一道初三数学压轴题

一道初三数学压轴题。~

解答：解：问题1：过点D作DE⊥BC于点E，
∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=2，BE=AD=1，
∴CE=BC-BE=2，
∴DC=2
2
，
∵四边形PCQD是平行四边形，
若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
设PB=x，则AP=2-x，
在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2-x）2+1=8，
化简得x2-2x+3=0，
∵△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，
∴方程无解，
∴对角线PQ与DC不可能相等．

问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．

问题3：如图2′，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴
DG
GC
=
PD
CQ
=
1
2
，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即
AD
CH
=
PD
CQ
=
1
2
，
∴CH=2，
∴BH=BC+CH=3+2=5，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．

问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE=nPA，
∴
PA
BQ
＝
AG
BG
=
1
n+1
，
∴G是AB上一定点，
作QH∥CD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，
∴∠QBH=∠PAD，
∴△ADP∽△BHQ，
∴
AD
BH
＝
PA
BQ
＝
1
n+1
，
∵AD=1，
∴BH=n+1，
∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，
过点D作DM⊥BC于M，
则四边形ABMD是矩形，
∴BM=AD=1，DM=AB=2
∴CM=BC-BM=3-1=2=DM，
∴∠DCM=45°，
∴∠KCH=45°，
∴CK=CH•cos45°=

2


2
（n+4），
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为

2


2
（n+4）．

解：（1）∵x2-12x+32=0， ∴（x-4）（x-8）=0， 解得：x1=4，x2=8． ∵OA、OB的长分别是关于x的方程x2-12x+32=0的两根，且OA＞OB， ∴OA=8，OB=4． ∴A（-8，0），B（0，4）． 设直线AB的解析式为y=kx+b，则 -8k+b=0b=4 ， 解得： k= 12b=4 ， ∴直线AB的解析式为：y= 12 x+4； （2） 过点P作PH⊥x轴于点H． 设P（x，y）， ∴AH=|-8-x|=x+8． ∵PH∥y轴， ∴APPB= 13， ∴AHHO= 13， 即x+8-x= 13． 解得 x=-6． ∵点P在y=12x+4上， ∴y=12×（-6）+4=1． ∴P（-6，1）． 设过点P的反比例函数的解析式为：y=kx，则1=k-6． ∴k=-6． ∴点P的反比例函数的解析式为：y=-6x（x＜0）． （3）存在． 如图①，若PQ∥AO，过点Q作QG⊥AO于G，过点P作PH⊥AO于H， ∵梯形OAPQ是等腰梯形， ∴AH=OG=8-6=2，QG=PH=1， ∴点Q的坐标为（-2，1）； 如图②，若AQ∥PO， ∵OP的解析式为：y=-16x， 设直线AQ的解析式为：y=-16x+m， ∵A（-8，0）， ∴-16×（-8）+m=0， 解得：m=-43， ∴直线AQ的解析式为：y=-16x-43， 设点Q的坐标为：（x，-16x-43）， ∵梯形APOQ是等腰梯形， ∴PA=OQ， ∴x2+（-16x-43）2=[-8-（-6）]2+12， 整理得：37x2+16x-116=0， 即（37x-58）（x+2）=0， 解得：x=5837或x=-2（舍去），∴y=-16×5837-43=-5937， ∴点Q的坐标为：（5837，-5937）； 如图③，若AP∥OQ， ∵直线AP的解析式为：y=12x+4， ∴直线OQ的解析式为：y=12x， 设点Q的坐标为（x，12x）， ∵AQ=OP， ∴（x+8）2+（12x）2=12+（-6）2， 整理得：5x2+64x+108=0， 即：（5x+54）（x+2）=0， 解得：x=-545或x=-2（舍去）， ∴y=12×（-545）=-275， ∴点Q的坐标为（-545，-275）． 综上，点Q的坐标为（-2，1）或（5837，-5937）或 （-545，-275）．

(1)设D（x,y)则AD=y 

由题意知OA=OE=5,因为三角形OCE为直角三角形，所以CE=4，则E的坐标为（4，3） 

EB=CB-CE=5-4=1，ED=AD=y,BD=AB-AD=3-y 

因为三角形为直角三角形，所以球的y为5/3 

所以D（5，5/3) 

(2)因为D（5，5/3) E(4,3)在抛物线上，则 

25a+5b+5=5/3 

16a+4b+5=3 

a=-1/6 b=1/6 

则抛物线的方程为y=-1/6x^2+1/6x+5 

则P点坐标为（0，5），F（6，0） 

设存在一点P点是得三角形PFH的内心在坐标轴上 

①若内心在y轴上 

设直线PH与X轴的交点为N 

∵∠PHO=∠FHO,HO⊥NF 

∴ΔNHO全等于ΔHOF 

∴NO=FO 所以N点坐标为（-6，0） 

所以直线PH的方程为y=5/6x+5 

P即为直线PH与抛物线的交点 

解方程组 

y=5/6x+5 

y=-1/6x^2+1/6x+5 

解得 x1=-4 y1=5/3 x2=0 y2=5 

所以P1(-4,5/3) 

②若内心在X轴上 

设直线PF与Y轴的交点为M 

∵∠PFO=∠HFO,HM⊥OF 

∴ΔMFO全等于ΔHFO 

∴MO=HO 所以N点坐标为（0，-5） 

所以直线PF的方程为y=5/6x-5 

P即为直线PF与抛物线的交点 

解方程组 

y=5/6x-5 

y=-1/6x^2+1/6x+5 

解得 x3=-10 y3=-40/3 x4=6 y4=0所以P2(-10,40/3) 

所以存在这样的点使得三角形PHF的内心在坐标轴上，这样的点为 

P1(-4,5/3)、P2(-10,40/3) 

（3）四边形OCMN的面积存在最大值。 

此时直线QH与BC的边交于N，点M与点A（5，0）重合，其他任何位置都没有此时面积大 

直线HM：y=-x+5与抛物线y=-1/6x^2 + 1/6x+5 交与H（5，0）和Q（7,，-2） 

所以，存在面积取得最大值时的点Q的坐标为（7,，-2）

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（2）
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（1）
∵OA=OE=5,CO=3,
∴CE²=OE²-CO²=16
∴CE=4
∴E（4，3）
∵△ODE≌△ODA
∴D在∠AOE的角平分线上，
∵A（5，0），E（4，3），∴AE中点是（4.5，1.5），O（0，0）
∴D在直线 y=1/3×x上，∴D（5，？）中，将x=5代入，得y=5/3
所以 D（5，5/3）
（2）
代入 点D（5，5/3），点E（4，3）到y=ax²+bx+5
得 25a+5b+5=5/3 , 16a+4b+5=3
得 a=-1/6 ，b=1/6 。

内心是什么心？，忘了~~内接圆的圆心么？？

OE=OA=5
OE^2=OC^2+CE^2 ==> 5^2=3^2+CE^2 ===>CE=4
坐标E(4,3)
设DA=X ===> ED=X
ED^2=BD^2+EB^2
X^2+(3-X)^2+1
X=5/3

1、D（5，5/3），E（4，3） 

2、y=-1/6x^2 + 1/6x+5 H（5，0） F(6,0),如图1 

假设三角形PFH的内心在坐标轴上，则必然y轴平分∠PHF或x轴平分∠PFH 

因此，分两种情况①若y轴平分∠PHF，直线HF交x轴于F1（-6，0） 

直线HF1：y=5/6 x+5 与抛物线y=-1/6x^2 + 1/6x+5 交与H（5，0）和P1（-4，15/4） 

②若y轴平分∠PFH，直线HF交y轴于H1（-5，0） 

直线H1F：y=5/6 x-5 与抛物线y=-1/6x^2 + 1/6x+5 交与H（5，0）和P2（-10，-40/3） 

所以存在，P的坐标为（-4，15/4）或（-10，-40/3） 

3、四边形OCMN的面积存在最大值。如图2： 

此时直线QH与BC的边交于M，点N与点A（5，0）重合，其他任何位置都没有此时面积大（如图2），直线HN：y=-x+5与抛物线y=-1/6x^2 + 1/6x+5 交与H（5，0）和Q（7,，-2） 

所以，存在，面积取得最大值时的点Q的坐标为（7,，-2）

（1）求直线AB解析式；
在Rt△ABO中，AO=4√3，∠ABO=30°
所以，AB=2AO=8√3
故根据勾股定理有，B0=12
所以，B(12,0)
设AB所在直线的解析式为：y=kx+b
将A(0,4√3)、B(12,0)代入上式，
得到：
k=-√3/3
b=4√3
所以，y=(-√3/3)x+4√3
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；
因为△PMN为等边三角形，所以：∠MPN=∠PNM=60°
而，∠PNM=∠NPB+∠B=∠NPB+30°
所以，∠NPB=30°
所以，∠MPB=∠MPN+∠NPM=60°+30°=90°
即，MP⊥AB
亦即，△MPB为直角三角形
又，PM=MN=PN=BN
所以，N为Rt△MPB中点
所以，PM=MN=PN=BM/2
当AP=√3t时，PB=8√3-√3t=√3*(8-t)
那么，在Rt△MPB中，MBP=30°
所以，BM=[√3*(8-t)]/(√3/2)=2*(8-t)
所以，PM=NM=PN=BM/2=(8-t)
当M与O重合时，Rt△PMB即为Rt△PBO
此时，PM=PO=BO/2=6
所以：8-t=6
t=2
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值。
如图，设PM交CE于F，交AO于H；PN交CE于G
由（2）知，当t=2时，M与O重合
而，当t=1时，PM经过点E
所以，当0≤t≤1时，△OMN与矩形ODCE的重叠部分为直角梯形ONGE
而，当1≤t≤2时，△OMN与矩形ODCE的重叠部分为图中阴影部分
过点P作AO的垂线，垂足为Q；
作CE的垂线，垂足为S
因为D是BO中点，
所以：C、E分别为AB、AO中点
所以，点C(6,2√3)
因为PQ//CE//BO
所以：AP/AC=PQ/CE
即：(√3t)/(4√3)=PQ/6
所以，PQ=3t/2
所以，由勾股定理有：AQ=√3t/2
所以，QE=PS=AE-AQ=2√3-(√3t/2)
因为CE//BO，
所以：△PFG∽△PMN
即，△PFG也为等边三角形
而，PS⊥FG
所以，S为FG中点
且∠GPC=∠GCP=30°
所以，PG=GC
那么，FG=GC=(2/√3)*PS=(2/√3)*[2√3-(√3t/2)]=4-t
而，CE=OD=6
所以，EF+FG+GC=EF+2*FG=EF+(8-2t)=6
所以：EF=2t-2
所以，EG=EF+FG=2t-2+4-t=t+2
而，在Rt△EFH中，∠EHF=30°
所以，EH=(√3)EF
所以，Rt△EFH的面积=(1/2)EF*EH=(√3/2)EF^2
=(√3/2)*[2(t-1)]^2
=2√3(t-1)^2
由（1）知，BN=PN=8-t
所以，ON=OB-BN=12-(8-t)=4+t
所以，直角梯形ONGE的面积=[(EG+ON)*OE]/2
=[(t+2+4+t)*2√3]/2
=2√3(t+3)
所以，阴影部分的面积S=[2√3(t+3)]-[2√3(t-1)^2]
=(2√3)[(t+3)-(t-1)^2]
=(2√3)(-t^2+3t+2)
因为1≤t≤2，
所以，二次函数-t^2+3t+2有最大值
则，当t=-b/2a=3/2时：
Smax=17/4

---

龙山区15923016842： 初三数学二次函数压轴题已知:直线y=2x+6与x轴分别交于A、C两点,抛物线y= - x²+bx+c经过A、C,点B是抛物线与x轴的另一个交点.直线y=1/2x+a与该抛物... - ？
高卫塞莱：[答案] 应该是与x,y轴分别交于A,C两点吧如果是这样的话,A(-3,0),C(0,6)代入y=-x²+bx+c求出b,cb=-1,c=6y=-x²-x+6B(2,0)抛物线y=-x²-x+6,与直线y=1/2x+a联立得x²+3/2x+a-6=0,求出M(x1,y1),N(x2,y2)...

龙山区15923016842： 初三数学压轴题(关于二次函数) - ？
高卫塞莱：[答案] 已知抛物线 如图所示,直线 是其对称轴 (1)确定a,b,c, 的符号; (2)求证: (3)当x取何值时, ,当x取何值时, .

龙山区15923016842： 初三数学压轴题 - ？
高卫塞莱： 1顶点A(2,-1),对称轴x=2B(4,0) x2=4(x2+x1)/2=2 x1=0y=a(x-x1)(x-x2)=a(x-4)xx=2, -1=a(-4) a=1/4y=(1/4)(x-4)x 2D(2,0)EN^2=[(1/4)(x-4)x+2]^2=[(1/4)(x-2)^2+1]^2ED^2=[(1...

龙山区15923016842： 一道初三数学压轴题 - ？
高卫塞莱： (1)设D(x,y)则AD=y由题意知OA=OE=5,因为三角形OCE为直角三角形,所以CE=4,则E的坐标为(4,3)EB=CB-CE=5-4=1,ED=AD=y,BD=AB-AD=3-y因为三角形为直角三角形,所以球的y为5/3所以D(5,5/3)(2)因为D(5,5/3) E(4,3)在抛物...

龙山区15923016842： 一道初三的数学题(压轴题)？
高卫塞莱： 解:x=0代入 y=x+2,y=0代入y=x+2. 得点C、D的坐标分别为(2,0)(0,2).则OC=OD=2,CD=2√2 ,∠OCD=∠ODC=45°. 当点A在线段CD上时,△AOB 为等腰三角形有如下三种情况:①OA=OB,则∠OBA=∠OAB=450,因此∠AOB=90°,点A...

龙山区15923016842： 一道初三的数学压轴题.(有图)？
高卫塞莱： 1.因为点A.B的横坐标为方程ax2-8ax+12a=a(x-2)(x-6)=0的两根,所以x1=2,x2=6,所以A(2,0),B(6,0)2.因为三角形OCA相似于三角形OBC,所以OC2=OA*OB=2*6=12,所以OC=√12=2√33.设点C的横坐标为m,则C(m,am2-8am+12a),所以OC...

龙山区15923016842： 一道初三数学的压轴题,谁敢来挑战? - ？
高卫塞莱： 囧 这个题还压轴?(1) -4X=x的平方+bx+c 把A点带入 得C=0 再把Y=x的平方+bx的顶点表示出来带入y=-4x 就能解出b 后面的题打都难的打了

龙山区15923016842： 初三数学压轴题…高手进. - ？
高卫塞莱： 根号a-1+根号ab-2=0 a-1=0,ab-2=0 a=1,b=21/ab+ 1/(a+1)(b+1)+ 1/(a+2)(b+2)+...+ 1/(a+2009)(b+2009) =1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/2010*2011 =(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/2010-1/2011) =1-1/2011 =2010/2011 ...

龙山区15923016842： 一道初三数学压轴题,有能力者进.？
高卫塞莱： (1)因为m是二次函数的顶点所以得到y=(x-m)²+2m 与X=2相交于p得到y=(2-m)²+2m (2)化简得到y=(m-1)²+3 当m=1时ymin=3 (3)把m=1代入y=(x-m)²+2m得到y=(x-1)²+2 因为要使三角形QMA的面积与三角形PMA的面积相等而且他们有共同的底边AM 所以说与AM垂直距离相等的点与相交的点是Q点 用A点和o点求出斜率k=2 y=2x+b代入p点 y=2x-1 另一边是y=2x+1 用直线与y=(x-1)²+2相加的点就是Q 自己计埋下去 Q1(2+√2,5+√2)Q2(2-√2,5-√2) Q3(2,3)就是P点(舍去)

龙山区15923016842： 初三数学压轴题~ - ？
高卫塞莱： ⑴∵AB=10,∴y=±10,代入y=-2x中求得x=-5或5,即B(-5,10)或B(5,-10) ∴A(-5,0)或(5,0) ①当A(-5,0)时,抛物线解析式可求得:y=1/6x^2+5/6x. ②当A(5,0)时,抛物线解析式可求得:y=1/6x^2-5/6x ⑵OB=√(10^2+5^2)=5√5 设AC与直线y=-2x交于...