证明连续性

如何证明函数的连续性？~

定理(反函数的连续性) 若函数f(x)在闭区间［a,b］上严格递增(递减)且连续，则反函数x＝f－1（y）。在［f(a),f(b)］(［f(b),f(a)］)上严格递增(递减)且连续。


证: x＝f－1(y)严格单调性前面已经证明，下面来证明连续，不妨设f(x)在［a,b］上严格递增，
则f(［a,b］)＝［f(a),f(b)］于是x＝f－1（y）的定义域是［f(a),f(b)］

设y0∈(f(a),f(b))，且x0＝f－1（y0），则x0∈(a,b),y0＝f(x0)，任给ε＞0，若要｜f－1（y）－f－1(y0)｜＜ε，有｜x－x0｜＜ε即x0－ε＜x＜x0＋ε，设y1＝f(x0－ε)，y2＝f(x0＋ε)，由f(x)严格递增，只要f(x0－ε)＜f(x)＜f(x0＋ε)，即y1＜y＜y2，取δ＝min｛y2－y0，y0－y1｝。当｜y－y0｜＜δ时，有y0－δ＜y＜y0＋δ，由δ≤y2－y0且δ≤y0－y1，则y0＋δ≤y2且y1≤y0－δ，因此，y0－δ＜y＜y0＋δ时，有y1＜y＜y2，有｜f－1(y)－f－1（y0）｜＜ε，所以x＝f－1（y）在点y0处连续。?应用左、右连续定义，同样可证x＝f－1(y)在f(a),f(b)处的连续性。

lim(x→0+)F(X)=-2
lim(x→0-)F(X)=3
lim(x→0+)F(X)≠lim(x→0-)F(X)
所以函数F(X)，X=0处不连续

第二个问题就是证明，对于任意n，在F（X）的任意点可导。
首先对于任意的n，任意的X
F（X）=lim(x→X+)F(X）=lim(x→X-)F(X)=X^n，
可知道，F（X）在X处连续，

f`(X)|X→X+=nX^(n-1)
f`(X)|X→X-=nX^(n-1)
f`(X)|X→X+ = f`(X)|X→X-
所以 F（X）在X处可导
所以得证

题目的意思，我理解的是正确的，只是……万恶的教材啊，
是不是LZ教材里没学过f(x)=x^n的导数是什么呢？
所以题中的意思指不过就是让你先证明一遍
f`(X)=nX^(n-1)，然后再按我这么证明而已。

关于这个导数的证明，因为符号不好打的关系，我用C（i,j）表示组合数
Á(h) = (（a+h)^n - a^n) /h（h是一个任意小的正数）
=（a^n+c(n,1)a^(n-1)h+^...+c(n,n-1)ah^(n-1)+h^n-a^n）/h
=c(n,1)a^(n-1)h/h(此处舍去了h^2以上的小量)
=na^(n-1)
f`(X)=nX^(n-1)，就是这么证明出来的。
LZ明白了吧

关于第三个问题
请问LZ，下面的这个式子是怎么来的？
lim(Δx->0) ((x+Δx)^n-x^n)/Δx
=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
只不过换了个表示的字母而已，其他的和我说的方法本质是一样的吧。
在数学里，无穷小的整式就可以被看作是0. 就是这么简单的道理。
如果LZ非要说这个是两种方法的话，应该是用哪种都对

F-(0)=F(0)=-2
F+(0)=3!=F-(0)
所以不连续

两种方法在本质上是一样的，只是采用的变化量不一样
(（a+h)^n - a^n) /h
=（a^n+nha^(n-1)-a^n+A）/h
=na^(n-1)+A/h
A是a的高阶无穷小，所以A/h=0

f'(x)=lim(Δx->0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx =lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
下面分析为什么要舍去h^2以上的小量，由极限的加减运算性质得到上式等于lim(Δx->0)[nΔx·x^(n-1)]/Δx+lim(Δx->0)A/Δx,这样只需证明lim(Δx->0)A/Δx=0就行了，A表示的有若干项，考虑其中任意一项A1,lim(Δx->0)A1/Δx，由于都是二阶的无穷的小量除以Δx后，还至少剩一个Δx，若干个无穷小量的积仍是无穷的小量，lim(Δx->0)A1/Δx=lim(Δx->0)Δx*C,[Δx也表示非一个无穷的小量]=lim(Δx->0)C*lim(Δx->0)Δx=C*0=0，这里用到了无穷小量的 极限是0，

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同安区18184447279： 怎么证明函数的连续性? ？
福宋来喜： 证明一个分段函数是连续函数.首先看各分段函数的函数式是不是连续,然后看分段函数的分段点,左右极限是否相等并等于函数值.分段点处的左极限用左边的函数式做...

同安区18184447279： 函数连续性如何证明函数的连续性,请举例说明. - ？
福宋来喜：[答案] 哎,大数没怎么学, 不过思路 是,证明函数上面的每一个点,的左极限=右极限=函数值. 求极限怎么求的我是忘了,so.

同安区18184447279： 1/x的连续性的证明 - ？
福宋来喜： 定理(反函数的连续性) 若函数f(x)在闭区间[a,b]上严格递增(递减)且连续,则反函数x=f-1(y).在[f(a),f(b)]([f(b),f(a)])上严格递增(递减)且连续.证: x=f-1(y)严格单调性前面已经证明,下面来证明连续,不妨设f(x)在[a,b]上严格递增, 则f([a,b])=[f(a),f(b)]于是x=f-1(y)的定义域是[f(a),f(b)]设y0∈(f(a),f(b)),且x0=f-1(y0),则x0∈(a,b),y0=f(x0),任给ε>0,若要|f-1(y)-f-1(y0)|

同安区18184447279： 证明函数连续性和可导性的方法有哪些? - ？
福宋来喜：[答案] 对于一元函数,连续性,1.如果其导数存在,那么必连续;2.定义法:左连续=右连续=函数值 可导性,1.定义法;2.对于初级函数,都是可导的.

同安区18184447279： 怎样证明一个函数在某点的连续性和可导性啊? - ？
福宋来喜：[答案] 证明可到,这点比连续.只要证明可到就行了.首先,用无穷大证明,在这点左边无穷大有一个值,然后证明右边无穷大有一个值.然后这两个值相等就行了.它的函数图象必须连续才行.

同安区18184447279： 证明连续性 - ？
福宋来喜： lim(x→0+)F(X)=-2 lim(x→0-)F(X)=3 lim(x→0+)F(X)≠lim(x→0-)F(X) 所以函数F(X),X=0处不连续第二个问题就是证明,对于任意n,在F(X)的任意点可导. 首先对于任意的n,任意的X F(X)=lim(x→X+)F(X)=lim(x→X-)F(X)=X^n, 可知道,F(X)在X...

同安区18184447279： 如何证明函数的连续性? ？
福宋来喜： 一、若知该函数为初等函数,则说明它是初等函数,在其定义区间上均连续;二、若该函数为一元函数,则可对该函数求导,其导数在某点上有意义则函数则该点必然连续---可导必连续;三、实在不行,只好求极限,函数在该点极限等于函数在该点函数值,则连续;注:左右极限只是求极限的一个部分内容,当函数为分段函数时,分段点处的极限求法必须使用左右极限来求.

同安区18184447279： 高数,证明arcsinx的连续性(用定义证明) - ？
福宋来喜：[答案] 用定义证明连续性,关键就是不等式放缩. 这里用到不等式(可用面积证明):对0 另外,为了放缩的比较简洁,用不等式(可移项平方证明): 对0 ≤ a ≤ b,有0 ≤ √b-√a ≤ √(b-a), 推论是对任意a,b ≥ 0,有|√b-√a| ≤ √(|b-a|) ②. 对任意-1 ≤ y 有0 ...

同安区18184447279： 函数连续性的证明已知f(x)和g(x)在x0处连续,求证h(x)=max(f(x),g(x))在x0处连续. - ？
福宋来喜：[答案] 首先若f(x)在某点连续,则易证|f(x)|也在那点连续 而h(x)=(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)/2 所以h(x)在x0处连续

同安区18184447279： 如何证明函数在区间上上的连续性与导性 - ？
福宋来喜：[答案] 连续性就是证每个点的左极限等于右极限等于该点的值,初等函数在其定义域内都是连续的,你的举例就是 可导性就是某点的左导等于右导,例如y=x在x=0点可导,但y=x的绝对值在x=0点不可导