(y^Ty)=|y|.其中,|x|表示向量x的长度。
由此可见,经过正交变换后,|x|=|y|,即向量长度保持不变。
同理可证=,其中 ,>表示两向量的内积。即两向量经同一正交变换后,两向量的内积不变,而刚刚证过,他们的长度也不变,所以两向量的交角不变。
由于正交变换保持向量长度、内积不变,因而保持两向量夹角及正交性不变。因此施以正交变换后,图形的几何形状不变,可以利用正交变换研究图形的几何性质。
这是正交变换的第二个作用。
完~打字好累~哦~
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正交是直观概念中垂直的推广。作为一个形容词,只有在一个确定的内积空间中才有意义。若内积空间中两向量的内积为0,则称它们是正交的。如果能够定义向量间的夹角,则正交可以直观的理解为垂直。物理中:运动的独立性,也可以用正交来解释
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这也就是说,正交变换保持向量的长度不变,也保持两个向量之间的角度不变
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什么是正交变换矩阵?
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非奇异线性变换和正交变换什么区别?那个二次型中的A是否必须为对称矩阵...
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线性代数。题目中求所用的正交变换是什么意思?怎么做?
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二次型的正交变换具体怎么求?
则有ptap=diag(2,-1,-1). 对二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3=xtax作正交变换x=py得 f(x)=yt(qtaq)y=2y1^2-y2^2-y3^2. 得到标准型f(y),p为所求正交变换。正交变换 因为向量的模长与夹角都是用内积定义的,所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都...
线性代数正交变换将二次型化为标准型中这是什么意思?
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丁启西乐: 正交变换就相当于图形的旋转啊,平移啊这些的.正交可以保证向量的长度和两个向量之间的角度不变.