为什么数列{ a(n)}是单调递增数列？
作者&投稿：务鸦 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
解：设 a(n) =(1 +1/n)^n, n∈N+。
由基本不等式。
a(n) ^[ 1/(n+1) ] =[ 1 *(1+1/n)^n ] ^[ 1/(n+1) ]< [ 1 +(1+1/n) *n ] /(n+1)= (n+2) /(n+1)= 1 +1/(n+1)。
所以 a(n) <[ 1 +1/(n+1) ]^(n+1)=a(n+1)。
即 { a(n) } 是单调递增数列 。
注意：
高中数学教材定义（人民教育出版社，数学必修1，P28）。
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(increasing function)。
1、函数的单调性也叫函数的增减性；
2、函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念；
3、判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤有两种主要方法：
1）定义法
a.设x1、x2∈给定区间，且x1<x2
b.计算f(x1)- f(x2)至最简。
c.判断上述差的符号。
2）求导法
利用导数公式进行求导，然后判断导函数和0的大小关系，从而判断增减性，导函数值大于0，说明是增函数，导函数值小于0，说明是减函数，前提是原函数必须是连续且可导的。
易茗七叶： 若 1<=n<=N时,总有,a(n)<=a(n+1). n>=N+1时,总有,a(n)>=a(n+1). 这样,a(N+1)就是{a(n)}的最大项.原理如下: 因1<=n<=N时,总有,a(n)<=a(n+1).所以 {a(n),1<=n<=N+1}单调递增, 因此,a(1)<=a(n)<=a(N+1), 1<=n<=N+1. 因n>...
瑞安市19686598373： 1、数列中符号{a n}表示a1,a2,...an 为什么是错的?2、数列可以看作定义在正整数集上的函数 为什么是错的?3、an=1+1/2+1/3+.+1/n 数列{an}为单调递增数... - ？
易茗七叶：[答案] 1、那个符号表示一个数列,是一个整体,而且没有说这个数列一定是截止到n的有穷数列,所以不对 2、不一定,有的数列是有穷的.只截止到第n项 3、an+1 - an=1/(n+1) 永远是正的,所以{an}是单调递增的
瑞安市19686598373： 为什么数列{(1+1/n)^1}是单调递增,且每一项的值都小于3? - ？
易茗七叶： 1+1/n=(n+1)/n(1+1/n)^-1=n/(n+1)=(n+1-1)/(n+1)=1-1/(n+1) 因为1/(n+1)递减 所以-1/n+1递增 1-1/n+1 递增 因为n=1时,1-1/2=1/2所以每一项小于3
瑞安市19686598373： 递推数列的单调性是不是与函数的导数大于零 小于零有关?大于零单调,小于零则不单调?为什么?请给出证明! - ？
易茗七叶：[答案] 无关. 令a(n)表示数列的第 n 项,f(x)是这个数列的递推函数, 即:a(n+1)=f[a(n)],那么有以下几种情形: (1) f(x) 递减,而{a(n)}无单调性,如:f(x)=1/x,当x>0时,单调递减, 而{a(n)}={a(1),1/a(1),a(1),1/a(1)…………} 这个数列只是a(1)与1/a(1) 交...
瑞安市19686598373： 大家来看看我的这个号？
易茗七叶： 令原式=x即总是 a,在0.5次方则(x a)^0.5=x平方x a=xx-x-a=0x=[1±√(1 4a)]/2显然x是正数所以原式=[1 √(1 4a)]/2 设数列a(N)由已知有a>0其中a(1)=a(这里就是数列首项a1,括号中的1是角标,后面的也是)则a(n 1)=a(n)^0.5 a 有a(1)=a0故a(n...
瑞安市19686598373： 怎么判断数列的单调性 - ？
易茗七叶： 数列的单调性 (1)一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即an+1>an,那么这个数列叫作递增数列. (2)一个数列,如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即an+1<an,那么这个数列叫作递减数列. (3)一个数列,...
瑞安市19686598373： 设{an}是等比数列 求证 数列{an}单调递增的充要条件a1<a2<a3 - ？
易茗七叶： 【证明】: 【充分性】: 若{an}是等比数列,设公比为q,且单调递增,则 a(n+1)>an 即a1*(1-q^n)/(1-q)>a1*(1-q^(n-1))/(1-q) a1*[q^n-q^(n-1)](1-q)<0 首先讨论的是恒成立,所以公比不能为负,否则正负相间的数不可能恒成立的, 若a1>0,则q∈(1,+∞) ∴自然有a10时,则q=a2/a1>1矛盾, 当an<0时,则q=a2/a1<1,成立,此时此数列为负值递增数列, 若q∈(1,+∞), 当an<0时,q=a2/a1<1矛盾, 当an>0时,q=a2/a1>1,成立,此时数列为正项递增数列. 得证!
瑞安市19686598373： 例二 为什么A是递增数列?A不是单调增函数啊 - ？
易茗七叶： 因为数列只是取n=1,2,3,4,...这此孤立的点 而函数的话是取连续的点 因此数列递增是不能保证函数是递增的, 但反过来如果函数递增,那数列必定也递增.
瑞安市19686598373： 设数列{an}的通项公式为an=n²+kn(n∈N+),若数列{an}是单调递增数列,求实数k的取值范围 - ？
易茗七叶： ∵a(n)=n^2+kn,∴a(n+1)=(n+1)^2+k(n+1)=n^2+2n+1+kn+k,∴a(n+1)-a(n)=2n+1+k.依题意,a(n)是单调递增数列,∴a(n+1)-a(n)>0,∴2n+1+k>0.显然,若n取最小值时,2n+1+k>0成立,则2n+1+k>0恒成立,而n的最小值是1,∴k>-3.
瑞安市19686598373： 对于数列{An},“An+1>|An|(n=1,2,3,……”是“{An}为递增数列”的() A 必要不充分条件 B 充分不必要 - ？
易茗七叶： B. 充分,不必要.a(n)>=0时,a(n+1)>a(n),{a(n)}单调递增.a(n)|a(n)|>=0>a(n), {a(n)}单调递增.因此,a(n+1)>|a(n)|是 {a(n)}单调递增的充分条件.但.当0>a(n+1)>a(n)时,{a(n)}是单调递增数列.而不满足a(n+1)>|a(n)|.因此,a(n+1)>|a(n)|不是{a(n)}单调递增的必要条件.
