帮忙解一道高中必修五的数学题,在平行四边形中，(注AC的平方=AC2)AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2,怎么解？？

在平行四边形ABCD中,AC和BD是对角线,求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2~

ABCD是平行四边形。
过A作AE垂直BC，过D作DF垂直BC于F。
那么， BE=CF，
所以EF=BC AC^2=AE^2+(BC-BE)^2 BD^2=DF^2+(BC+CF)^2
因为 AE=DF,BE=CF，
所以 AC^2+BD^2
=2AE^2+2BC^2+2BE^2
=2(AE^2+BE^2)+2BC^2
=2AB^2+2BC^2
=AB^2+BC^2+BC^2+DA^2

呵呵


证明：连接AC，交BD于点O
∵ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO
∵DF=BE
∴ED=BF
∴OE=OF
∵OA=OC
∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）



提示
是平行四边形。因为DF=BE，所以可以通过边角边证明，△ABE与△CDF全等。
所以可以得到∠AEF=∠CFE，所以AE平行CF，又因为全等。所以可以得到AE=CF
因为AE平行且等于CF，所以四边形AECF为平行四边形

用向量，因为ac2=bd2
ac=ab+bc，ac=dc-da，两边平方，再两式相加，2倍ac2=ab2+bc2+dc2+da2+2（ab）乘（bc）乘夹角的余弦-2（dc）乘（da）乘夹角的余弦 （ab）是ab的模
因为平行四边形对角相等，又因为（ab）=（cd），（bc）=（ad）
化简得2倍ac2=ab2+bc2+cd2+da2,即ac2+bd2=ab2+bc2+cd2+da2

证明：由余弦定理，得
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cosABC BD^2=BC^2+CD^2-2BC*CD*cosBCD
平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=π AB=CD AD=BC
所以，得 AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2

用向量

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湾里区19229825583： 帮忙解一道高中必修五的数学题,在平行四边形中,(注AC的平方=AC2)AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2,怎么解?? - ？
众泄八珍： 用向量,因为ac2=bd2 ac=ab+bc,ac=dc-da,两边平方,再两式相加,2倍ac2=ab2+bc2+dc2+da2+2(ab)乘(bc)乘夹角的余弦-2(dc)乘(da)乘夹角的余弦 (ab)是ab的模 因为平行四边形对角相等,又因为(ab)=(cd),(bc)=(ad) 化简得2倍ac2=ab2+bc2+cd2+da2,即ac2+bd2=ab2+bc2+cd2+da2

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