高数中积分和微分是什么意思

微分和积分有什么区别，大一高数，最简单的解释~

导数和微分在书写的形式有些区别，如y'=f(x),则为导数，书写成dy=f(x)dx,则为微分。积分是求原函数，可以形象理解为是函数导数的逆运算。
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx，而其导数则为：y'=f'(x)。
设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数），叫做函数f(x)的不定积分，数学表达式为：若f'(x)=g(x)，则有∫g(x)dx=f(x)+c。

扩展资料：
设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）
那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。
积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。
但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。
勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为广义上的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。勒贝格积分就是这样的一种积分。
黎曼积分对初等函数和分段连续的函数定义了积分的概念，勒贝格积分则将积分的定义推广到测度空间里。
勒贝格积分的概念定义在测度的概念上。测度是日常概念中测量长度、面积的推广，将其以公理化的方式定义。黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽，或者说是两个区间之长度的乘积。
测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。在一维实空间中，一个区间A= [a,b] 的勒贝格测度μ(A)是区间的右端值减去左端值，b−a。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。
在更复杂的情况下，积分的集合可以更加复杂，不再是区间，甚至不再是区间的交集或并集，其“长度”则由测度来给出。
参考资料：百度百科-微分 百度百科-积分

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。
拓展：1.一元型


定义
设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
2.多元型
当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。一元微分一名常微分。
3.高阶型
当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数），但仍然有微分的概念。

定义 设f是从欧几里得空间（或者任意一个内积空间）中的一个开集射到 的一个函数。对于 中的一点x及其在 中的邻域 中的点x+h。如果存在线性映射A使得对任意这样的x+h,

那么称函数f在点x处可微。线性映射A叫做f在点x处的微分，记作

如果f在点x处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数 。
当函数在某个区域的每一点x都有微分 时，可以考虑将x映射到 的函数：

这个函数一般称为微分函数。

积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种
1.0不定积分
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分.
记作∫f(x)dx.
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.
由定义可知：
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分.
也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.
2.0定积分
众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.
实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是无穷无尽的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分.
而相对于不定积分,就是定积分.
所谓定积分,其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面,下限b写在∫下面).之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.
定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.
我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?
定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：
若F'(x)=f(x)
那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)
牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.
正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.
3.0微积分
积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的.
一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数.
其中：[F(x) + C]' = f(x)
一个实变函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数.它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值.
积分 integral 从不同的问题抽象出来的两个数学概念.定积分和不定积分的统称.不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的.例如：已知定义在区间I上的函数f（x),求一条曲线y＝F（x）,x∈I,使得它在每一点的切线斜率为F′（x）＝ f（x）.函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数）,记作 .如果F(x)是f(x)的一个原函数,则 ,其中C为任意常数.例如, 定积分是以平面图形的面积问题引出的.y＝f（x）为定义在[a,b〕上的函数,为求由x＝a,x＝b ,y＝0和y＝f（x）所围图形的面积S,采用古希腊人的穷竭法,先在小范围内以直代曲,求出S的近似值,再取极限得到所求面积S,为此,先将[a,b〕分成n等分：a＝x0＜x1＜…＜xn＝b,取ζi∈[xi-1,xi〕,记Δxi＝xi－xi-1,则pn为S的近似值,当n→＋∞时,pn的极限应可作为面积S.把这一类问题的思想方法抽象出来,便得定积分的概念：对于定义在[a,b〕上的函数y＝f（x）,作分划a＝x0＜x1＜…＜xn＝b,若存在一个与分划及ζi∈[xi-1,xi〕的取法都无关的常数I,使得,其中则称I为f（x）在[a,b〕上的定积分,表为即 称[a,b〕为积分区间,f（x）为被积函数,a,b分别称为积分的上限和下限.当f（x）的原函数存在时,定积分的计算可转化为求f（x）的不定积分：这是c牛顿莱布尼兹公式
微分
一元微分
定义：

设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内.如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数）,而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx.
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx.于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx.函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此,导数也叫做微商.
当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X),如果存在一个与△X无关的常数A,使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差关于△X→0是高阶无穷小量,则称A·△X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微.函数可导必可微,反之亦然,这时A=f′(X).再记A·△X=dy,则dy=f′(X)dX.例如：d(sinX)=cosXdX.
几何意义：
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量.当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.
多元微分
同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义.
运算法则：
dy=f'(x)dx
d(u+v)=du+dv
d(u-v)=du-dv
d(uv)=du·v+dv·u
d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

在高数中，积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种，定积分是变量限定在一定的范围内的积分，有范围的。微积分包括微分和积分，积分和微分互为逆运算，积分又包括定积分和不定积分，不定积分是没范围的。

拓展内容：

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

参考资料：积分微分

定积分是变量限定在一定的范围内的积分，有范围的。微积分包括微分和积分，积分和微分互为逆运算，积分又包括定积分和不定积分，不定积分是没范围的

大学高等数学里面主要分成两部分：积分和求导。
积分和导数都是需要以微分（无穷小的分割，又或者是极限）作为基础、工具来研究的，因为只有先细分成无穷多个量，才能以直代曲，才能计算。所以大学教材才会都把极限左右第一章来讲解.
其实如果不深入学习后面的内容，只是学习第一章，我觉得很难理解极限在微积分中发挥的真正作用，所以等学了积分、级数返回来自己体会一下，极限到底是个什么东西，会对现代微积分有个更直观的理解。

微分其实就是求一条曲线的长度，积分就是求这个曲线构成的几何图形的面积。

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铁山港区15683876106： 微分和积分分别是什么意思了,用通俗的语言解释下 - ？
堂雷奉林： 导数:曲线某点的导数就是该点切线的斜率,在物理学里体现了是瞬时速度,二阶导数则是加速度.这个是由牛顿提出并研究的方向.微分:也就是把函数分成无限小的部分,当曲线无限的被缩小后,可以近似当作直线对待,微分也就能表示...

铁山港区15683876106： 积分和微分是什么意思? - ？
堂雷奉林：[答案] 微分的几何意义并不是特别明显,它是由导数和偏导数衍生出来的一个概念.一元函数的导数有一套抽象的定义,不过它的几何意义很清楚:一个函数的导数就是其函数图像的斜率. 偏导数是一元函数的导数向多元函数推广而得到的.多元函数对某个自...

铁山港区15683876106： 微分和积分的意义微分就是求函数的导数,积分就是求导数的原函数,对不? - ？
堂雷奉林：[答案] 也可以这样理解 形象点说,微分就是把事务分成无限性的东西的和,积分就是把各个无限小的东西加成一个整体.

铁山港区15683876106： 高数中的积分是什么意思不知道微积分,不定积分,定积分,变上限积分的具体意思 是什么意思 - ？
堂雷奉林：[答案] 微分就是讨论函数的局部变化(变化率),不定积分就是微分的分运算,定积分是求一个函数在某一区间上的和,变上限积分是定积分中的区间右边界是变量里的一种函数(关于上限的函数) 例如,位移对时间的微分是速度,速度对时间的微分是加...

铁山港区15683876106： 微积分中的积分是什么意思?? - ？
堂雷奉林： 积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念.通常分为定积分和不定积分两种.直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值...

铁山港区15683876106： 微积分的定义 - ？
堂雷奉林： 微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支.它是数学的一个基础学科.内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论.它使得函数、速度、加...

铁山港区15683876106： 高数中微分是不是就是微积分? - ？
堂雷奉林：[答案] 不是 微积分 说小点 就是指的 微分和积分 说大点 就是 指微积分学科 包括极限 数列 微分方程 积分变换等等

铁山港区15683876106： 微分 积分 有什么区别 大学高数中这两个概念一直很混乱 请高人不吝赐教 - ？
堂雷奉林：[答案] 微分 积分 有什么区别 ? 微分和积分互为逆运算,好像加法和减法、乘法和除法互为逆运算. 对于微分和积分你可以这样简单地理 微分是求一条曲线各点的斜率 积分是求一条曲线下面的面积

铁山港区15683876106： 微分和积分的意义是什么? - ？
堂雷奉林： 微分是把一个整体离散化,分成无数个单元,积分是把分成的无数个单元相加求和,和值力求精确

铁山港区15683876106： 微分和积分到底分别是什么意思 - ？
堂雷奉林： 微分就是把函数求导,积分就是微分的一个逆过程