又一道难题

考试遇到一道难题，想不出来，一时间又着急又紧张，真是…用古诗或谚语表达？~

考试时，我遇到的一道难题，想不出来，一时间又着急又紧张，真是——————（书到用时方恨少，事非经过不知难。） 希望帮到你~

智力题，考智商.一共多少个方块？

16+9+4+5+5+1=40（个）
考考大家： 这是一道可以测出一个人有没有商业头脑的数学题。王师傅是卖鱼的，一斤鱼进价45元，现亏本大甩卖，顾客35元买了一公斤，给了王师傅100元假钱，王师傅没零钱，于是找邻居换了100元。事后邻居存钱过程中发现钱是假的，被银行没收了，王师傅又赔了邻居100元，请问王师傅一共亏了多少?
注意：斤与公斤的区别
一共亏了100+（45×2-35）=100+55=155元

甲乙两台打麦机，甲机工作效率是乙机的2倍，先用甲机打完麦子的五分之三 打完麦子所需时间多11天，问分别用一台机器打完全部麦子各需多少时间？ 

分析与解 首先列出题中有关的各种量： 

(1)甲机工作效率是乙机的2倍；

 

(3)按(2)的打法所需时间比同时用两台机器打完全部麦子多11天的时间； 

(4)求分别用一台机器打完全部麦子所需的天数． 

其次，为了找出等量关系列出方程，我们仍像例1那样，从外延量和内涵量这两种不同的量入手来分析思考． 

第一，从外延量考虑等量关系．本题中的时间就是个外延量，因为外延量是可加的，那么利用前面提到的找等量关系的第二条原则，注意到“全量=部分量之和”或其推论，只要找到同一个时间的两种不同表示法，等量关系也就找出来了．为此，如果我们设x为甲机打完全部麦子所需要的时间(天数)，那么2x就是乙机打完全部麦子所需要的时间(天 

比同时用两台机器全部打完麦子所需时间多11天”可知，这一关键语给 

这两个表达式，表示的是同一时间，因此它们相等，这就得到如下方程 

解这个方程，得到 

x=15(天)……甲机打完全部麦子的天数， 

那么 

2x=30(天)……乙机打完全部麦子的天数． 

第二，从内涵量考虑等量关系．本题中甲乙两机的工作效率就是个内涵量，如果设x为甲机打完全部麦子所需时间(天数)，则2x为乙机打完全部麦子所需时间(天数)，那么 

就是甲乙两机每天共同的工作效率．如果再找出甲乙两机每天工作效率的另一种表示法，那么方程也就列出来了． 

由于全部的工作量设为1，而甲乙两机同时工作打完全部麦子的时间为 

所以甲乙两机每天共同的工作效率又可写成 

把甲乙两机每天共同的工作效率用等号连接起来，就得到方程 

解这个方程，就得到 

x=15(天)……甲打完全部麦子的时间， 

2x=30(天)……乙打完全部麦子的时间． 

从外延量考虑等量关系时，注意到时间这个外延量的可加性，并利用了“全量=部分量之和”的原则．从内涵量考虑等量关系时，是利用了工作效率这个内涵量的等比表示法．

给这一讲的全部你,不单单要会做这题,要会做所有同类的题!!

第二十七讲 列方程解应用问题中的量与等量
列方程解应用问题时,比较困难的一环常常是同学们不知如何着手去找等量关系.又由于应用问题类型繁多,等量关系千变万化,什么工程问题,行程问题,浓度问题,等等,如果每一种问题都来考查一下找等量关系的规律,这不仅太繁杂,而且罗列也不是真正的概括.那么根据什么原则来找出应用问题中的等量关系,列出方程呢
为此,我们必须先对"量"做个基本的分析和介绍,只有对量有了比较明确的认识,才便于了解"等量",那么找等量关系也就有了依据.所谓"量"就是表现物体属性的一个侧面.例如拿一根金属棒来说,为了弄清它的性状,就要知道这根金属棒的重量,长度,体积,密度,比重,价格,等等,这些方面都是从一定的侧面来表现物体不同属性的,这就是所谓的量.
一般说来,常用的量基本上可以分为两大类.例如,一群羊,一堆蛋等,因为它们具有天然的个别单位,所以处理这种量只要数一数它们的个数1,2,3,…就可以了.这种量我们称它为分离量,分离量的特点是可数的.另一种量,例如一根绳子的长度,一桶水的重量等,长度和重量这种量虽然不具有天然的个别单位可数,但这种量的基本特点是它们可以无限细分,因此我们可以选取人为的单位去度量它们.比如,度量长度,我们可以选用米或厘米作为长度单位;度量重量,我们可以选用千克或克等作为重量单位.取定了度量单位之后,就可以度量这种量的多少了.我们称这种量为连续量,它的一个基本特点是可以度量.
在连续量之中,例如长度,面积,体积,重量,时间等等,这些量既可以细分又可以广延,我们称这种量为外延量.连续量中的另一类是由两种外延量之比产生出来的,用以表示"强度",这种量称为内涵量.例如表示单位面积上承受多少压力的"压强"就是一个内涵量.这是因为
它是由两种外延量(压力和面积)之比得来的.
如果把内涵量再分类,又可以分为两种,其中一种是由不同种外延量之比产生的量,我们称它为度.例如
等等都是度.
另外一种内涵量是由两个同种外延量之比得来的,我们称它为率.例如
等等都是率.
这样,可以把常见的量的分类归纳如下:
我们对量有了一定的了解之后,从量的种类入手,找等量关系,就有了可以遵循的基本原则和方法了.
第一,因为分离量不能和连续量相等,外延量不能和内涵量相等,度不能和率相等,因此,等量关系只能在同种量中寻找,即
分离量=分离量,外延量=外延量,
度=度,率=率.
第二,因为分离量和外延量是可加的,所以如果要确定分离量或外延量的某种相等关系,便可以利用"全量=部分量之和"(它的推理是"部分量=全量的一部分量","部分量之和=部分量之和",特例是"全量=全量")的原则.
第三,因为度和率是两种外延量之比,如果要确定的是度或率的某种相等关系,只须找到同一个度或率的两种不同表达式,然后用等号连接起来就可以列出方程了.我们把这种思考方法叫作度或率的等比表示法.
下面通过几个实例来说明上述原则和方法的运用.
例1 设A,B两地相距82千米(km),甲骑自行车由A向B驶去,9分钟(min)后,乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2千米的速度向A驶去,两人在距B地40千米处相遇,问甲乙的速度各是多少
分析与解 首先我们列出题中的各种已知量和待求的量:
(1)A,B两地的距离是82千米;
(2)甲乙两人相向而行,甲比乙先行9分钟;
(3)每小时乙比甲多走2千米;
(4)两人相遇地点距B地40千米;
(5)求甲乙的速度.
其次,就要设一个适当的未知量,并把它看作"已知量",根据题中所给的条件,把已知量和未知量联系起来,找等量关系列方程.为此,我们可有不同的思考方法.
第一,可以从外延量考虑等量关系.本题中,时间,距离都是外延量.比如,我们考虑时间这个外延量,那么如何找出本题中有关时间的一个等量关系呢 因为甲乙中途相遇,那么自然要问甲由A出发到与乙相遇走了多少时间 乙由B出发到与甲相遇走了多少时间 这两者又有什么关系 联系已知条件,利用全量=部分量之和可知
甲由A出发到遇到乙的时间
=乙由B出发到遇到甲的时间+9分钟,①
又考虑到
如果设甲的速度为x千米/小时(km/h),那么乙的速度为(x+2)千

②的解是x=30千米(方程②的解法留给读者),所以甲的速度是每小时行30千米,乙的速度是每小时32千米.
第二,也可以从内涵量找等量关系.在本题中,速度就是个内涵量,以速度来找等量关系,就是寻找甲的速度和乙的速度之间的关系问题.由已知条件可知,乙每小时比甲多走2千米,即
甲的速度=乙的速度-2,③
因此,如果设甲与乙相遇时正好走了x小时,那么乙遇甲时走了
时.由③式,可知甲的速度的另一种表示法是乙的速度-2,即

乙的速度为32(千米/小时).
在以上两种找等量关系的思考方法中,第一种方法,从外延量考虑,利用了"全量=部分量之和"的原则.第二种方法从内涵量考虑,注意到了"度"的等比表示法.
例2 甲乙两台打麦机,甲机工作效率是乙机的2倍,先用甲机打打完麦子所需时间多11天,问分别用一台机器打完全部麦子各需多少时间
分析与解 首先列出题中有关的各种量:
(1)甲机工作效率是乙机的2倍;

(3)按(2)的打法所需时间比同时用两台机器打完全部麦子多11天的时间;
(4)求分别用一台机器打完全部麦子所需的天数.
其次,为了找出等量关系列出方程,我们仍像例1那样,从外延量和内涵量这两种不同的量入手来分析思考.
第一,从外延量考虑等量关系.本题中的时间就是个外延量,因为外延量是可加的,那么利用前面提到的找等量关系的第二条原则,注意到"全量=部分量之和"或其推论,只要找到同一个时间的两种不同表示法,等量关系也就找出来了.为此,如果我们设x为甲机打完全部麦子所需要的时间(天数),那么2x就是乙机打完全部麦子所需要的时间(天
比同时用两台机器全部打完麦子所需时间多11天"可知,这一关键语给

这两个表达式,表示的是同一时间,因此它们相等,这就得到如下方程
解这个方程,得到
x=15(天)……甲机打完全部麦子的天数,
那么
2x=30(天)……乙机打完全部麦子的天数.
第二,从内涵量考虑等量关系.本题中甲乙两机的工作效率就是个内涵量,如果设x为甲机打完全部麦子所需时间(天数),则2x为乙机打完全部麦子所需时间(天数),那么
就是甲乙两机每天共同的工作效率.如果再找出甲乙两机每天工作效率的另一种表示法,那么方程也就列出来了.
由于全部的工作量设为1,而甲乙两机同时工作打完全部麦子的时间为
所以甲乙两机每天共同的工作效率又可写成
把甲乙两机每天共同的工作效率用等号连接起来,就得到方程
解这个方程,就得到
x=15(天)……甲打完全部麦子的时间,
2x=30(天)……乙打完全部麦子的时间.
例2的分析和例1类似,从外延量考虑等量关系时,注意到时间这个外延量的可加性,并利用了"全量=部分量之和"的原则.从内涵量考虑等量关系时,是利用了工作效率这个内涵量的等比表示法.
例3 要在含50%酒精的800克(g)酒中,倒入含酒精85%的酒多少克,才能配成含酒精75%的酒
分析与解 本题涉及的量有溶液,溶质和浓度,其中溶液,溶质是外延量,浓度是内涵量,这三者之间的关系是
因此,在找等量关系时,既可以从外延量(溶液,溶质)来考虑,也可以从内涵量(浓度)来考虑.
第一,从外延量来考虑等量关系.由题意可知
(1)要求的混合溶液的重量=已知两种溶液重量的和;
(2)要求的混合溶液中,溶质的重量=已知的两种溶液中溶质重量的和.
所以无论从溶液还是溶质来考虑等量关系,都可以用"全量=部分量之和"的原则来确定等量关系.如果设x为倒入含酒精85%的酒的重量,那么由(1)可知,混合溶液重量=800+x,再由(2)就可列出方程
解上述方程,就得到
x=2000(克).
第二,从内涵量考虑等量关系.由于本题中浓度是内涵量,因此只须找出混合溶液浓度的两种不同表示式,即可列出方程.现在已知混合溶液的浓度是75%,所以再找出混合溶液浓度的另一种表达式就行了.因为
所以,只须找到混合溶液中的溶质和溶液的重量即可.为此,若设x为倒入的含酒精85%的酒的重量,则混合溶液重量=800+x.因为,甲种酒中含酒精的重量为50%×800,乙种酒中含酒精的重量为85%x,所以由(2)可知:混合溶液中含酒精的重量为50%×800+85%x.所以,混合溶液浓度的另一种表达式为
上式表示式等于75%,于是得到方程
解这个方程,得到
x=2000(克).
综上,例1,例2,例3表面上看是三类问题,其实是完全类似的.在这三例中所涉及的量有如下对应关系:
这样,一般所说的行程问题,工程问题,浓度问题,从上面的分析解法可知是完全类似的.因为工作效率可以看成工作速度,而浓度表示的是强度,在这样的意义下,它们自然可以看成是类似问题,因此,从外延量或内涵量来找等量关系列方程,也就有了统一的方法.
其实,广而言之,如果应用题所涉及的量是内涵量,或由它转化而
外延量=外延量÷内涵量),那么,在表示某种强度的意义下,都可看成同类问题.当然各自的物理意义不同,因此,结合各个具体问题,作出具体分析,但是找等量关系列方程的基本思考方法却是共同的.
练习二十七
1.解下列方程:

(4)75%(800+x)=50%×800+85%x;

2.两条船分别从河的两岸同时相对开出,它们的速度各自一定,第一次相遇在距河的一岸800米(m)处,然后继续前进,各自到达对岸后立即折回,第二次相遇在距河的另一岸600米处,如果认定船到对岸反向航行时不耽误时间,并且不考虑水流速度,问河宽有多少米
3.甲乙两个小组合作完成一件工作,乙组单独做1天后,由甲乙两组合作了2天就完成了全部工作.问甲乙两组单独完成此项工作,各需多少天
4.已知甲种盐水含盐40%,乙种盐水含盐15%,现在要制成5千克(kg)含盐25%的盐水,试问需要甲乙两种盐水各多少千克
5.植树节这一天,某校学生去植树,如果每人植树6株,只能完成植树40株,求参加植树的人数及原计划植树的株数.

甲乙两机每天共同的工作效率又可写成

把甲乙两机每天共同的工作效率用等号连接起来，就得到方程

解这个方程，就得到
x=15(天)……甲打完全部麦子的时间，
2x=30(天)……乙打完全部麦子的时间．

乙是设X
甲是2X
2X－X＝11

X＝11
乙需要11天打完，甲需要22天打完。

x=15(天)……甲打完全部麦子的时间，
2x=30(天)……乙打完全部麦子的时间．

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兴宁区19573602727： 又一道数学难题,急急急啊!!？
羊变健胃： (1)∵OC=OB,∠BOC=60° ∴△OBC是等边三角形 ∴四边形ABCO是菱形 ∴AC⊥ OB 同理,BD⊥ OC ∴∠AED=360°-60°-180°=120° ∴∠AEB=60° (2)用一个比较麻烦的方法,反正能做出来... 设∠BOC=α ∵OC=OB ∴∠OCB=90°-1/2α ∵OC=OA,∠AOC=60°+α ∴∠OCA=60°-1/2α ∴∠ACB=30° 通过证明三角形全等得到EC=EB, ∴∠AEB=60°

兴宁区19573602727： 又是一道数学难题？
羊变健胃： 证明:将三角行ADF以A点为心逆时针旋转270+∠FDA的角度至正方形ABCD上方,AD与AB重合,因为显然旋转后形成的三角行(AFE)的∠EAF=∠FAD+∠EAB=45,因此(AFE)与三角行AFE全等,全等三角行高相等,AP=AB.