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班级 号数 姓名 成绩
(本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟。)
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求)
1.已知 ,则“ ”是“ ”的(★★★)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设 、 是不同的直线, 、 、 是不同的平面,有以下四个命题:
① 若 则 ②若 , ,则
③ 若 ,则 ④若 ,则
其中真命题的序号是(★★★)
A. ①④ B. ②③ C.②④ D.①③
3.袋中有40个小球,其中红色球16个,蓝色球12个,白色球8个,黄色球4个,从中随机抽取10个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为(★★★)
A. B. C. D.
4.△ABC中, 的面积为(★★★)
A. B.1 C. D.
5.函数 的零点一定位于区间(★★★)
A. B. C. D.
6.已知 ,则下列不等式一定成立的是(★★★)
A. B. C. D.
7.已知Sn表示等差数列 的前n项和,且 等于(★★★)
A. B. C. D.
8.下列命题中是假命题的是(★★★)
A.
B.“ ”的否定是“ ”
C. 上递减
D. 都不是偶函数
9. 定义在 上的函数 满足 ,当 时, ,则 时, 的最小值为(★★★)
A. B. C. D.
10.如果一个几何体的三视图如右下图所示,其中正视图中 是边长为 的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为(★★★)
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上)
11. 已知x,y满足 ,则 的最大值等于★★★★★★.
12.按右图所示的程序框图,若输入 ,
则输出 ★★★★★★.
13. 则二项式 展开式中常数项是★★★★★★.
14.过点 的直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的两倍,则以直线 和x轴为切线的圆的圆心轨迹方程为★★★★★★.
15.平面上的向量
若向量 的
最大值为★★★★★★.
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤;其中第16题至第19题每题13分,第20、21题14分)
16.在△ 中,角 的对边分别为 向量
,且
(1)求锐角 的大小;
(2)如果 ,求△ 的面积 的最大值.
17.如图,直三棱柱 中,
为侧棱 上一点, 。
(1)求证: 平面 ;
(2)求二面角 的大小;
(3)求点 到平面 的距离。
18.已知某池塘中养殖着大量的红鲫鱼和金鱼.为了估计池塘中这两种鱼的数量,养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼和金鱼各1000条,给每条鱼作上不影响其存活的记号,然后放回池塘,经过一定时间,再每次从池塘中随机地捕出1000条鱼,,分类记录下其中有记号的鱼的数目,随即将它们放回池塘中.这样的记录作了10次.并将记录获取的数据做成如右的茎叶图,
(1)根据茎叶图分别计算有记号的红鲫鱼和金鱼数目的平均数,并估计池塘中的红鲫鱼和金鱼的数量;
(2)假设随机地从池塘逐条有放回地捕出5条鱼中的红鲫鱼的数目为 ,求 的分布列与数学期望.
19.已知定义域为R的二次函数 的最小值为0且有 ,直线 被 的图像截得的弦长为 ,数列 满足 , .
(1)函数 ;
(2)设 ,证明数列 是等比数列;
(3)求数列 的通项公式.
20.若存在实常数 和 ,使得函数 和 对其定义域上的任意实数 有: 和 恒成立,则称直线 为 和 的“隔离直线”.已知 , (其中 为自然对数的底数).
(1)求 的极值;
(2) 函数 和 是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.
▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选只计算前两题的得分.
21.(1)(选修4-2矩阵与矩阵变换)若矩阵A有特征值 ,它们所对应的特征向量分别为 和 ,求矩阵A;
(2)(选修4-4坐标系与参数方程)已知直线 经过点 ,倾斜角 ,设 与圆 相交与两点 ,求点 到 两点的距离之积;
(3)(选修4-5不等式选讲) 已知 ,求证:
。
福州三中(理)2009下学期期初质检数学试卷参考解答
一、选择题:ADACA BBDCA
二、填空题: (11) ; (12)4; (13)24;
(14) ;(15) ;
16.解:(1)
即 ……………2分
又 为锐角 ……………………………4分
……………………………………6分
(2)
………………………8分
又 代入上式得: (当且仅当 时等号成立)…10分
(当且仅当 时等号成立)
……………………………………………………13分
17.证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易知面
ACC1A1⊥面ABC,
∵∠ACB=90°,∴BC⊥面ACC1A1, ………2分
∵ 面ACC1A1,∴BC⊥AM
∵ ,且 ,
∴ AM平面 ……4分
解:(2)设AM与A1C的交点为O,连结BO,由(1)可知
AM OB,且AM OC,
所以∠BOC为二面角B-AM-C的平面角,……6分
在Rt△ACM和Rt△A1AC中,∠OAC+∠ACO=90°,∴∠AA1C=∠MAC
∴Rt△ACM∽Rt△A1AC,∴
∴
∴在Rt△ACM中,
∵ ,∴
∴在Rt△BCO中,tan
∴ ,故所求二面角的大小为45° …… 9分
(3)设点C到平面ABM的距离为h,易知 ,
可得 ……10分
∵
∴ ,
∴
∴点C到平面ABM的距离为 ……13分
解法二:(1)同解法一 ……………4分
(2)如图以C为原点,CA,CB, CC1所在直线分别
为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则
,设
∵ ,∴
即 ,故 ,
所以 ……6分
设向量 为平面AMB的法向量,则
,则 即 ,
令x=1,则平面AMB的一个法向量为 ,显然向量 是平面AMC的一个法向量,
易知, 与 所夹的角等于二面角B-AM-C的大小,故所求二面角的大小为45°.
……9分
(3)向量 在法向量 上的投影的长 即为所求距离,
∵
∴点C到平面ABM的距离为 ……13分
18.(1)由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20,故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同,设池塘中两种鱼的总数是 ,则有
, ------------4分
即 ,
所以,可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000. ------------7分
(2)显然, , -----------9分
其分布列为
0 1 2 3 4 5
---------11分
数学期望 . -----------13分
19.解:(1)设 ,
则直线 与 图象的两个交点为(1,0), ,
……………………4分
(2)
;数列 是首项为1,公比为 的等比数列,
……………………9分
(3)∵
…………………………………………13分
20.解:(1) , .
当 时, .
当 时, ,此时函数 递减;
当 时, ,此时函数 递增;
∴当 时, 取极小值,其极小值为 .…………6分
(2)解法一:由(1)可知函数 和 的图象在 处有公共点,
因此若存在 和 的隔离直线,则该直线过这个公共点.
设隔离直线的斜率为 ,则直线方程为 ,即 .
由 ,可得 当 时恒成立
, 由 ,得 .
下面证明 当 时恒成立.令 ,
则 ,
当 时, .
当 时, ,此时函数 递增;
当 时, ,此时函数 递减;
∴当 时, 取极大值,其极大值为 .
从而 ,即 恒成立.
∴函数 和 存在唯一的隔离直线 .…………………14分
解法二: 由(1)可知当 时, (当且当 时取等号) .
若存在 和 的隔离直线,则存在实常数 和 ,使得 和 恒成立,
令 ,则 且
,即 .后面解题步骤同解法一.
21. 解:(1)设 ,由 得
;
………………7分
(2)直线 的参数方程为 ,
把直线 的参数方程代入 得
………………7分
(3)
根据排序不等式得:乱序和>反序和
………………7分
咦~~~还有图形没有弄上去,我E-mail:liyq@ec.com.cn,要的话,发邮件过来我把附件传给你~~
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庐山区19193651701: 求2007年福州市中考数学试题第10题解答过程?
咎宰速效: 二次函数y=ax²+bx+c,由图像知: a0--->(4a-2b+c)-c2 而8a/4a=2 所以④也成立. 可能就是第4个可能会纠结,还要看开口的. 最后选D.
庐山区19193651701: 求2007年福州市中考数学试题第10题解答过程 - ?
咎宰速效: 二次函数y=ax²+bx+c,由图像知: a0 x=-2时,y=4a-2b+c∵c>0--->(4a-2b+c)-c2(2a-b) x=-1时,y=a-b+c=2--->b=(a+c)-2 ∵4a-2b+c4a-2[(a+c)-2]+c--->2a-ca 第4种是换成8a2 而8a/4a=2 所以④也成立. 可能就是第4个可能会纠结,还要看开口的. 最后选D.
庐山区19193651701: 2007福州数学中考题及答案?
咎宰速效:http://edu.sina.com.cn/shiti/2007/0613/180303065.html
庐山区19193651701: 2007福州数学中考 - ?
咎宰速效: 由图象知,当x=-1时,y=a-b+c>0,当x=1时,y=a+b+c∴[(a+c)-b][(a+c)+b] 即(a+c)²-b² ∴ (b+2)²-b²而b=a+c-2 ∴ a+c-2又4a-2b+c ∴2a-c①+②得a 故③ 正确 看以下题目:
庐山区19193651701: (2007•福州质检)如图,点A(4,m)在一次函数y=2x - 4和二次函数y=ax2的图象上,过点A作直线y=n的垂线,垂足为E,点E关于直线y=2x - 4的对称点F在y轴上,... - ?
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庐山区19193651701: 07年福州中考数学一选择题 - ?
咎宰速效: 结论1 将x=-2代入二次函数 再通过画图可得 此时y大于0 所以不成立 结论2 可由对称轴来判断 对称轴可由 两解范围 来求其范围 结论3 可由韦达定理求范围 与b c拉上关系(注意a的符号) 结论4 可由b^2+8a>4ac 变形b^2-4ac>-8a,b^2-4ac是德尔塔大于0,-8a大于0,可得解 这类题很烦,这道还好,有些一点头绪都没有.我老师说做不来就带一些,特别的数 去试.
庐山区19193651701: ·福州市毕业班质检的数学压轴题·?
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