相关分析法
相关分析就是根据一个因素（变量）与另一个因素（变量）的相关系数是否大于临界值，判断两个因素是否相关。在相关的因素之间，根据相关系数大小判断两个因素关系的密切程度，相关系数越大，说明两者关系越密切（何晓群，2002）。这种方法从总体上对问题可以有一个大致认识，但却很难在错综复杂的关系中把握现象的本质，找出哪些是主要因素，哪些是次要因素，有时甚至得出错误结论。为此，提出使用数学上的偏相关分析与逐步回归相结合的办法来解决这类问题。
偏相关性分析基本原理是，若众多因素都对某一因素都存在影响，当分析某一因素的影响大小时，把其他因素都限制在某一水平范围内，单独分析该因素对某一因素所带来的影响，从而消除其他因素带来的干扰。比如分析压实作用（或埋深）对孔隙度和渗透率的影响时，便把岩石成分、粒度、胶结类型等都限制在一定范围来单独讨论压实作用，而数学上的偏相关分析恰恰就是解决这类问题的方法，偏相关系数的大小就代表了这种影响程度。结合多因素边引入、边剔除的逐步回归分析方法，也可消除多个因素（自变量）间的相互干扰和多个因素对因变量的重复影响，保留其中的有用信息，挑选出对因变量影响较显著的因素，剔除了一些次要因素，被挑选出的主要因素的标准回归系数和偏回归平方和的大小反映了各参数对因变量（充满度）的影响大小。因此根据各因素（自变量）与因变量间的偏相关系数大小，结合标准回归系数和偏回归平方和，便可以将各因素对因变量的影响大小进行定量排序。其基本步骤如下：
第一步，找出所有可能对因变量产生影响的因素（或参数），同时对一些非数值型参数进行量化处理；
第二步，计算因变量与各参数间的简单相关系数，根据这些简单相关系数的大小，初步分析它们与因变量间的简单相关关系；
第三步，计算因变量与各参数间的偏相关系数、标准回归系数和偏回归平方和；
第四步，根据偏相关系数的大小，再结合标准回归系数和偏回归平方和，综合分析因变量与各参数间的关系密切程度，其值越大，关系越密切，影响越大，反之亦然。
实践中进行相关分析要依次解决以下问题；(1)确定现象之间有无相关关系以及相关关系的类型。对不熟悉的现象，则需收集变量之间大量的对应资料，用绘制相关图的方法做初步判断。从变量之间相互关系的方向看，变量之间有时存在着同增同减的同方向变动，是正 相关关系；有时变量之间存在着一增一减的反方向变动，是负相关关系。从变量之间相关的表现形式看有直线关系和曲线相关，从相关关系涉及到的变量的个数看，有一元相关或简单相关关系和多元相关或复相关关系。(2)判定现象之间相关关系的密切程度，通常是计算相关系数R及绝对值在0.8以上表明高度相关，必要时应对R进行显著性检验。(3)拟合回归方程，如果现象间相关关系密切，就根据其关系的类型，建立数学模型用相应的数学表达式-----回归方程来反映这种数量关系，这就是回归分析。(4)判断回归分析的可靠性，要用数理统计的方法对回归方程进行检验。只有通过检验的回归方程才能用于预测和控制。(5)根据回归方程进行内插外推预测和控制。
相关分析法是一种统计学方法，主要用于水文地质勘探试验资料不足，但是地下水动态资料较多的地区，建立不同变量之间的相关关系，如抽水量与降深、岩溶管道流量与降水量等，求解地下水均衡要素。根据变量的数量可分为二元相关（两个变量）和多元相关（多个变量），按相关方程式的性质分为线性相关和非线性相关。在地下水数量评价中经常用到的是二元回归，下面以抽水量与降深之间的关系为例，讨论相关分析法的一般过程。
（一）确定相关曲线类型
根据抽水试验资料，将一系列抽水量（Qi，i=1，2，…，n）与降深（Si，i=1，2，…，n）点到Q-S坐标图上（如图3-11所示），根据散点的分布趋势，确定曲线类型。常见的曲线类型如表3-5所示。
表3-5 常见的抽水量（Q）-降深（S）曲线类型
图3-11 Q-S散点分布趋势图
（二）建立相关方程
建立相关方程，也就是确定表3-3中的待定系数（a，b）。一般可根据抽水实验获得的资料，采用最小二乘法计算a，b。
实际上表3-4中的各种曲线方程都可以通过坐标转换，化为Y=aX+b型的线性关系。下面以直线型为例说明求解待定系数和相关系数的方法。
设有n组抽水试验资料，记为（Qi，Si）i=1，2，…，n。在Q-S坐标系中呈直线分布，设其方程为
Q=aS+b （3-45）
则任一实测值（Qi，Si）与该直线的偏差可以表示为
δi=Qi-（aSi+b） （3-46）
若所有实测点与该直线的偏差的平方和（记为Δ）为最小，则所得的直线就是最佳拟和直线。即要求：
区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究
因Qi和Si的数据已知，所以可视Δ为a和b的函数。要使函数取最小值，则令Δ对a和b的偏导数等于零即可。即
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令
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联立式（3-50）和式（3-51）即可求出a和b：
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将式（3-52）代入式（3-45）即可得到所求的直线方程。
相关系数（γ）可用下式求得：
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相关系数反映的是两个变量之间关系的密切程度，0≤｜γ｜≤1。相关系数愈接近1，说明关系愈密切，方程的实用价值愈大；反之，相关系数愈接近0，说明联系愈差，方程的实用价值愈小；当相关系数等于0时，说明两变量之间不存在联系。
（三）相关系数显著性检验
究竟相关系数要达到多大时，所建立的相关方程才有实用意义呢？这就要求进行显著性水平检验。表3-6给出了不同抽样数（N，即所拥有的实测数据数）在两种显著性水平（a）分别等于0.05和0.01时，对相关系数的最小要求。
表3-6 相关系数（γ）显著性检验表
注：此表摘自《概率论与数理统计》P244～245，朱玉仙、崔晓光，长春：东北师范大学出版社，1989。
所谓显著性水平是指，做出显著结论时，可能发生错误的概率。当a=0.05时，表示判断错误的可能性不超过5%；当a=0.01时，表示判断错误的可能性不超过1%。由表3-6可见，当抽样数一定时，a愈小，要求的相关系数就愈大；当显著性水平一定时，抽样数愈小，要求的相关系数就愈大。下面举例说明表3-6的用法。
如果抽样数为17组，则N-2=15，若｜γ｜≥0.482，可以说这个相关系数在a=0.05的水平上是显著的，但在a=0.01的水平上不显著，只有当｜γ｜≥0.606时，才可以说它在a=0.01的水平上是显著的。如果不满足显著性水平的要求，说明所求的相关方程的实用意义不大。
（四）预报误差估计
经过显著性检验后的方程即可用来外推一定抽水量下的降深或一定降深下的出水量，这时，我们所关心的问题是要知道预报的精度。严格说来，我们无法精确知道这个精度，但可以根据实测资料做出大概的估计。一般以实测值（Qi）与计算值（
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剩余标准差愈小，则外推预报的精度愈高。根据概率理论可知，任一观测值可能落在
由式（3-54）可见，要提高预报精度，一方面提高观测的精度；另一方面增加观测次数。
利用所建立的相关方程，外推求取一定抽水量下的降深或一定降深下的出水量。
（五）适用条件
相关分析法适用于水文地质资料缺乏，而地下水动态资料较多的地区。如有多年开采动态的老水源地的扩建评价、有多年岩溶管道流量与大气降水观测地区的地下水数量评价等，也可用于补给充足而需水量不大的供水评价。
利用抽水试验资料进行相关分析时，为保证相关关系的准确性，要求不同降深的抽水试验资料愈多愈好，但最少不少于3次降深（落程）；抽水降深不能过小，否则会影响曲线的类型；相关外推法是建立在稳定井流基础上的，非稳定抽水资料不适用。
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