函数是讲的什么

函数是什么，通俗点讲。~

函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。

传统定义

　　在某一变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则y与x有函数关系。一般用y=f(x)表示。其中x叫做自变量，y叫做因变量
经典定义：
在某个坐标变化过程中，如果有两个变量x和y，按照牛顿三定律，对每一个给定的x值，y都有唯一确定的值与它对应，确定y=x的函数。x=自变量，y作为x的因变量。
另外，若对于每一个给定的y值,都有X与其对应。
现代定义
一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。


记作：x→y=f(x),x∈A.集合A叫做函数的定义域，记为D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，记为C。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。
用映射的定义
一般地，给定非空数集A,B，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。
向量函数:自变量是向量的函数 叫向量函数 f（a1.a2，a3......an）=y
对应、映射、函数三者的重要关系：
函数是数集上的映射，映射是特指的对应。即：{函数}包含于{映射}包含于{对应}
编程定义
函数过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作——通常是处理文本，控制输入或计算数值。通过在程序代码中引入函数名称和所需的参数，可在该程序中执行（或称调用）该函数。
类似过程，不过函数一般都有一个返回值。它们都可在自己结构里面调用自己，称为递归。
大多数编程语言构建函数的方法里都含有Function关键字（或称保留字）。
函数是数学中的一个基本概念，也是代数学里面最重要的概念之一。

首先要理解，函数是发生在非空数集之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。


函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图象，表格及其他形式表示。

函数是数学名词，代数式中，凡相关的两数X与Y，对于每个X值，都只有一个Y的对应值。这种对应关系就表示Y是X的函数。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量。

函数是一个数学概念，也是从我们初中开始知道本科硕士甚至博士都会接触到的一个概念。那么函数究竟是什么呢？

1. 函数的一般定义

   我们学过的最经典的定义莫过于“一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。”这个定义其实就已经可以解决绝大部分的问题。
   近代以后，集合的概念出现，函数的定义也开始与集合扯上关系：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称映射f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}。其中x叫作自变量，y叫做x的函数，集合A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函数的值域，f叫做对应法则。其中，定义域、值域和对应法则被称为函数三要素。若省略定义域，一般是指使函数有意义的集合。

   笔者认为，在定义上做过多细枝末节的纠缠没有意义。就像民事诉讼法中的诉讼标的，旧说认为是争议的法律关系，新说就眼花缭乱，但是对实务并没有太大帮助。

   函数中最需要注意的是，只要满足对应关系，就是函数，不需要必须能用公式表示出来。比如，公历日期和当天的平均温度就是满足上述构成要件的函数，但是这个函数关系不能用公式表示。而且按照集合定义，函数与映射在数学上几乎没有本质区别。

2. 函数的发展历史

   西方：

   ①伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
   ②1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系 。
   ③1718年约翰·柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。
   ④1748年，欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
   ⑤1755年，欧拉给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”
   ⑥1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
   ⑦1822年傅里叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。
   ⑧1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。
   等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，奥斯瓦尔德维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
   ⑨1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
   ⑩1930 年，新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为f。元素x称为自变量，元素y称为因变量。”

   中国：

   中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
   中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组  。

3. 函数的表示方法

   函数的表示方法有列举法，图表法，解析式法，语言描述法。但是要注意，在这其中前三种方法都不能用来描述所有的函数。

   ①图表法不能用来表示的函数：诸如f(x)=:1（x为有理数）；0（x为无理数）这样的函数是不能用图表法表示的。

   ②列举法不能用来表示的函数：所有的无限函数，列举法的概括都是不全面也不可能全面的。

   ③解析式法：诸如日期与温度这样的随机数性质的函数不能用解析式表示。

4. 函数的性质

   认识并掌握一个函数，一般可以从有界性，单调性，奇偶性，周期性，连续性，凹凸性等方面加以认识。当然，这里指的绝大部分都是可以用解析式表示的函数。

5. 基本初等函数

   基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。当然，在实际教学中，一次函数，二次函数与三次函数也被视为基本初等函数。

6. 对二元性的突破

   函数并非只可以指一对一的关系，一个变量完全可以与多个变量发生关系。一对一的函数可以在平面直角坐标系中表示，而二元函数（如f(x,y)=）可以在空间直角坐标系中表示。更多元的函数虽然无法用图像表示，但是它们在多维空间中是一定存在的。事实上。日常生活中的事件都是多个因素叠加的结果，研究多元函数有其更为深远的实践意义。

函数就是讲一个未知数Y，随着自变量（通常就是X表示）的变化，Y的值是多少在函数图象上实际就相当于在X变化到什么值，Y的值是多少而已。

函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。

彼此相关的两个量之一,他们的关系是一个量的诸值与另外一个量的诸值相对应

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黄山市18840243041： 谁能形象生动的说一下什么是函数?我想给我8岁弟弟讲 - ？
井昨盐酸： 函数:就是一种数字加工机器,具有一定的规则.如:加倍函数f(x)=2*x.就是把送进机器的数字加倍.进出2出来4,进去5出来10.再如:两数相加函数(其实就是加法)f(x,y)=x+y.就是把送进机器的两个数字相加.进出2和3出来5,进去3、5出来8.还有的函数非常复杂.如进去100出来2,进去1000出来3,进去1出来0.(嘿嘿,以10为底的对数哦).

黄山市18840243041： 函数的定义是什么,别拿书上的话回答,说的生动一点 - ？
井昨盐酸： 函数实际上就是函数值(一般用f(x)或y表示)与自变量x之间的对应关系,也就是说在自变量x的定于域内,给定一个x的值,必定有一个函数值相对应.

黄山市18840243041： 数学函数是讲什么意思的,要详细的 - ？
井昨盐酸： 看样子是初中吧.简单讲就是给定一个值(x) 都有相应的值(y)与之对应 然后就是求函数解析式 用解析式回答实际问题 比如:设你的年龄为x (岁) 你的身高为y(m) 那么每给定一个年龄x 就有对应的身高y 所以你的身高与年龄呈函数关系 如果解析式为y=x 有了解析式就可以通过年龄求身高了 eg:年龄为1岁时身高为1m

黄山市18840243041： 谁给我讲讲什么叫函数,什么叫函数值?因为我刚刚学,还不大懂,谁帮我讲讲?要细一些. - ？
井昨盐酸：[答案] 表示一组数据与另一组数据的对应数值可以通过相同的运算得到,这种运算就是函数.当数据取一个值,另一组数据就有一个值与其对应,这个值就是函数值

黄山市18840243041： 什么叫函数,函数有什么意义 - ？
井昨盐酸： 一次函数 I、定义与定义式: 自变量x和因变量y有如下关系: y=kx+b(k,b为常数,k≠0) 则称y是x的一次函数. 特别地,当b=0时,y是x的正比例函数. II、一次函数的性质: y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k 即 △y/△x=k III、一次函...

黄山市18840243041： 函数是什么,说清楚一点,最好有个例子 - ？
井昨盐酸： 函数就是代入一个变量,能自动计算的一种表达式,比如EXCEL求和函数为SUM(区域),区域可以理解为变量,它可以是几个常数,几个单元格,或多个单元格区域

黄山市18840243041： 什么叫函数??? - ？
井昨盐酸： 函数:在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素. 理解函数可以从下面几方面去理解: l 两组元素 l 对应的规则, l 第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量. ...

黄山市18840243041： 初二函数概念函数到底是什么啊?是一个数,还是一个关系式?书上写的是y是X的函数,但也说,函数y=kx+b到底是什么?讲仔细些 - ？
井昨盐酸：[答案] 函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y,变量Y随着变量X一起变化,而且依赖于X.如果变量X取某个特定的值,Y依确定的关系取相应的值,那么称Y是X的函数.这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的,但是最早产生于德国的...

黄山市18840243041： 什么是函数?？
井昨盐酸： 通俗的讲,函数相当于一个解决问题的方法,调用function 函数就可以使用这个函数里的语句(相当于解决问题的途径)来达到想要的目的,比如在一个函数里键入弹出警告窗口的语句,那么当调用函数时,就会弹出警告窗口;函数就是解决问题的方法;

黄山市18840243041： 什么是函数 - ？
井昨盐酸： 通俗的讲,函数就是能完成某一个功能的一个模块. 比如 int sum(int a, int b) { return a+b; } 完成的就是计算两个数字相加的功能,通过这个sum函数(也就是求和模块),可以得到两个数字相加的值. 利用函数的优点一个是它可以重(chong)用,比如这个sum函数,在任何地方你求和时都可以直接使用sum(2,3).这样在修改代码时只需要修改对应的函数一处就可以,大大减少了修改时间. 另外一点就是让代码结构变得清楚.