求下列级数的和函数 ∑n*x^n n=（1，无穷）

求幂级数的和函数 求和n=1到无穷 （n/（n+1））x^n~

收敛区间我就不求了，你自复己算下
收敛区间为(-1，1)
设S(x)=∑
nx^制n/(n+1)
两边同乘x
xS(x)=∑
nx^(n+1)/(n+1)
令F(x)=xS(x)=∑
nx^(n+1)/(n+1)
两边同时求导
F'(x)=∑
nx^n
两边同除x
F'(x)/x=∑
nx^(n-1)
令G(x)=F'(x)/x=∑
nx^(n-1)
两边同时积分zd
∫G(x)dx=∑
x^n=x+x²+x³+……
无穷等比级数
=x/(1-x)
所以G(x)=[x/(1-x)]'=(1-x+x)/(1-x)²=1/(1-x)²
F'(x)=x/(1-x)²=x/(x-1)²=(x-1+1)/(x-1)²=1/(x-1)
+1/(x-1)²
积分得
F(x)=ln(1-x)
-
1/(x-1)
+C
因为F(0)=0S(0)=0
得C=-1
则F(x)=ln(1-x)
+
1/(1-x)
-1=ln(1-x)
+
x/(1-x)
所以S(x)=(1/x)
[ln(1-x)
+
x/(1-x)]

先讨论收敛域，再利用求导求积法求出和函数。
下图的计算过程请你参考，注意最后一行才是你的问题答案，前面把幂次改了方便求和。

如图先确定收敛域是(-1,1)，再利用等比级数求导得出和函数。

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咸阳市18522607860： 求∑(n=1~∝)1/n*X^n的和函数. - ？
汤吴黄金： 先对其逐项求导,求出导数的和函数,再积分积分积回去.此题是基础题,任何一本相关教材都有此类例题.关键在于利用逐项积分和求导的性质,变成常用的你背过的那几种形式求解.别的形式你不会考试也不会考.

咸阳市18522607860： 求下列幂级数的和函数 - ？
汤吴黄金： 利用∫x^adx=x^(a+1)/(a+1)+C得到 原式=∑【∫〔0到x〕(x^n/n)dx】=∑【∫〔0到x〕(∫〔0到x〕x^(n-1)dx)dx】 把和号放进两个积分号里得到=∫〔0到x〕(∫〔0到x〕∑x^(n-1)dx)dx 利用等比级数的结论:∑x^n=首项/(1-x)得到=∫〔0到x〕(∫〔0到x〕1/(1-x)dx)dx 把两个积分求出来得到=x+(1-x)*Ln(1-x).

咸阳市18522607860： 求幂级数在其收敛域内的和函数:∑n(n+1)x^n - ？
汤吴黄金：[答案] 级数∑(n=1,+∞)x^(n+1)=x^2/(1-x) |x|

咸阳市18522607860： 怎样利用逐项求导或逐项积分求级数的和函数 ∑(0~无穷)n*x^(n - 1) - ？
汤吴黄金：[答案] S(x)=∑(0~无穷)n*x^(n-1) ∫ S(x) dx= ∫ ∑(0~无穷)n*x^(n-1) dx =∑(0~无穷) ∫ n*x^(n-1) dx =∑(0~无穷) x^n 等比求和 =1/(1-x) S(x)=(1/(1-x))'=1/(1-x)^2

咸阳市18522607860： 求下列级数的和函数:∑(n=0,∞)x^n/2^n - ？
汤吴黄金： 因为:要∑(n=0,∞)x^n/2^n收敛,x<2,∑(n=0,n)x^k/2^k=[1-(x/2)^(n+1)]/(1-x/2) :∑(n=0,∞)x^n/2^n=1/(1-x/2)

咸阳市18522607860： 幂级数求其和函数,为什么∑(n→∞)x^n=x/(1 - x) 而不是∑(n→∞)x^n=1/(1 - x)原题是求∑n*x^(n - 1) 的和函数 解法是先积分求得∑(n→∞)x^n=x/(1 - x) 再求导,为什么... - ？
汤吴黄金：[答案] ∑(i从1到n)x^i=x(1-x^n)/(1-x) x的绝对值小于1且当n趋于无穷的时候, ∑(n→∞)x^n=x/(1-x) 上面说的是x的幂从1开始的 但如果幂从0开始的话就是 ∑(n从0到∞)x^n=1/(1-x) 关键是幂从0开始还是从1开始 对于你这个原题n肯定是从1开始的,因为有一个...

咸阳市18522607860： 求幂级数∑(n+1)/n(x^n)在其收敛域上的和函数 - ？
汤吴黄金：[答案] 显然由比值审敛法易知其收敛域为(-1,1) ∑(n+1)/n(x^n)=∑(1+1/n)*x^n=∑x^n+∑(1/n)*x^n=x/(1-x)+∑(1/n)*x^n 令f(x)=∑(1/n)*x^n 则f′(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x) 所以f(x)=∫(上x,下0)1/(1-x) dx =-ln(1-x) 所以 ∑(n+1)/n(x^n)=x/(1-x)-ln(1-x)

咸阳市18522607860： 幂级数求和函数求幂级数∑[(n+1)/n!]x^n的和函数 - ？
汤吴黄金：[答案] 鉴于没有悬赏,电脑也不是很好用,我只能告诉你方法了 先对x积分一下,得到∑[1/n!]x^(n+1)这个的和大概是x*e^x吧,然后求导就行 (n+1)/n!拆开后求和

咸阳市18522607860： 求下列级数的和函数 ∑(x^n/n) - ？
汤吴黄金：[答案] 你好:设s(x)=∑ x^n/n!(n=0到无穷大)则,a(n+1)/a(n)=n!/(n+1)!=1/(n+1)--->0R=+∞ 收敛域:(-∞,+∞)s'(x)=∑ x^(n-1)/(n-1)!(n=1到无穷大)=s(x)d(S)/S=dx s(0)=1lnS(x)-lnS(0)=x∴s(x)=e^x很高兴为你...

咸阳市18522607860： 求级数∑(2n+1)x^n在其收敛区间内的和函数 - ？
汤吴黄金：[答案] ∑(∞,n→0)(2n+1)x^n R=lim|2n-1/2n+1|=1 x=1时∑(∞,n→0)(2n+1)发散, x=-1时∑(∞,n→0)(-1)^n(2n+1)也发散, 所以收敛域为(-1,1) 令s(x)=∑(∞,n→0)(2n+1)x^n=∑(∞,n→1)2nx^n+∑(∞,n→0)x^n 再令∑(∞,n→1)2nx^n=s1(x) s1(x)=2x∑(∞,n→1)nx^(n-1) ...