一个很难的数学问题
原式=(1+1/2)(1-1/2)*(1+1/3)(1-1/3)*......*(1+1/100)(1-1/100)
=3/2*1/2*4/3*2/3*5/4*3/4*......*101/100*99/100
=1/2*101/100
=101/200
找规律,进行约分最后只剩1/2和101/100两项
x+y+z=3.那么(x+y+z)的平方=9.而(x+y+z)的平方展开后为x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz,又因为(x平方+y平方+z平方=3,所以2xy+2xz+2yz=6,所以xy+xz+yz=3,那么有
x平方+y平方+z平方=xy+xz+yz,将这个2边都乘2,化为2x^2+2Y^2+2Z^2=2XY+2XZ+2YZ,再化为2x^2+2Y^2+2Z^2-2XY-2XZ-2YZ=o,继续化简2x^2+2Y^2+2Z^2-2XY-2XZ-2YZ=(X-Y)^2+(X-Z)^2+(Y-Z)^2=O,所以可以推出(X-Y)^2=(X-Z)^2=(Y-Z)^2=O,
所以x=y=z=1
为什么呢?
因为x的首位数字大于1,比如说是2,那5x和6x就是七位数了。
一想,x、2x、3x、4x、5x、6x的首位数字,应该一个比一个大,而且后面一个的首位数字,至少比前面一个的首位数字大1。这六个数的六个首位数字互不相同,按题意,就应该正好是x的六个数字了。
x的六个数字互不相同,首位数字是1,其余的数字都比1大,所以x的数字都不是0。
现在,把注意力转移到末位数字上来。
一想,x、2x、3x、4x、5x、6x的末位数字,也应该互不相同。
为什么呢?
因为,要是其中有两个数的末位数字相同,那么,这两个数的差的末位数字是0。可是,在x、2x、3x、4x、5x、6x中,任意两个数的差,必须是x、2x、3x、4x、5x中的一个。例如4x—2x=2x,6x—5x=x。既然它们的数字与x的数字相同,也就不能是0了。这样,六个数的末位数字,也就是x的六位数字了。其中,一个是1。
一想,1不是x的末位数字。因为x的首位数字是1。1也不是2x、4x、6x的末位数字。因为它们的末位数字是偶数,不可能是奇数1。1也不是5x的末位数字。因为5x的末位数字是5或者是0。这样,我们便得到1是3x的末位数字。
3x的末位数字是1,那x的末位数字是7。
x的末位数字是7,那2x、4x、5x、6x的末位数字分别为4、8、5、2。
x=l××××7。其中的四个×,应该填上4、8、5、2。问题是谁先谁后呢?
一想,x、2x、3x、4x、5x、6x这六个数的第二位数字,也应该是互不相同的。
为什么呢?
要是其中有两个数的第二位数字相同,那这两个数的差的第二位数字是0或者是9。可是,这个差是x、2x、3x、4x、5x中的一个,它的数字只能是1、4、8、5、2、7,不能是0和9。所以,x、2x、3x、4x、5x、6x的第二位数字,也恰好是1、4、8、5、2、7这六个数字。
同样的道理,x、2x、3x、4x、5x、6x的第三位、第四位、第五位数字,也都是这六个数字。
这和求x有什么关系呢?
有关系。你看,
x+2x+3x+4x+5x+6x=21x。列成竖式,把这六个六位数相加,得第一位数字的和是
1+4+2+8+5+7=27,第二位数字的和是27,…直到第六位数字的和也是27。所以,这6个六位数的和应当是
∵21x=2999997;
∴x=142857。
最后,说一下这道难题是怎样设计出来的:
=0·142857142857142857…
x=142857,是这个循环小数的循环节。 的小数部分,与 的小数部分相同,它们的循环节,也是由1、
4、2、8、5、7这六个数字组成。所以,用2、3、4、5、6去乘142857,得到的数还是由1、4、2、8、5、7组成,只是次序不同。
142857
http://www.aoshu.cn/info/ymbd.doc
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弓长岭区18483937314: 一个很难的数学问题(智力140以下勿进) - ?
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